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专题 08 相似易错题
本专题精选近2年各地统考试卷期末中的相似易错题，分类整理，配有详细解答，为你的复习
冲刺助力！
模型彩图，清晰细致，在复习时，建议先背诵巩固抓关键，方可
以实现灵活运用。A 字型模
A A
A
D
D E
E
D E
C
C C
B B B
图1-1 图1-2 图1-3
AD AE DE
图1-1：DE∥BC→△ADE∽△ABC→ = =
AB AC BC
变式：图1-2，1-3
AE AD DE
∠ADE=∠C,∠A=∠A → △ADE∽△ACB→ = =
AB AC BC
母子型
C C C
1
1
1
A D B B D A A D B
图2-1
图2-2 图2-3
AC AD DC
图2-1与图2-2：∠A=∠A ∠1=∠B △ADC∽△ACB，⇒ = = ⇒AC2＝AD•AB
AB AC CB
AB A⇒C BC AB AC BC AC AD CD
图2-3：△ABC∽△ACD∽△CBD = = = = , = =
AC AC CD CB CD BD CB CD BC
⇒ ⇒ ＝ , ＝ ＝
2 2 2
AC AD•AB,BC BD•AB, CD AD•BD
一
E
A
E A E A
图3-1 图3-21 图3-13
1
D
B C D B C
B C D线三角模型
A
A
D
B
1 B
A 1
D B
D 2
2
E
C E
C
C EE
图3-4
图3-5 图3-6
图 ，图 ：∠ ； 图 ：∠
图 ∠ ，∠ ，
3-1 3-2 B=∠1=∠D 3-3 B=∠1=∠D=90°
图 ：∠
3-4,3-5: 1=∠2=α ACE=β α+β=180°
（理解：∠ ）
3-6 ABC=∠CDE=∠ACE=90°
AB AC BC
以上六种图A形B，C+结∠论AC相E=同1：80△° = =
CD CE DE
ABC∽△CDE⇒
手拉手模型
A E
右手
A
A
E
右手
D E D 左手
D
左手
B C
左手 右手
B C B C
图4-1
图4-2 左手 图4-3 右手
A
A A E
右手
D
D 左手 E 右手 D 左手
E
B 图4-4 C B 左手 图4-5 C 右手 B 左手 图4-6 C 右手
一转成双，手拉手，图 ～ ：
4-1 4-6AD AE DE AD AB BC
△ = = △ = =
AB AC BC AE AC CE
ADE∽△ABC⇒ 实;战AB训D∽△练ACE⇒
一．A字型相似
1．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向
以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀
速运动，运动的时间为ts．
2
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的 ；
9
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
试题分析：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积
公式列出方程可求出答案；
（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．
答案详解：解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
1 1
∴△AMN的面积= AN•AM= ×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，
2 2
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm
1 1
∴△ABD的面积为 AB•AD= ×6×12＝36，
2 2
2
∵△AMN的面积是△ABD面积的 ，
9
2
∴6t﹣t2= ×36，
9
∴t2﹣6t+8＝0，
解得t ＝4，t ＝2，
1 2
2
答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的 ；
9（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
若△AMN∽△ABD，
AM AN t 12−2t
则有 = ，即 = ，
AB AD 6 12
解得t＝3，
若△AMN∽△ADB，
AM AN t 12−2t
则有 = ，即 = ，
AD AB 12 6
24
解得t= ，
5
24
答：当t＝3或 时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．
5
BF
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC．若AD＝2BD，则 的值为（ ）
FC
1 1 2 3
A． B． C． D．
2 3 3 5
试题分析：由已知条件得到△BDF∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求解．
答案详解：解：解法一：∵AD＝2BD，
BD 1
∴ = ，
AD 2
BD 1
∴ = ，
AB 3
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
BF BD 1
∴ = = ，
BC BA 3
BF 1
∴ = ，
FC 2
解法二：∵AD＝2BD，BD 1
∴ = ，
AD 2
∵DF∥AC，
BD BF 1
∴ = = ，
AD FC 2
所以选：A．
3．如图，点 D，F 在△ABC 的边 AB 上，点 E，G 分别在 AC，BC 上，DE 与 FG 交于点 H，
DE∥BC，FG∥AC，则下列结论不正确的是（ ）
AD AE FD FH FH BD AD AB
A． = B． = C． = D． =
DB EC DB EC HG DF DE BC
试题分析：根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定定理和性质定理列出比例式，判
断即可．
答案详解：解：A、∵DE∥BC，
AD AE
∴ = ，本选项结论正确，不符合题意；
DB EC
B、∵DH∥BG，
FD FH
∴ = ，
DB HG
∵DE∥BC，FG∥AC，
∴四边形HGCE为平行四边形，
∴HG＝EC，
FD FH
∴ = ，本选项结论正确，不符合题意；
DB EC
C、由B选项可知，本选项结论错误，符合题意；
D、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，AD AB
∴ = ，本选项结论正确，不符合题意；
DE BC
所以选：C．
二．母子型
4．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB＝∠ABC．
求证：（1）DB2＝DE•DA；
（2）∠DCE＝∠DAC．
DE BD
试题分析：（1）根据已知可证△BDE∽△DAB，得到 = ，即证BD2＝AD•DE．
BD AD
CD AD
（2）在（1）的基础上，因为CD＝BD，可证 = ，即可证△DEC∽△DCA，得到∠DCE
DE CD
＝∠DAC．
答案详解：证明：（1）在△BDE和△DAB中
∵∠DEB＝∠ABC，∠BDE＝∠ADB，（1分）
∴△BDE∽△ADB，（1分）
DE BD
∴ = ，（1分）
BD AD
∴BD2＝AD•DE．（1分）
（2）∵AD是中线，
∴CD＝BD，
∴CD2＝AD•DE，
CD AD
∴ = ，（1分）
DE CD
又∠ADC＝∠CDE，（1分）
∴△DEC∽△DCA，（1分）
∴∠DCE＝∠DAC．（1分）AD 3
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D， = ，△ABC的周长是25，那
AC 5
么△ACD的周长是 1 5 ．
试题分析：易证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的周长比等于相似比，可得出两三角形周长
的比例关系，进而可根据△ABC的周长求出△ACD的周长．
答案详解：解：∵∠ACB＝∠CDA＝90°，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
∴C△ACD ：C△ABC ＝AD：AC＝3：5；
∵△ABC的周长＝25，
∴△ACD的周长为15．
6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：
OC2＝OA•OE．
试题分析：由平行线分线段成比例可得对应线段成比例，进而通过线段之间的转化即可得出结
论．
OA OD
答案详解：证明：∵AD∥BC，∴ = ，
OC OB
OD OC
又BE∥CD，∴ = ，
OB OE
OA OC
∴ = ，即OC2＝OA•OE．
OC OE
7．已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2＝EF•EG．
试题分析：先连接CE，由于AB＝AC，AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一定理可得BE＝CE，
再利用等边对等角可知∠EBC＝∠ECB，易证∠ABE＝∠ACE，结合CG∥AB，利用平行线的性
质，可证∠CGF＝∠FCE，再加上一组公共角，可证△CEF∽△GEC，于是CE2＝EF•EG，从而
有BE2＝EF•EG．
答案详解：证明：连接CE，如右图所示，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
又∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠ACB﹣∠ECB，
即∠ABE＝∠ACE，
又∵CG∥AB，
∴∠ABE＝∠CGF，
∴∠CGF＝∠FCE，
又∠FEC＝∠CEG，
∴△CEF∽△GEC，
∴CE：EF＝EG：CE，
即CE2＝EF•EG，
又CE＝BE，
∴BE2＝EF•EG．8．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P 是斜边 AB 上的一个动点，
PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD＝
∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE＝2PE；
1 2√5 8√5
（2）y关于x的函数解析式 y=− x 2 + x （ 0 ＜ x ＜ ） ；
3 3 5
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
试题分析：（1）先由已知条件判断出△ADP∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出
PD BC 1
= = ，再由∠EPD＝∠A，∠PED＝∠AEP可知△EPD∽△EAP，再根据其对应边成比
AP AC 2
例即可求出答案；
DE PD 1
（2）由△EPD∽△EAP，得 = = ，进而可得出AE与DE的关系，作EH⊥AB，垂足为
PE AP 2
HE AE 4
点H，由PD∥HE可得出 = = ，进而可得出y与x的关系式；
PD AD 3
PE QB
（3）由△PEH∽△BAC，得 = ，当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP＝
HE AC
∠C＝90°或∠EBP＝∠C＝90°，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．
答案详解：（1）证明：∵∠APD＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADP∽△ABC，
PD BC 1
∴ = = ，
AP AC 2
∵∠EPD＝∠A，∠PED＝∠AEP，
∴△EPD∽△EAP．
PE PD 1
∴ = = ，
AE AP 2
∴AE＝2PE．DE PD 1
（2）解：由△EPD∽△EAP，得 = = ，
PE AP 2
∴PE＝2DE，
∴AE＝2PE＝4DE，
作EH⊥AB，垂足为点H，
∵AP＝x，
1
∴PD= x，
2
∵PD∥HE，
HE AE 4
∴ = = ，
PD AD 3
2
∴HE= x，
3
1 2 1 2√5
又∵AB＝2√5，y= （2√5−x）• x，即y=− x2+ x，
2 3 3 3
∵点D是AC上一点，
∴AD＜4，AP＝2PD，
8√5
∴AP＜ ，
5
8√5
定义域是0＜x＜ ．
5
1 2√5 8√5
所以答案是：y=− x2+ x（0＜x＜ ）；
3 3 5
PE AB
（3）解：由△PEH∽△BAC，得 = ，
HE AC
2 √5 √5
∴PE= x• = x，
3 2 3
当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP＝∠C＝90°或∠EBP＝∠C＝90°．
PE BC
（i）当∠BEP＝90°时， = ，
PB AB
√5
x
∴ 3 1 ，
=
2√5−x √53√5
解得x= ，
4
1 9 2√5 3√5 25
∴y=− x× ×5+ × = ．
3 16 3 4 16
3√5 5
（ii）当∠EBP＝90°时，同理可得x= ，y= ．
2 4
25 5
综上所述，△BPE的面积为 或 ．
16 4
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F，求证：
EB•DF＝AE•BD．
试题分析：先利用△BFC∽△BCE，得出BC2＝BE×BF，再利用射影定理求出BC2＝BD×BA，可
得出BE×BF＝BD×BA，再由公共角得出△BFD∽△BAE，即可得出EB•DF＝AE•BD．
答案详解：证明：∵CF⊥BE，
∴∠BFC＝90°，
又∵∠BCE＝90°，∠CBF＝∠EBC，
∴△BFC∽△BCE
BC BF
∴ = ，即BC2＝BE×BF，
BE BC
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴BC2＝BD×BA，
∴BE×BF＝BD×BA
BE BA
∴ = ，
BD BF
又∵∠DBF＝∠EBA∴△BFD∽△BAE，
EB BD
∴ = ，即EB•DF＝AE•BD．
AE DF
10．已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C＝90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、
BC的延长线交于一点N．
求证：
（1）△AME∽△NMD；
（2）ND2＝NC•NB．
试题分析：（1）由∠ACB＝90°，得到∠1+∠8＝90°，根据 EF是AD的垂直平分线，得到
∠4+∠8＝90°，等量代换得到∠1＝∠4，由于∠1＝∠2，于是得到∠2＝∠4，即可得到结论；
（2）根据EF是AD的垂直平分线，得到AN＝DN，∠3＝∠4，通过∠ANC＝∠BNA，∠NAB＝
NA NC
∠NCA＝90°，得到△NAC∽△NBA，于是得到 = ，等量代换即可得到结论．
NB NA
答案详解：解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠8＝90°，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴∠4+∠8＝90°，
∵∠5＝∠6＝90°，
∴∠1＝∠4，
∵AD∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠4，
∴△AME∽△NMD；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AN＝DN，∠3＝∠4，∵∠2＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACN＝90°，
∴∠3+∠4+∠7＝90°，
∴∠1+∠2+∠7＝90°，
∴∠NAE＝90°，
∵∠ANC＝∠BNA，∠NAB＝∠NCA＝90°，
∴△NAC∽△NBA，
NA NC
∴ = ，
NB NA
∴NA2＝NB•NC，
∵NA＝ND，
∴ND2＝NB•NC．
三．8（x)字型
11．如图，AB、CD相交于点O，AD∥CB，若AO＝2，BO＝3，OD＝2.4，则CO等于（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．3.6
试题分析：证明△AOD∽△BOC，根据相似三角形的性质即可解决问题．
答案详解：解：∵AD∥CB，
∴△AOD∽△BOC，
AO DO
∴ = ，
BO CO
∵AO＝2，BO＝3，OD＝2.4，2 2.4
∴ = ，
3 CO
∴CO＝3.6．
所以选：D．
12．如图，在 ABCD中，AB＝9，AD＝8，E为AD延长线上一点，且DE＝4，连接BE交CD于
点F，则CF▱＝ 6 ．
试题分析：由平行四边形的性质得出 BC＝AD＝8，AB＝DC＝9，AD∥BC，证明
BC CF
△BCF∽△EDF，由相似三角形的性质得出 = ，则可得出答案．
DE DF
答案详解：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，AB＝DC＝9，AD∥BC，
∵BC∥DE，
∴△BCF∽△EDF，
BC CF
∴ = ，
DE DF
设CF＝x，则DF＝9﹣x，
8 x
∴ = ，
4 9−x
∴x＝6，
∴CF＝6．
所以答案是：6．
13．如图，在半径为5的 O中，OA⊥OB，点D是OB延长线上一点，点C是 O上一点，AC交
OB于M，且CD＝DM；⊙ ⊙
（1）连接OC，求证：OC⊥CD；
（2）若OM＝1，求CM的长．试题分析：（1）根据垂直定义可得∠AOB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得
∠A+∠AMO＝90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠OCA，∠DCM＝∠DMC，然后结合对
顶角相等可得∠AMO＝∠DCM，从而利用等量代换即可解答；
（2）过点D作DE⊥CM，垂足为E，利用等腰三角形的三线合一性质可得 CM＝2ME，再在
Rt△ODC中，利用勾股定理求出DM＝DC＝12，然后在Rt△AMO中，利用勾股定理求出AM
=√26，最后证明8字模型相似三角形可得△DME∽△AMO，从而利用相似三角形的性质进行计
算即可解答．
答案详解：（1）证明：如图：
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠A+∠AMO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵DC＝DM，
∴∠DCM＝∠DMC，
∵∠DMC＝∠AMO，
∴∠AMO＝∠DCM，
∴∠OCA+∠DCM＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD；（2）解：过点D作DE⊥CM，垂足为E，
∴∠DEM＝90°，
∵DM＝DC，
∴CM＝2ME，
在Rt△ODC中，DC2+OC2＝OD2，
∴DC2+25＝（DM+1）2，
∴DC2+25＝（DC+1）2，
∴DC＝DM＝12，
在Rt△AMO中，AO＝5，OM＝1，
∴AM=√AO2+OM2=√52+12=√26，
∵∠DEM＝∠AOM＝90°，∠DME＝∠AMO，
∴△DME∽△AMO，
DM ME
∴ = ，
AM MO
12 ME
∴ = ，
√26 1
6
∴ME= √26，
13
12
∵CM＝2ME= √26，
13
12
∴CM的长为 √26．
13
14．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，
AF2＝FG•FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．试题分析：（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝
∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；
CA CD
（2）由相似三角形的性质可得 = ，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得
CB CG
DG CG AE AG
= ，由平行线分线段成比例可得 = ，可得结论．
AB CB CB CG
答案详解：证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．
AF EF
∴ = ，
FG AF
∵∠AFG＝∠EFA，
∴△FAG∽△FEA，
∴∠FAG＝∠E，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠FAG，
∵∠ACD＝∠BCG，
∴△CAD∽△CBG；
（2）∵△CAD∽△CBG，
CA CD
∴ = ，
CB CG
∵∠DCG＝∠ACB，
∴△CDG∽△CAB，
DG CG
∴ = ，
AB CB
∵AE∥BC，
AE AG
∴ = ，
BC GC
AG GC
∴ = ，
AE BCDG AG
∴ = ，
AB AE
∴DG•AE＝AB•AG．
四．一线三角
15．已知下列各图中，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°．
【基本模型感知】如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N．求
证：△ABM∽△BCN；
2√5
【基本模型应用】如图2，点P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC= ，求tanC的
5
值；
3
【灵活运用】如图3，点D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC= ，
5
AD 2
= ，请直接写出tan∠BEC的值．
AC 5
试题分析：（1）根据同角的余角相等可得∠BAM＝∠CBN，从而证明结论；
（2）过点 P作PF⊥AP交AC 于点 F，过点 F作FQ⊥BC 交BC 于点 Q，与（1）同理得，
AB BP AP √5
△ABP∽△PQF．则 = = = ．设AB=√5a，PQ＝2a（a＞0），则PQ＝CQ＝2a．
PQ FQ PF 2
AB BP
BC＝BP+PQ+CQ＝BP+2a+2a＝4a+BP．再根据△ABP∽△CBA．得 = ．从而解决问题．
BC AB
（3）过点A作AG⊥BE于点G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于点H，由平行线分线段成GH AC 5 BG AG AB 4
比例定理得， = = ．与（1）同理得，△ABG∽△BCH，则 = = = ．设
EG AD 2 CH BH BC 3
4m+3n 5
BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，则GH＝BG+BH＝4m+3n．从而有 = ．得出
4m 2
m与n的关系，进而解决问题．
答案详解：（1）证明：∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°．
∴∠BAM+∠ABM＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBN＝90°．
∴∠BAM＝∠CBN．
又∵∠AMB＝∠CNB，
∴△ABM∽△BCN．
（2）解：如图2，过点P作PF⊥AP交AC于点F，过点F作FQ⊥BC交BC于点Q，
PF 2√5 2
在Rt△AFP中，tan∠PAC= = = ，
AP 5 √5
与（1）同理得，△ABP∽△PQF．
AB BP AP √5
∴ = = = ．
PQ FQ PF 2
设AB=√5a，PQ＝2a（a＞0），
∵∠BAP＝∠C＝∠FPQ，
∴PF＝CF，且FQ⊥BC．
∴PQ＝CQ＝2a．
∴BC＝BP+PQ+CQ＝BP+2a+2a＝4a+BP．
∵∠BAP＝∠C，∠B＝∠B＝90°，
∴△ABP∽△CBA．
AB BP
∴ = ．
BC AB∴BP⋅BC＝AB2，即BP⋅（4a+BP）=(√5a) 2．
∴BP＝a，BC＝5a，
AB √5a √5
在Rt△ABC中，tanC= = = ．
BC 5a 5
BC 3
（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，
AC 5
如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于点H，
∵∠DEB＝90°，
∴CH∥AG∥DE．
GH AC 5
∴ = = ．
EG AD 2
与（1）同理得，△ABG∽△BCH
BG AG AB 4
∴ = = = ．
CH BH BC 3
设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，
∵AB＝AE，AG⊥BE，
∴EG＝BG＝4m．
∴GH＝BG+BH＝4m+3n．
4m+3n 5
∴ = ．
4m 2
∴n＝2m．
∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m．
CH 3
在Rt△CEH中，tan∠BEC= = ．
EH 14
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．
（1）求证：AC•CD＝CP•BP；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．BP AB
试题分析：（1）易证∠APD＝∠B＝∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到 = ，
CD CP
即AB•CD＝CP•BP，由AB＝AC即可得到AC•CD＝CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD＝∠BAP，即可得到∠BAP＝∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然
后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
答案详解：解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C．
∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC，
∴∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
BP AB
∴ = ，
CD CP
∴AB•CD＝CP•BP．
∵AB＝AC，
∴AC•CD＝CP•BP；
（2）如图，∵PD∥AB，
∴∠APD＝∠BAP．
∵∠APD＝∠C，
∴∠BAP＝∠C．
∵∠B＝∠B，
∴△BAP∽△BCA，
BA BP
∴ = ．
BC BA
∵AB＝10，BC＝12，
10 BP
∴ = ，
12 10
25
∴BP= ．
3五．手拉手
17．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，∠A＝90°，将△ADE绕点A按逆
时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为 （0°＜ ＜360°）．
α α
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）如图3，若点D在线段BE上，且BC＝13，DE＝7，求CE的长．
（3）当旋转角 ＝ 90 ° 或 270 ° 时，△ABD的面积最大．
α
试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质可得AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，求
得∠BAD＝∠CAE即可证明；
（2）过点A作AH⊥BE于H，由△ABD≌△ACE可得BD＝CE，由等腰三角形三线合一的性质
1 7
可得AH＝DH＝EH= DE= ，由BC求得AB，再由勾股定理求得BH即可解答；
2 2
（3）根据D点轨迹可得当AD⊥AB时，△ABD面积最大，由旋转的性质求得 即可．
答案详解：（1）证明：∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形， α
∴AD＝AE，AB＝AC，
∠BAC＝∠DAE＝90°，
则∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：如图，过点A作AH⊥BE于H，由（1）证明同理可得△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，
∴AH是斜边中线，
1 7
∴AH＝DH＝EH= DE= ，
2 2
在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝13，
13
∴AB＝BCcos∠ABC= √2，
2
√169 49 √289 17
在Rt△ABH中，BH=√AB2−AH2= − = = ，
2 4 2 2
∴BD＝BH﹣DH＝5，
∴CE＝BD＝5；
（3）解：∵D点轨迹在以A为圆心，AD为半径的圆上，
∴AD的长度为定值，
∵AB的长度为定值，
∴△ABD底边AB上的高≤AD，
∴当AD⊥AB时，△ABD面积最大，即点D在直线AC上，
①如图当 ＝90°时，AD⊥AB，△ABD面积最大，
α
②如图3﹣2，当 ＝270°时，AD⊥AB，△ABD面积最大，
α∴当 为90°或270°时，△ABD面积最大；
所以答α案是：90°或270°．
18．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形成立
的有（ ）
①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
试题分析：①根据等边三角形的性质可得∠CBD＝∠ABE，然后利用手拉手模型﹣旋转型相似
证明△BCD∽△BEO；
②利用8字模型相似三角形证明△AOD∽△EOB；
AO EO
③利用②的结论可得 = ，然后利用两边成比例且夹角相等证明△AOE∽△DOB；
OD OB
④利用两角相等的两个三角形相似证明△BOD∽△BDA．
答案详解：解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠C＝∠ABC＝∠CAB＝60°，∠EDB＝∠DBE＝∠DEB＝60°，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABE，
∴△BCD∽△BEO，
故①正确；
∵∠AOD＝∠BOE，∠DAB＝∠DEB＝60°，∴△AOD∽△EOB，
故②正确；
∵△AOD∽△EOB，
AO EO
∴ = ，
OD OB
∵∠AOE＝∠DOB，
∴△AOE∽△DOB，
故③正确；
∵∠DBA＝∠DBO，∠DAB＝∠ODB＝60°，
∴△BOD∽△BDA，
故④正确；
所以，上列相似三角形成立的有4对，
所以选：D．
19．如图，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，连接CC'，将CC′沿
C′B′方向平移至EB'，连接BE，若CC'=√6，则BE的长为（ ）
A．1 B．√2 C．√3 D．2
AC √3
试题分析：连接BB′，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义可得 = ，再利用相似
AB 2
AB AC
三角形的性质可得 = ，∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠BAC＝∠B′AC′＝30°，从而利
AB' AC'
用等式的性质可得∠BAB′＝∠CAC′，进而可证△BAB′∽△CAC′，然后利用相似三角形的
CC' AC √3
性质可得∠BB′A＝∠CC′A， = = ，再利用平移的性质可得 CC′∥B′E，
BB' AB 2
B'E AC √3
= = ，从而利用平行线的性质可得∠BB′E＝30°，最后证明△BCA∽△BEB′，从
BB' AB 2而可得∠BEB′＝90°，进而在Rt△BEB′中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
答案详解：解：连接BB′，
∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，
AC √3
∴cos30°= = ，
AB 2
∵△ABC∽△AB'C'，
AB AC
∴ = ，∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠BAC＝∠B′AC′＝30°，
AB' AC'
∴∠BAC+∠CAB′＝∠B′AC′+∠CAB′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∴△BAB′∽△CAC′，
CC' AC √3
∴∠BB′A＝∠CC′A， = = ，
BB' AB 2
由平移得：
CC′＝B′E=√6，CC′∥B′E，
B'E AC √3
∴ = = ，
BB' AB 2
∵CC′∥B′E，
∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠BB′A+∠BB′E＝180°，
∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠CC′A+∠BB′E＝180°，
∴∠AC′B′+∠AB′C′+∠BB′E＝180°，
∵∠AC′B′＝90°，∠B′AC′＝30°，
∴∠AB′C′＝90°﹣∠B′AC′＝60°，
∴∠BB′E＝30°，
∴∠BB′E＝∠CAB＝30°，
∴△BCA∽△BEB′，
∴∠BEB′＝∠ACB＝90°，
√3
∴BE＝B′E•tan30°=√6× =√2，
3
所以选：B．
