文档文本内容
专题 03 圆中最值之一箭穿心、瓜豆原
理与相切
一箭穿心得最值
圆外一定点A到圆上一动点P的距离最值，分两种情况：（核心---AP所在直线过圆心）
A O
A O P
P AP最大 A P O
AP最小
瓜豆原理之圆
一、模型：A为圆外一定点，当点P在圆O上运动时，则AP中点M（如上图）的运动轨迹为：
以AO中点O’为圆心，O‘M为半径的圆。
P P
M M
O O
A A O'
二、模型结论：
1.轨迹：点M的轨迹是个圆。
2.圆心：O'是AO的中点。
1
3.O’M= OP。
2
三、模型的五种常考图O' O O'
M O
A
A
M P
P
两圆相离 两圆相外切
00'>R+r 00'=R+r
O' O'
O' O A O
M
A M M
P
P P
两圆相离 两圆相内切 两圆相内含
00'>R+r
00'=R-r 00'<R-r
典例分析：
典例1
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在
平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为 √5− 1 ≤ PC ≤√5+ 1 ．
解题思路：据条件可知线段AB是定值且AB所对的张角∠APB是定值，根据直径所对圆周角为
直角可知，动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上（不与A、B重合），（隐圆）连接
CO并延长交圆O分别为P 、P ，PC的在P C最小，P C最大，（一箭穿心）
1 2 1 2
答案详解：解：∵PA⊥PB，即∠APB＝90°，AB＝BC＝2，
∴点P在以AB为直径、AB的中点O为圆心的 O上，
⊙如图，连接CO交 O于点P ，并延长CO交 O于点P ，
1 2
1 ⊙ ⊙
∵BO= AB＝1、BC＝2，∠ABC＝90°，
2
∴CO ，
=√BC2+BO2=√22+12=√5
当点P位于点P 时，PC的长度最小，此时PC＝OC﹣OP=√5−1；
1
当点P位于点P 时，PC的长度最大．此时PC＝OC+OP=√5+1；
2
∴√5−1≤PC≤√5+1，
所以答案是：√5−1≤PC≤√5+1．
典例2
如图，已知线段OP交 O于点B，且OB＝PB＝4，点A是 O上的一个动
⊙ ⊙
点，那么点B到直线AP距离的最大值为 2 ．
试题分析：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．利用三角形中位线定理证明
1
BH= OT，求出OT的最大值即可解决问题．
2
答案详解：解：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点O作OT⊥AP于T．∵∠BHP＝∠OTB＝90°，
∴BH∥OT，
∵BP＝OB，
∴TH＝HP，
1
∴BH= OT，
2
当PA与 O相切时，OT＝4，此时BH的值最大，最大值为2，
所以答案⊙是：2．
实战训练
一．最值之一箭穿心类
1．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿
MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（ ）
A．2√3 B．√3+1 C．2√7−2 D．3
试题分析：根据题意得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
答案详解：解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MH⊥DC于点H，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，
∴2MD＝AD＝CD＝4，∠HDM＝60°，
∴∠HMD＝30°，
1
∴HD= MD＝1，
2
∴HM＝DM×cos30°=√3，
∴MC 2 ，
=√CH2+M H2= √7
∴A′C＝MC﹣MA′＝2√7−2；所以选：C．
2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A为圆心，1为半径画 A，E是圆 A上一动点，P
是BC上一动点，则PE+PD最小值是（ ） ⊙ ⊙
A．2 B．3 C．4 D．2√3
试题分析：以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于
P，则DE′就是PE+PD最小值；根据勾股定理求得A′D的长，即可求得PE+PD最小值．
答案详解：解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接
A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；
∵矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，圆A的半径为1，
∴A′D′＝BC＝3，DD′＝2DC＝4，AE′＝1，
∴A′D＝5，∴DE′＝5﹣1＝4
∴PE+PD＝PE′+PD＝DE′＝4，
所以选：C．
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在平面内一点，且
满足PA⊥PB，则PC的取值范围为 √5− 1 ≤ PC ≤√5+ 1 ．
试题分析：据条件可知线段AB是定值且AB所对的张角∠APB是定值，根据直径所对圆周角为
直角可知，动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上（不与A、B重合），连接CO并延
长交圆O分别为P 、P ，PC的在P C最小，P C最大，据此求解可得．
1 2 1 2
答案详解：解：∵PA⊥PB，即∠APB＝90°，AB＝BC＝2，
∴点P在以AB为直径、AB的中点O为圆心的 O上，
⊙
如图，连接CO交 O于点P ，并延长CO交 O于点P ，
1 2
1 ⊙ ⊙
∵BO= AB＝1、BC＝2，∠ABC＝90°，
2
∴CO ，
=√BC2+BO2=√22+12=√5
当点P位于点P 时，PC的长度最小，此时PC＝OC﹣OP=√5−1；
1
当点P位于点P 时，PC的长度最大．此时PC＝OC+OP=√5+1；
2
∴√5−1≤PC≤√5+1，
所以答案是：√5−1≤PC≤√5+1．
二．最值之瓜豆原理
4．如图，在直角坐标系中， A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C
⊙3 7
是 A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是 ≤OP≤ ．
2 2
⊙
试题分析：如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，由勾股定理可求B'A＝5，由三
角形中位线定理可求B'C＝2OP，当点C在线段B'A上时，B'C的长度最小值＝5﹣2＝3，当点C
在线段B'A的延长线上时，B'C的长度最大值＝5+2＝7，即可求解．
答案详解：解：如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，
∵点B（0，3），B'（0，﹣3），点A（4，0），
∴OB＝OB'＝3，OA＝4，
∴B'A 5，
=√OA2+B'O2=√9+16=
∵点P是BC的中点，
∴BP＝PC，
∵OB＝OB'，BP＝PC，
∴B'C＝2OP，
当点C在线段B'A上时，B'C的长度最小值＝5﹣2＝3，
当点C在线段B'A的延长线上时，B'C的长度最大值＝5+2＝7，
3 7
∴ ≤OP≤ ，
2 2
3 7
所以答案是 ≤OP≤ ．
2 2
5．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD
的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为 2√3 ．试题分析：延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．首先确定DT的取值范围，再利用
三角形的中位线定理解决问题即可．
答案详解：解：延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC＝AC＝BT＝2，∠ACB＝60°，
∴∠CAT＝90°，
∴AT＝CT•sin60°＝2√3，
∵AD＝1，
∴2√3−1≤DT≤2√3+1，
∵CB＝BT，CE＝DE，
1
∴BE= DT，
2
2√3−1 2√3+1
∴ ≤BE≤ ，
2 2
∴线段BE的最大值与最小值之和为2√3，
所以答案是2√3．
6．如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的 B经过原点O，
⊙
5+√13
BC⊥x轴于点C，点D为 B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为
2
⊙
．试题分析：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．因为AC＝CA′，
1
DE＝EA，所以EC= DA′，求出DA′的最大值即可解决问题．
2
答案详解：解：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．
由题意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB 5，
=√32+42=
∴BA′ ，
=√32+22=√13
∵AC＝CA′，DE＝EA，
1
∴EC= DA′，
2
∵DA′≤BD+BA′，
∴DA′≤5+√13，
∴DA′的最大值为5+√13，
5+√13
∴EC的最大值为 ，
2
5+√13
所以答案是 ．
2
7．如图，A是 B上任意一点，点C在 B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则
△BCD的面积⊙的最大值为（ ） ⊙A．4√3+4 B．4 C．4√3+8 D．6
试题分析：以BC为边作等边△BCM，连接DM，则△DCM≌△CAB，根据全等三角形的性质得
到DM＝AB＝2为定值，即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC的中垂
线与圆的交点时，CB边上的高取最大值为2√3+2，根据三角形的面积即可得到结论．
答案详解：解：以BC为边作等边△BCM，连接DM．
∵∠DCA＝∠MCB＝60°，
∴∠DCM＝∠ACB，
∵DC＝AC，MC＝BC
∴△DCM≌△CAB（SAS），
∴DM＝AB＝2为定值，
即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，
当点D运动至BC的中垂线与圆的交点时，
CB边上的高取最大值为2√3+2，
此时面积为4√3+4．
所以选：A．
三．最值之相切类
8．如图，等边三角形ABC的边长为4， C的半径为√3，P为AB边上一动点，过点P作 C的切
线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（⊙ ） ⊙A．3 B．2√3 C．3√2 D．√19
试题分析：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定
理求出PQ，根据等边三角形的性质求出CH，根据垂线段最短解答即可．
答案详解：解：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，
∵PQ是 C的切线，
∴CQ⊥P⊙Q，
∴PQ ，
=√CP2−CQ2=√CP2−3
当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最小值，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴CH＝BC•sinB＝2√3，
∴PQ的最小值为： 3，
√(2√3) 3−3=
所以选：A．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为 O直径，
作AD交 O于点E，连BE，则BE的最小值为（ ） ⊙
⊙A．6 B．8 C．10 D．12
试题分析：连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的 Q上，继而知
点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案． ⊙
答案详解：解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，
∴点E在以AC为直径的 Q上，
∵AC＝10， ⊙
∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，
∴QB 13，
=√BC2+QC2=
∴BE＝QB﹣QE＝8，
所以选：B．
10．如图，已知 O的直径AB为8，点M是 O外一点，若MB是 O的切线，B为切点，且MB
＝3，Q为 O⊙上一动点，则MQ的最小值为⊙ 1 ． ⊙
⊙
试题分析：根据切线的性质和勾股定理即可得到结论．
答案详解：解：∵MB是 O的切线，
⊙∴∠ABM＝90°，
∵ O的直径AB为8，
∴⊙OB＝4，
连接OM交 O于Q，
则此时MQ⊙的值最小，
∵MB＝3，
∴OM 5，
=√OB2+BM2=√42+32=
∴MQ＝5﹣4＝1，
故MQ的最小值为1，
所以答案是：1．
11．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点P在线段AC上，以P为圆心，PA长为半径的
圆与边AB相交于另一点D，点Q在直线BC上，且DQ是 P的切线，则PQ的最小值为 5
． ⊙
试题分析：连接PD，取PQ的中点E，连接CE，DE，判定点E在AB边中线上时PQ有最小值
即可．
答案详解：解：在△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
连接PD，取PQ的中点E，连接CE，DE，∵DQ是 P的切线，
∴∠PDQ⊙＝90°，
1 1
∴CE= PQ，DE= PQ，
2 2
当C、E、D三点共线时，CE+DE有最小值，
此时，D点为AB的中点，
1
即CD= AB＝5，
2
所以答案是：5．
12．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，点O为BC上的点， O的半径
OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作 O的一条切线DE（点E为切点），则⊙线段DE的
⊙
√71
最小值为 ．
2
试题分析：连接OE、OD，如图，根据切线的性质得到∠OED＝90°，则DE ，所以
=√OD2−1
当OD最小时，DE最小，利用垂线段最短得到当OD⊥AB时，OD最短，作OH⊥AB于H，OH
长即为OD最小值，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得 BC、OH，
即可得到DE的最小值．
答案详解：解：连接OE、OD，作OH⊥AB于H，如图，
∵DE为 O的切线，
∴OE⊥D⊙E，
∴∠OED＝90°，∴DE ，
=√OD2−OE2=√OD2−1
当OD最小时，DE最小，
而当OD⊥AB时，即OD最短为OH，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝12，
1
∴BC= AB＝6，
2
∴OB＝BC﹣OC＝6﹣1＝5，
∵∠B＝60°，即∠BOH＝30°，
1 5
∴BH= OB= ，
2 2
5√3
∴OH=√OB2−BH2= ，
2
∴DE的最小值为√ 5√3 √71．
( )
2−1=
2 2
√71
所以答案是： ．
2
