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专题13.2 将军饮马（最值模型） 专项讲练
三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉
有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中
都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；
②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形
两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
【解题技巧】
B B A
A
P
图形 A l
l l
P M N
B
将军
原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系
饮马
A，B为定点，l为定直 A，B为定点，l为定直
模型
线，P为直线l上的一个 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l 线，P为直线l上的一个
特征
动点，求AP+BP的最小 上的一条动线段，求AM+BN的最小值 动点，求|AP-BP|的最大
值 值
作其中一个定点关于定 先平移AM或BN使M，N重合，然后 作其中一个定点关于定
转化
直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线l的对称点 直线l的对称点
题型1: 求两条线段和最小值
例1．（2022·广东新丰·八年级期末）如图所示，在 中， ，直线EF是AB的垂直平分线，D
是BC的中点，M是EF上一个动点， 的面积为12， ，则 周长的最小值是______．
【答案】8
【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长
=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，
∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，
∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC， ，∴ ，
∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当
A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．
变式1．（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P
是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．
【答案】6
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，
∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，
∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值为6，故答案为6．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
变式2．（2021·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，
D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ___．
【答案】18
【分析】首先明确要使得 PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可
得满足PC+PB最小即可，△根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．
【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，
∵ PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得 PMB周长最小，即使得PM+PB最小，
∵△PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显△然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，
此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴ PMB周长最小值即为BC+BM，
此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线△于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，
由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵ ，
，
∴ ，即： ，∴ ，解得：AB=14，
∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴ PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．
△【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推
理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．
变式3．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形 的边长为5，A、B、 三点在一条直线上，
且 ．若D为线段 上一动点，则 的最小值是________．
【答案】10
【分析】连接CA 交BC 于点E，C、A 关于直线BC 对称，推出当点D与B重合时，AD+CD的值最小，
1 1 1 1
最小值为线段AA 的长＝10．
1
【详解】解：连接CA 交BC 于点E，过点B作直线l⊥AB，如图，
1 1
∵ ABC是等边三角形，
△
∴ 是等边三角形，AB=AB=5
1
∵A、B、 三点在一条直线上，
∴ ABC与 ABC 关于直线l对称，
1 1
∵∠△ABC＝∠△ABC ＝60°，
1 1
∴∠CBC ＝60°，
1
∴∠C BA＝∠C BC，
1 1 1
∵BA＝BC，
1
∴BD⊥CA ，CD＝DA，
1 1
∴C、A 关于直线BC 对称，
1 1
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA 的长＝10，
1
故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会找对称点，形成两点
之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型．
变式4．（2022•西湖区月考）如图直线l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥l ，现要在这条河上建一座桥．桥
1 2 1 2
建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
【分析】先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直
河岸，交另一河岸于点D，即可得出答案．
【答案】解：如图，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C
作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．
理由：由作图过程可知，四边形ACDA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，
线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．
【点睛】本题考查的是作图﹣平移变换以及利用轴对称解决最短路径问题，熟知图形平移不变性的性质是
解答此题的关键．
题型2: 求两条线段差最大值例2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图， ， ，AD是∠BAC内的一条射线，
且 ，P为AD上一动点，则 的最大值是______．
【答案】5
【分析】作点 关于射线 的对称点 ，连接 、 、B'P．则 ， ， 是等
边三角形，在 中， ，当 、 、 在同一直线上时， 取最大值 ，即
为5．所以 的最大值是5．
【详解】解：如图，
作点 关于射线 的对称点 ，连接 、 ，B'P．
则 ， ， ， ．
∵ ，∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
在 中， ，
当 、 、 在同一直线上时， 取最大值 ，即为5．
∴ 的最大值是5．故答案为：5．【点睛】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．
变式1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在等边 中，E是 边的中点，P是 的中线
上的动点，且 ，则 的最大值是________．
【答案】3
【分析】连接PC，则BP=CP， =CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解．
【详解】解：连接PC，
∵在等边 中， ，P是 的中线 上的动点，
∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴ =CP-PE，
∵在 中，CP-PE＜CE，∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE，
∵E是 边的中点，∴ 的最大值=6÷2=3．故答案是：3．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到 =CP-PE，是解题
的关键．
题型3: 求三条（周长）最小值（双动点问题）
【模型图示】要求：点P位定点，在直线 l 1， l 2上分别找点M， N ，使 △PMN 周长（即 PM+PN+MN ）最小
操作：分别作点P关于直线 l 1， l 2的对称点P’和P”，连结P’P”与直线 l 1， l 2的交点为M， N ，
(C ) =P’P”
△PMN 最小值
求P’P”长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°）A，连结 AP’， AP ，
AP”，由对称性可求∠P’AP”=2∠A也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°）， AP’=AP=AP”，
可得特殊等腰 △AP’P” ，利用三边关系求出P’P”
要求：点P， Q 为定点，直线 l 1， l 2上分别找M， N ，使 PQMN 周长（即 PQ+PM+PN+MN ）小
操作：分别作点P， Q 关于直线 l 1， l 2的对称点P’和 Q’ ，连结 P’Q’ 与直线 l 1， l 2的交点为M， N ，
(C ) =PQ+P’Q’
四边形PQMN 最小值
例3．（2022·上虞市初二月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA
和射线OB上的动点，若 PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）
△
A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、
OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，
∠DOB=∠POB，得出∠AOB= ∠COD，证出 OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
△
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=
∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即 OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．
【点睛】此题考查轴对称的性质，△最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证
明三角形是等边三角形是解题的关键．
变式1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在
BC、CD上分别取一点M、N，使 AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
△
【答案】80
【分析】作点A关于BC、CD的对称点A、A，根据轴对称确定最短路线问题，连接A、A 分别交BC、
1 2 1 2
DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A+∠A，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可
1 2
得∠MAN．【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A、A，连接A、A 分别交BC、DC于点M、N，连接
1 2 1 2
AM、AN，则此时△AMN的周长最小，
∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A+∠A＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A、A，∴NA＝NA ，MA＝MA ，
1 2 1 2 2 1
∴∠A＝∠NAD，∠A＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A+∠A＝50°，
2 1 1 2
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．
【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是
解决本题的关键．
变式2．（2021·江苏九年级一模）如图，Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，
BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小△值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
【答案】C
【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，
FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可
得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，
EN，FM，DN，DM．
∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值为
MN=2CD，
∵CD⊥AB，∴ •AB•CD= •AB•AC，∴CD= = =2.4，∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选：
C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴
对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
变式3．（2021·和平区·天津一中八年级期末）如图， ，点M，N分别是边 ， 上的定点，
点P，Q分别是边 ， 上的动点，记 ， ，当 的值最小时，
的大小=__________（度）．
【答案】50
【分析】作M关于OB的对称点 ，N关于OA的对称点 ，连接 ，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，可知此时 最小，此时
，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结
论．
【详解】作M关于OB的对称点 ，N关于OA的对称点 ，连接 ，交OB于点P，交OA于点
Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时 最小，即
，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ．故答案为：50．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问
题是解题的关键，综合性较强．
课后训练：
1．（2022·重庆八中七年级期末）如图， ，且 ，D，E分别为射线 和射线
上两动点，且 ，当 有最小值时，则 的面积为________．【答案】6
【分析】延长 ，以点 为圆心， 为半径，作圆弧交延长线于点G，得 ．连接 、 、
， ，得 ，当点 ， ， 三点在一条直线，
距离最短．过点 作 交 于点 ，得 ，得 ， ， ，
为中点时 值最小．又根据 ，即可求出 的面积．
【详解】延长 ，以点 为圆心， 为半径，作圆弧交延长线于点G，连接 、 、
∴ ，
又∵ ， ∴
∴ ∴
由图可知，当点 ， ， 在一条直线上，距离最短
过点 作 交 于点 ∴ ∴
又∵ ，
∴ ∴
∴ ∴ 故答案为：6．
【点睛】本题考查动点距离问题，平行线之间的距离相等，三角形全等知识点；熟练掌握动点距离最短，
三角形全等是解题的关键．
2．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图， 中， ， ， ， 于点 ，
是 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，在 上确定一点 ，使 最小，则这个最
小值为（ ）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得
到AD=PB+PD的最小值，即可得到结论．
【详解】解：∵AB=AC，BC=3，S =6，AD⊥BC于点D，∴AD=4，
ABC
△
∵EF垂直平分AB，∴点A，B关于直线EF对称，∴EF与AD的交点P即为所求，
如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为4，故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要
考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
3．（2022·山东八年级期末）如图，在 中， ， ， ，直线 是 中 边的
垂直平分线， 是直线 上的一动点，则 的周长的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP＋CP值的最小，求出
AB长度即可得到结论．
【详解】解：∵直线m垂直平分BC，∴B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是6＋4＝10．故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称−最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
4．（2022·陕西安康·八年级期末）如图， 的面积为24， 的长为8， 平分 ，E、F分别
是 和 上的动点，则 的最小值为____________．
【答案】6
【分析】在 上取点 ，使 ，过点C作 ，垂足为H，连接 、 ， 交 于
，得出 ．根据E、F分别是 和 上的动点，三角形三边的关系和垂线段最短得
出 ，求出 的长即可得出 的最小值．
【详解】解：如图所示，在 上取点 ，使 ，过点C作 ，垂足为H，连接 、
， 交 于 ．∵ 的面积为24， 的长为8，∴ ，∴
，
∵ 平分 ，∴
又∵ ， ，∴ ≌ （SAS），
∴ ，∴ ，
∵E、F分别是 和 上的动点，∴ ， ∴
∴当C、E、 共线且点 与点H重合时，即 ，这时 的值最小，
∴ 最小值为6．故答案为：6．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题．灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将
所求最小值转化为求 的长是解题的关键．
5．（2022·山东临沂·八年级期中）如图， 中， ， ， ， 于点 ，
是 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，在 上确定一点 ，使 最小，则这个最
小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得
到AD=PB+PD的最小值，即可得到结论．
【详解】解：∵AB=AC，BC=3，S =6，AD⊥BC于点D，∴AD=4，
ABC
△
∵EF垂直平分AB，∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点P即为所求，
如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为4，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要
考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．（2022·河南·安阳市殷都区教科培中心八年级期末）如图，在 中， ，边 的垂直平分
线 分别交 ， 于点 ， ，点 是边 的中点，点 是 上任意一点，连接 ， ，若
， ， 周长最小时， ， 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接AP，根据线段垂直垂直平分线的性质可知PA=PC， ．由
，即得出 ，由此可知当A、P、D在同一直线上时， 最小．
再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD为 的平分线，即 ．最后根据三角
形外角性质即得出 ，由此即可判断 ．
【详解】如图，连接AP，
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，且P在线段MN上，
∴PA=PC， ．
∵ ,∴ ．
由图可知CD为定值，当A、P、D在同一直线上时， 最小，即为 的长，∴此时 最小．∵D是边BC的中点，AB=AC，∴AD为 的平分线，∴ ．
∵ ，即 ，∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．
根据题意理解当A、P、D在同一直线上时 最小是解题关键．
7．（2022·全国·八年级期中）如图，在 中， ， ， ， ， 是
的平分线，若点 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值是______．
【答案】
【分析】由题意可以把Q反射到AB的Q点，如此PC+PQ的最小值问题即变为C与线段AB上某一点O
的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．
【详解】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，
∵当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，
∴PC+PQ的最小值即为CM的长度，
∵ ，
∴CM= ，即PC+PQ的最小值为 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查线段和最小的问题，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线
段最短问题是解题关键．
8．（2022·清远市八年级期中）如图，点D是锐角 内一点， 于点E，点F是线段 的一
个动点，点G是射线 的一个动点，连接 、 、 ，当 的周长最小时， 与 的
数量关系式是________．
【答案】
【分析】作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时
△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，根据轴对称的性质得出△GOD≌△GOD″，
△FOD≌△FOD′，即可得出∠BOD=∠BOD′，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠ODF′，由
∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠ODF′+∠ODG″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB+∠GDF=180°．
【详解】解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此
时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，
∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F，
∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G，
∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，∴2∠AOB+∠GDF=180°，故答案为2∠AOB+∠GDF=180°．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
9．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣
2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最
小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点 、 ，连接BP、CQ、 、 ，PQ，得出BP＋PQ
＋CQ的最小值为 ，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得 和 即
可求得．
【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点 、 ，连接BP、CQ、 、 ，PQ
∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH， 、 关于y轴对称，
∴当 、 ，P、Q在同一条直线上时， 最小，此时 轴，
∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°，
∵ 轴，B、 关于AG对称，∴ , ，
∴△BPG为等边三角形，过作PM⊥GO交x轴与M，
∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴ ，
∴ ，同理可得 ,即 ．故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确
变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．
10．（2022·河南·九年级专题练习）如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交
于点M， ， 的周长是 ，若点 在直线 上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据已知条件 垂直平分 ，可知 ，即可将 的周长转换为AB+BC，即可求
出 ，再通过作辅助线（见详解），可得到 ，则 中 ，当
共线时（ ）有最大值即可得到 最大值，得到答案．
【详解】解：
∵ 垂直平分 ∴
又∵
∴
在 上取点 ∵ 垂直平分
1
连接 、 、 ∴ ∴
在 中
当 运动 位置时，即 共线时（ ）有最大值，此时 .
即 最大值是8cm,故答案选B.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
11．（2021·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC
上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°
【答案】C
【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝
HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问题．
【详解】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角
形解决问题．
12．（2022·湖北青山·八年级期中）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为
边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD△，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得 ，再根据等边三角形的判定即可得证；
（2）连接 ，先根据等边三角形的性质可得 ，再根据等腰三角形的三线合一可得
垂直平分 ，然后根据线段垂直平分线的性质可得 ，同样的方法可得 ，从而可得
，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】证明：（1） 在 中， ， ，
点 是 斜边 的中点， ， 是等边三角形；
（2）如图，连接 ，和 都是等边三角形， ， ，
， 垂直平分 ， ，
同理可得： 垂直平分 ， ， ，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 取得最小值 ，
故 的最小值为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三
角形的性质是解题关键．
13．（2022·福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN
上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____．
【答案】15°##15度
【分析】作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，先证明 BCD是等边三角形，
从而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，进而求得∠CDP＝15°，据轴对△称性可得∠CBP的度
数．
【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，
∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，
∴BC=CD，∠BCD＝60°，
∴ BCD是等边三角形，
∵△∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，
∴∠CDP＝15°，
∵点B与点D是关于MN的对称点，，且 BCD是等边三角形，
∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=△∠CDP=15°，
故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP
的最小值为AD长是解题的关键．
14．（2022·湖北·武汉市六中位育中学八年级）如图， ， 为 上一动点， ，过
作 交直线 于 ，过 作 交直线 于点 ，若 ，当 的值最大
时，则 ________ ．
【答案】123°
【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，
根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，
∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，
又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键．
