文档内容
第二十四章 圆
专题20 圆中最值问题专训（九大题型）
【题型目录】
题型一 圆中的线段最值问题
题型二 圆中的线段之和最值问题
题型三 圆中的线段平方和最值问题
题型四 圆中的面积最值问题
题型五 圆中的周长最值问题
题型六 圆中的旋转最值问题
题型七 圆中的翻折最值问题
题型八 阿氏圆求最值问题（含相似证明）
题型九 圆中的最值综合问题
【经典题型一 圆中的线段最值问题】
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在 中， ， ，现以 为边在 的下方作
正方形 并连接 ，则 的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【分析】将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ，则 是等腰直角三角形， ，再
利用三角形三边关系可得答案．
【详解】解：将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ，则 是等腰直角三角形， ，
，
在 中， ，
的最大值为 ，
即 的最大值为6，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形三边关系等知识，熟练掌握旋转的性质是解
题的关键．
2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， ，点C在y轴正半轴上，
点D在x轴正半轴上，且 ，以 为直径在第一象限作半圆，交线段 于E、F，则线段 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过 的中点G作 的垂线与 交于点M，过点O作 于H，连接 ，先求出
，进而求出 ，再根据等面积法求出 ，由直角三角形斜边中线的性质得到
，由垂径定理得到 ，由 ，可知当 最小时， 最大，即最大，再由 ，得到 ，则 ，即可得到 ．
【详解】解：过 的中点G作 的垂线与 交于点M，过点O作 于H，连接
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，G为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最小时， 最大，即 最大，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故选B．【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，
正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2023春·安徽·九年级专题练习）四边形 是边长为4的正方形，点E在 边上，连接 ，F为
中点，连接 ，点G在 上且 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，可得G点在 上，取 的中点H，则 ，得出G在 上，进而
根据两点之间线段最短，当H，G，C三点共线时， 取得最小值，勾股定理求得 的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
四边形 是正方形，
，
是 的中点，
，
又 ，
点在半径为 的 上，，
取 的中点H，则 ，
在 上，
当H，G，C三点共线时， 取得最小值，
最小值为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径，正方形的性质，勾股定理，熟练掌
握圆周角定理是解题的关键．
4．（2023春·广东·八年级校考开学考试）如图，直线 ： 交y轴于A，交x轴于B，x轴上一
点 ，D为y轴上一动点，把线段 绕B点逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，则当
长度最小时，线段 的长为（ ）
A． B． C．5 D．【答案】B
【分析】如图，设 ．由题意得到 ，求得 ， ，过E作 于H，根据旋转
的性质得到 ， ，根据全等三角形的性质得到 ， ，根据勾股
定理得到 ，于是得到 时， 长度最小，求得
，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，设 ．由题意： ，
∴ ， ，过E作 于H，
∴ ，
∵把线段 绕B点逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 长度最小，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，坐标与图形的变化，旋转变换、勾股定理等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，学会利用完全平方公式解决最值问题．
5．（2023春·四川成都·八年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标
轴交于 ， 两点， 于点 ， 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转
，得到线段 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】由点 的运动轨迹确定 在与 轴平行的直线 上运动，当线段 与 垂直时，线段
的值最小，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：将 及 分别代入 得： ，
由已知可得 ， ，
三角形 是等腰直角三角形，
，
，即 ， ，
在 上取点 ，使 ,又 是线段 上动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在与 轴平行的直线 上运动，
当线段 与 垂直时，线段 的值最小，
在 中， ， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数的图象，旋转的性质，垂线段最短以及勾股定理；
关键是判断动点 运动轨迹．
6．（2023春·四川成都·八年级校考期中）在 中， 为 的中点， 为
的中点， 为线段 上一动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ， 为直线
上一动点，点 关于直线 的对称点为 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．【答案】 /
【分析】连接 、 ，证明 、D、C三点在以点P为圆心， 为半径的圆上，根据 为此圆的弦，
点 在线段 上，得出 ，即 ，根据线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，得出
，根据 垂直平分 ，得出 ，根据 ，
得出 ，即可求出结果．
【详解】解：连接 、 ，如图所示：
∵在 中， 为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵P为 的中点，
∴ ，
∴ 、D、C三点在以点P为圆心， 为半径的圆上，
∴ 为此圆的弦，
∵点 在线段 上，∴ ，
即 ，
∵线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∵点 关于直线 的对称点为 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，三角形三边关系，解题
的关键是作出辅助线，求出 ， ．
7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ， 是 内
一动点， 为 的外接圆， 交直线 于点 ，交边 于点 ，若 ，则 的最小值
为 ．
【答案】
【分析】根据 得 ，再由 可得到 ，于是点 在以 为弦，
的圆弧上运动，再由 可证明 ，从而算出 ，当 、 、
三点共线时， 最小，求出此时 的长即可．【详解】解： ，
，
，
，
，
点 在以 为弦， 的圆弧上运动，
如图，设 点运动的圆弧圆心为 ，取优弧 上一点 ，连接 ， ， ， ， ， ，
，
则 ，
，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，
此时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理、等边
三角形的判定与性质、勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知 中， ，则 的最大值为
．
【答案】
【分析】过点C作 ，垂足为D，取 ，即可说明 是等腰直角三角形，求出
，进一步求出 ，继而将 转化为 ，推出点D在以 为直
径的圆上，从而可知当 为等腰直角三角形时， 最大，再求解即可．
【详解】解：如图，过点C作 ，垂足为D，取 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，而 一定，
∴当 的面积最大时， 最大，
∵ ，∴点D在以 为直径的圆上，
∴当D平分 时，点D到 的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时 ，则 为等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为： ．
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，
解题的关键是添加辅助线，将最值转化为 的长．
9．（2023·河南焦作·校考二模）如图，在 中， ， ， ，正方形 的边长
为1，将正方形 绕点C旋转一周，点G为 的中点，连接 ，则线段 的取值范围是
．
【答案】
【分析】根据正方形 绕点C旋转一周，得到点G的运动轨迹为定长圆，圆心为点C，半径为 ，
得到 最大值和最小值均为点A、C、G三点共线时，再求出 长，得到线段 的取值范围．
【详解】 中， ， ， ，
，
将正方形 绕点C旋转一周，
点G的运动轨迹为定长圆，圆心为点C，半径为 ，连接 ，
点G为 的中点，正方形边长为1，
，
中， ，
当点A、C、G三点共线时，
在 处 最大为 ，
在 处 最小为 ，
故 ．
【点睛】本题考查旋转中定长圆上一点到另一定点的距离的范围，注意图形绕一点旋转，则图形上的点的
轨迹均为定长圆，圆心为旋转点，半径为该点到旋转点的距离．且点到圆上一点最大距离为点到
圆心距离加上半径，点到圆上一点最大距离为点到圆心距离与半径的差．
10．（2023春·江苏·八年级期末）小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中
， ， ， ，连接 ，取 的中点F，将三角
板 绕点A按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点F到直线 的距离的最大值是 ．【答案】 /
【分析】如图，取 的中点O，连接 ，F为 的中点，由三角形的中位线定理得出 ，得出
在旋转过程中，点F在以O为圆心 为半径的圆上动，再过O点作 于R，构造直角三角
形，求出 长，进而即可得解．
【详解】解：如图，取 的中点O，连接 ，F为 的中点，
由三角形的中位线定理得，
∴在旋转过程中，点F在以O为圆心 为半径的圆上运动
过O点作 于R，
在 中，
∴
∴点F到直线 的距离的最大值为
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，中位线定理等知识点，通过作图构造不变的线段是解题的关键．
【经典题型二 圆中的线段之和最值问题】
1．（2023·山东聊城·统考二模）如图，矩形 中， ， ，以A为圆心，2为半径画圆A，
E是圆A上一动点，P是 上一动点，则 最小值是（ ）
A． B． C．8 D．12
【答案】C
【分析】作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，此时 最小，
等于 ，勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，此时
最小，等于 ，
∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为8，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最小值，熟练掌握矩形的性质，轴对称性质
是解题的关键．
2．（2023·安徽合肥·统考二模）矩形 中， ， ，点E是 边上的一个动点，连接 ，
的角平分线 交 边于点F，若 于M点，连接 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】作 ， ，证明 ，推出 ，当D、M、B三点共线
时， 有最小值，最小值是 的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：作 ， ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴A、D、M、E四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当D、M、B三点共线时， 有最小值，最小值是 的长，
∴ 的最小值是 ，
故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，证明
是解题的关键．
3．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，点E是矩形 内部一动点，
且 ，点P是 边上一动点，连接 、 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】根据 得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将 进行转化即可求解．
【详解】解：如图，设点O为 的中点，由题意可知，
点E在以 为直径的半圆O上运动，作半圆O关于 的对称图形（半圆 ），
点E的对称点为 ，连接 ,则 ，
∴当点D、P、 、 共线时， 的值最小，最小值为 的长，
如图所示，在 中， ， ，
，
又 ，，即 的最小值为8，
故选：A．
【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将
进行转化时解题的关键．
4．（2023秋·新疆乌鲁木齐·九年级统考期末）如图，在 中， 是 的直径， ，
， 是点 关于 的对称点， 是 上的一个动点，有下列结论：① ；②
；③ ；④ 的最小值是10；⑤ .上述结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据 和 是点 关于 的对称点，求出 ，求出 即
可判断①②；根据圆周角定理求出当 和 重合时 即可判断③；求出 点的位置，根据圆周
角定理得出此时 是直径，即可求出 长，即可判断④；已知 是 上的一个动点，则 的大
小会随着点 位置的变化而变化，即可判断⑤．
【详解】∵ 和 是点 关于 的对称点，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∴ ，故②正确；
∵ 的度数是 ，∴ 的度数是 ，
∴只有当 和 重合时 ，
∵ ，
∴只有当 和 重合时， ，故③错误；
作点 关于 的对应点 ，连接 ，交 于 ，连接 交 于 ，此时
的值最短，等于 ，连接 ，
∵ ，且弧的度数都是 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是 的直径，即 ，
∴ 的最小值是10，故④正确；
∵已知 是 上的一个动点，
∴ 的大小会随着点 位置的变化而变化，
∴ 的大小不能确定，故⑤错误；
故选：C
【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称--最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数
和求出 的位置是解此题的关键．
5．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图， 是 的一条弦，点C是 上一动点，
且 ，点E，F分别是 的中点，直线 与 交于G，H两点，若 的半径是8，则
的最大值是（ ）A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】首先连接 ，根据圆周角定理，求出 ，进而判断出 为等边三角
形；然后根据 的半径为8，可得 ，再根据三角形的中位线定理，求出 的长度；最
后判断出当弦 是圆的直径时，它的值最大，进而求出 的最大值是多少即可．
【详解】如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∵ 的半径为8，
∴ ，
∵点E，F分别是 的中点，
∴ ，
∵ 为定值，
∴当 最大时， 最大
∵当弦 是圆的直径时，它的最大值为： ，
∴ 的最大值为： ．
故选B．【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的性质，判断出当弦GH是圆的直径时GE+FH取得最大值是
关键．
6．（2023·浙江台州·统考一模）如图， 是半圆O的直径，P是 上的动点， 交半圆于点C，
已知 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【分析】连接 ，可得 ，设 ，则 ，则问题转化为求 的
最大值，然后根据不等式的性质和完全平方公式的变形解答即可．
【详解】解：连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ （当且仅当 时等号成立）
∴ ，
∴ （当且仅当 时等号成立），
∴ 的最大值是 ，即 的最大值是 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆的基本知识、不等式的应用和完全平方公式等知识，灵活应用转化的思想方法，求得 是解题的关键．
7．（2023春·九年级单元测试）如图，A点的坐标为 ，以A为圆心的 切x轴于点B， 为
上的一个动点，则 的最大值=
【答案】 /
【分析】设 ，则点 在直线 上，易得直线 与 轴的交点坐标为 ，于
是可判断当直线 与 在上方相切时，k的值最大，直线 与 轴交于点 ，切 于 ，
作 轴于 ， 于 ，连接 ，如图，则 ，利用直线 的性质易得
，则 为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得 ， ，
， ，所以四边形 为矩形， ，则 ，
，所以以 ，然后在 中，利用 得到
，解得 ，从而得到 的最大值为 ．
【详解】解：设 ，则点 在直线 上，当 时， ，即直线 与 轴
的交点坐标为 ，所以当直线 与 在上方相切时，k的值最大，直线 与 轴交于
点 ，切 于 ，
作 轴于 ， 于 ，连接 ，如下图，当 时， ，解得 ，则 ，
直线 为直线 向上平移 个单位得到，
，
为等腰直角三角形，
和 为 的切线，
， ， ， ，
四边形 为矩形， ，
为等腰直角三角形，
，
，
在 中，
，
，解得 ，
的最大值为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，运用切线的性质来进行计算或论证，
常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，解题的关键是确定直线
与A相切时 的最大值．
8．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，A、 是半圆 上的两点， 是直径， ．若
， ， 是 上的一动点，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】延长 交 于 连接 交 于P，连接 ．则 的值最小，利用勾股定理即可解决
问题．
【详解】解：延长 交 于 连接 交 于P，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，此时 的值最小，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用和最短路径问题，正确的作辅助线是解决本题的关键．
9．（2023秋·广西南宁·九年级校联考阶段练习）在矩形 中， ，点E在 边上，
，点P为矩形内一点且 ，点M为 边上一点，连接 ，则 的最小值
为 ．【答案】
【分析】可得出点P在以 为直径的圆O上运动，作点D关于 的对称点G，连接 交 于点P，
交 于M，则 的最小值是 的长，据此求解即可．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴点P在以 为直径的圆O上运动，
作点D关于 的对称点G，连接 交 于点P，交 于M， 的最小值是 的长,
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ,
∴P ，
∴ 的最小值为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最小值，矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质等等，确
定点P的运动轨迹是解题的关键．10．（2023春·九年级课时练习）如图，在 中， 是 的直径， ， ，点E是点
D关于 的对称点，M是 上的一动点，下列结论：① ；② ；③
；④ 的最小值是10，其中正确的序号是 ．
【答案】 /
【分析】①①根④据④等①弧所对的圆心角所对得 ；根据圆的对称性得 ；故①正确；
②根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得 ，故②错误；
③根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得 ，再根据三角形内角和即可得 ；故③
正确；
④作C关于 的对称点F，连接 交 于点N，连接 交 于点M，此时 的值最短，即
为 长，连接 ，根据圆周角定理得 ， ，再由三角形内角和得 ，再
由圆周角定理得 是 的直径，即可得出 的最小值，故④正确．
【详解】解：①∵ ，
∴ ；
又∵点E是点D关于 的对称点，
∴ ；故①正确；
②∵ ，故②错误；
③由M为AB上动点，D为定点，
∴ 不一定垂直于CE；故③错误；
④作C关于 的对称点F，连接 交 于点N，连接 交 于点M，此时 的值最短，即
为 长，连接 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 是 的直径，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，轴对称的应用—最短距离问题，灵活运用所学
知识求解是解决本题的关键．
11．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径，点C、D是 上的点，且 ，
分别与 、 相交于点E、F．
(1)求证：点D为 的中点；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)若 的半径为5， ，点P是线段 上任意一点，试求出 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理得到 ，再证明 ，然后根据垂径定理得到点D为 的中点；
（2）证明 为 ACB的中位线得到 ，然后计算 即可；
△
（3）作C点关于 的对称点 ， 交 于P，连接 ，如图，利用两点之间线段最短得到此时
的值最小，再计算出 ，作 于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含
30度的直角三角形三边的关系求出 ，从而得到 的最小值．
【详解】（1）∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即点D为 的中点；
（2）解：∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ；
（3）解：作C点关于 的对称点 ， 交 于P，连接 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∴此时 的值最小，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵点C和点 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
作 于H，如图，
则 ，
则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】此题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路径问题、三角形中位
线定理等知识，熟练掌握相关的定理内容并灵活应用是解题的关键．
【经典题型三 圆中的线段平方和最值问题】
1．（2023·广西·模拟预测）如图，在正方形 中， ，以边 为直径作半圆 ， 是半圆 上
的动点， 于点 ， 于点 ，设 ， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由题意，四边形 为矩形， ，所以当 最小时，即 三点共线时，
最小，利用勾股定理进行计算，即可得解．
【详解】解：连接
∵四边形 为正方形， ， 为圆O直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵
∴当 三点共线时， 最小， ，
则： ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查圆上的动点问题，正方形的性质，矩形的判定和性质．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上
一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．
2．（2022春·全国·九年级期末）如图，在正方形 中， ，以边 为直径作半圆O，E是半圆
O上的动点， 于点F， 于点P，设 ，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，四边形 为矩形， ，所以当 最小时，即 三点共线时，
最小，利用勾股定理进行计算，即可得解．
【详解】解：连接
∵四边形 为正方形， ， 为圆O直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵
∴当 三点共线时， 最小，
则： ，∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题考查圆上的动点问题．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一
点的距离最大或最小是解题的关键．同时考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，是一道综合题．
3．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）在 中，若 为 边的中点，则必有：
成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 中，已知 ，
，点 在以半径为 的 上运动，则 的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 的中点为 ，连接 、 ，根据题意可得， ，由此可以判
定 的最大值，即是 的最大值，即可求解．
【详解】解：设 的中点为 ，连接 、 ，如下图：
则 ， ，
根据题意可得， ，
的最大值，即是 的最大值，
又∵点 在以半径为 的 上运动，
∴ 的最大值 ，由勾股定理可得： ，
∴ 的最大值为14，
∴ 的最大值为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出
的最大值是解题的关键．
4．（2022春·九年级课时练习）如图，点 ， ， 均在坐标轴上， ，过 ， ， 作
， 是 上任意一点，连结 ， ，则 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】C
【分析】连接 ， ，如图，利用圆周角定理可判定点 在 上，易得 ， ， ，
， ，设 ，则 ，由于 表示 点到原点的距离，则当
为直径时， 点到原点的距离最大，由于 为平分 ，则 ，利用点 在圆上得到
，则可计算出 ，从而得到 的最大值．
【详解】解：连接 ， ，如图，，
为 的直径，
点 在 上，
，
， ， ， ， ，
设 ，
，
而 表示 点到原点的距离，
当 为直径时， 点到原点的距离最大，
为平分 ，
，
，
，
即
，
此时 ，
即 的最大值是6．
故选： ．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到
是解题的关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作
⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则 的最大值是 ．【答案】6
【分析】连接AC，OD，DE，根据圆周角定理的推论，推出AC是⊙D的直径，设E（x，y），利用勾股
定理分别求出求出 ，得到 与 的关系，推出当 最大时， 最大，
根据圆中直径最长，即可求出 的最大值．
【详解】解：连接AC，OD，DE，
设E（x，y），
∵ ，
∴AC是⊙D的直径，
∵AO＝BO＝CO＝1，
∴A（0，1），C（1，0），B（﹣1，0），
∴ ，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴当OE为⊙D的直径时，OE最大， 的值最大，∴ ，
∴ 的最大值 ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，点与圆的位置
关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M
（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为
【答案】100
【分析】设点P（x，y），表示出PA2＋PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的
最值，代入求解即可．
【详解】解：设P（x，y），
∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x−1）2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2，
∵OP2＝x2＋y2，
∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，
当点P处于OM与圆的交点P 处时，OP取得最大值，如图，
∴OP的最大值为OP ＝OM＋P M＝ ＋2＝7，∴PA2＋PB2最大值为2×72＋2＝100．
故答案为：100．
【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最
大值，难度较大．
7．（2022·九年级单元测试）如图，点 、 、 均在坐标轴上， ，过 、 、 作
， 是 上任意一点，连结 ， ，则 的最大值是 ．
【答案】6
【分析】连接 ， ，如图，利用圆周角定理可判定点 在 上，易得 ， ， ，
， ， ，设 ，利用两点间的距离公式得到则 ，由于 表
示 点到原点的距离，则当 为直径时， 点到原点的距离最大，由于 为平分 ，则 ，
利用点 在圆上得到 ，则可计算出 ，从而得到 的最大值．
【详解】解：连接 ， ，如图，
，
为 的直径，
点 在 上，
，
， ， ， ， ， ，
设 ，，
而 表示 点到原点的距离，
当 为直径时， 点到原点的距离最大，
为平分 ，
，
，
，
即
，
此时 ，
即 的最大值是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点
到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了圆周角定理、勾股定理和坐标与图形性
质．
8．（2022秋·湖北黄冈·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 是以 为圆心，1
为半径的 上的一个动点，已知 ， ，连接 ， ，则 的最小值是 ．
【答案】34
【分析】设点 ，表示出 的值，从而转化为求 的最值，根据图形求出 的最小值，代
入求解即可．
【详解】解：设 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当点P处于 与圆的交点上时， 取得最值，
∴ 的最小值为 ，
∴ 最小值为 ．
故答案为34．
【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解 的最
小值，难度较大．
9．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）在边长为10的正方形 中，以 为直径作半圆，圆心为
， 是半圆上一动点，过点 作 ，垂足为 ，连接 ．
(1)如图1，若直线 与圆 相切，求线段 的长；
(2)求 的最小值；
(3)如图2，若 ，求 的最小值．
【答案】(1)10
(2)(3)200
【分析】(1)连接 ，根据正方形的性质，切线的性质，证明 即可．
(2)设 与半圆于点M，当点E与点M重合时， 最短，运用勾股定理计算即可．
(3) 根据 为直径，则 ，得到 是定值，故t的最小值，有
的最小值确定，且当E位于正方形对角线交点处时，取得最小值．
【详解】（1）连接 ，
∵边长为10的正方形 ，直线 与圆 相切，E为切点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图1，连接 ，设 与半圆于点M，当点E与点M重合时， 最短，
∵边长为10的正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）∵ 为直径，
∴ ，
∴ 是定值，
故t的最小值，有 的最小值确定，
∵点E在半圆弧上，
∴在正方形 中， 只能是锐角三角形或者直角三角形，不可能是钝角三角形，
∴ ，
当且当E位于正方形对角线交点处时（此时 是直角三角形），取等号．
∴ ，
∴ ，
故t的最小值为200．
【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，勾股定理
是解题的关键．
【经典题型四 圆中的面积最值问题】1．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两
点， 是以 为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接 、 ．则 面积的最大值是（ ）
A．21 B．33 C． D．42
【答案】B
【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出 ，求出点C到 的距离，即可求出圆C上点到 的
最大距离，根据面积公式求出即可．
【详解】解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为 ，B点的坐标为 ，
即 ，由勾股定理得： ，
过C作 于M，连接 ，
则由三角形面积公式得： ，
即： ，
∴ ，
∴圆C上点到直线 的最大距离是： ，∴ 面积的最大值是 ；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解此题的关键是求出圆上的点到直线 的最大距
离．
2．（2023春·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）如图，在正方形 中， ，若点
在对角线 上运动，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ．点 在 上，
且 ．
给出以下四个结论： ① ， ② ，③线段 的最小值是 ，④ 面积的
最大是16．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【分析】①根据旋转的性质证明 为等腰直角三角形，即可得出结论；
①根据正方形的性质，和旋转的性质，利用“ ”证明 ，得出 ，
，证明 ，根据勾股定理即可证明结论；
③根据 ，得出点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作 垂足为点H，
此时 最小值即为 的长，求出 的长即可；
④根据 ，得出 ，表示出
，即可求出最大值．
【详解】解：根据旋转可知， ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，故①正确，符合题意；∵四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故②正确，符合题意；
③∵ ，
∴点F总是在过点C与 垂直的直线上运动，过点P作 垂足为点H，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
i∴ ，
即 的最小值为 ，故③正确，符合题意；
④∵ ，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，
∴
∴当 时， 的面积最大，且最大值为16，故④正确，符合题意；
综上分析可知，其中正确的是①②③④．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形
的判定和性质，根据“ ”证明 ，是解题的关键．
3．（2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图， 中， ，
在 的同侧作正 ，正 和正 ，则四边形 面积最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】过 作 于 ，过 作 ，交 于，根据等边三角形的性质，得出
，再根据角之间的数量关系，得出 ，再根据三线合一的性质，得出，进而得出 ，即点 、 、 在一条直线上，再根据“边角边”，得出
，再根据全等三角形的性质，得出 ，再根据等量代换，得出 ，同理得出
，再根据平行四边形的判定定理，得出四边形 是平行四边形，再根据直角三角形中 角
所对的直角边等于斜边的一半，得出 ，再根据平行四边形和三角形的面积，得出
，再以 为直径作圆，当 最大时， 的面积最大，此时 为半径，再根据三
角形的面积公式，结合二次根式的乘法，计算即可得出答案．
【详解】解：如图所示，过 作 于 ，过 作 ，交 于 ，
， ，
，
是正三角形， ，
，
，即点 、 、 在一条直线上，
在正 、正 和正 ，
， ， ， ，
，
，
，
，
同理可得 ，
四边形 是平行四边形，
，，
，
， ，
以 为直径作圆，当 最大时， 的面积最大，此时 为半径，
，
四边形 面积的最大值是2．
故选：B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三线合一的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定
定理、含 角的直角三角形、圆周角定理、二次根式的乘法，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，
并正确作出辅助线．
4．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，半径为4的 与x轴交
于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点 ，点Q是 上一动点，连接 ，点
M为 的中点，连接 ，则 面积的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．16
【答案】B
【分析】连接 ，由三角形的中位线定理求得 ，得M点在以A点为圆心，2为半径的
圆上运动，当M点为 与 的交点时， 的面积最小，求出此时 的面积便可．
【详解】解：连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ 为 直径，
∴ ，
由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的 上运动，
当M点为 与 的交点时，点M到
的距离最短为 ，
∴ △BCM面积的最小值为∶
，
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形，圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定M点的运动
轨迹．
5．（2023春·四川攀枝花·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点
在边 上，并且 ，点 为边 上的动点，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，则
面积的最小值是 ．
【答案】
【分析】以 为圆心， 为半径作 ，过点 作 于点 交 于点 ，则点 到 的距离的最小值 ，即可求出 面积的最小值．
【详解】解：过点 作 于点 ，以 为圆心， 为半径作 ，过点 作 于点 交
于点 ，当点 与点 重合时，点 的到 的距离最小，最小值 ．
由翻折的性质可知， ，
点 在 上，
， ，
，
由 ，
，
，
，
点 到 的距离的最小值 ．
面积的最小值为 ；
故答案为：
【点睛】本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理、圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问
题，属于中考常考题型．
6．（2023·江苏苏州·苏州市景范中学校校考二模）如图，已知等腰 中， ，
点D、E分别为 边上任意点，以 为直径作圆正好经过点C，与 交于点F，则 面积最
大值为 ．【答案】
【分析】连接 ，利用圆内接四边形的性质求得 ，证明 ，推出 ，设
，则 ， ，作 交 延长线于点G，利用三角形的面积公式列出二次
函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：连接 ，
由题意得，四边形 是圆内接四边形，
∵ ，
∴ ，
∵ 为圆的直径，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
作 交 延长线于点G，则 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴当 即 时， 有最大值，最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，
证明 是解题的关键．
7．（2023·江苏徐州·统考二模）在 中，若 ， ，则 面积的最大值为
．
【答案】
【分析】首先过C作 于M，由弦 已确定，可得要使 的面积最大，只要 取最大值即
可，即可得当 过圆心O时， 最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得
的长，继而求得答案．
【详解】作 的外接圆⊙O，过C作 于M
∵弦 已确定
∴要使 的面积最大，只要 取最大值即可
如图所示，当 过圆心O时， 最大
∵ ， 过O
∴ （垂径定理）
∴
∵
∴
∴∴
∴
故答案为： ．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意得到当 过圆心O时， 最大是关键．
8．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，已知直线 与坐标轴分别交于 、
两点， 是以 为圆心， 为半径的圆上一动点，连结 、 ，则 面积的最大值是
．
【答案】20
【分析】过点 作 于点 ，延长 交圆于点 ，此时为 为 边上的高的最大值，求出
的长，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵直线 与坐标轴分别交于 、 两点，
当 时， ；当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设点 到直线的距离为 ，
则： ，
∴当 最大时， 面积最大，∵ 是以 为圆心， 为半径的圆上一动点，
过点 作 于点 ，延长 交圆于点 ，此时 最大，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
连接 ，则：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： 面积的最大值是 ；
故答案为：20．
【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的图象和性质，勾股定理．解题的关键是确定点 的位置．
9．（2023春·陕西·九年级专题练习）【问题提出】（1）如图①， 为 的一条弦，圆心O到弦 的
距离为4，若 的半径为7，则 上的点到弦 的距离最大值为_______；
【问题探究】（2）如图②，在 中， 为 边上的高，若 ，求 面积的最
小值；
【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取
得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图
③， 为基地的大致规划示意图，其中 ， 平分 交 于点 ，点 为 上一
点，学校计划将四边形 部分修建为农业实践基地，并沿 铺设一条人行走道， 部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求， 米， ．且农业实践基地部分（四边形 ）的
面积应尽可能小，问四边形 的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）11；（2） ；（3）四边形 的面积存在最小值，最小值为 平方米
【分析】（1）根据圆的性质直接可得答案；
（2）作 的外接圆 ，连接 ，过点O作 于点 ，设 ，则
，根据垂线段最短可得R的最小值，从而得出 的最小值，进而得出答案；
（3）过点 作 于点 于点 ，则 ，在 上截取 ，连接 ，利用
证明 ，则 ，要使四边形 的
面积最小，只需 的面积最小，由（2）同理求出 面积的最小值即可．
【详解】解：（1）∵圆心O到弦 的距离为4，若 的半径为7，
∴ 上的点到弦 的距离最大值为 ，
故答案为：11；
（2）作 的外接圆 ，连接 ，过点O作 于点 ，如图．
．
设 ，则 ，由 ，得 ，即 ，
∴ ，
，
．
即 面积的最小值为
（3）过点 作 于点 于点 ，
∵ 平分 ，
∴ ．
又 ，
．
米， ， ，
为等腰直角三角形，
∴ 米，
（平方米），
平方米．
在 上截取 ，连接 ，如图．
，
，
，要使四边形 的面积最小，只需 的面积最小．
，
，
作 的外接圆 ，如图，连接 ，作 于点 ，
则 ，
∴ ．
设 ，则 ．
由 ，得 ，解得 ，
米，
（平方米），
（平方米）．
即四边形 的面积存在最小值，最小值为 平方米．
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与
性质，交平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，将四边形面积最小问题转化为三角形面积最小是
解题的关键．
10．（2023春·广东佛山·八年级校考期末）如图1所示， 是等边三角形，点D和点E分别在边 和
上（D，E均不在所在线段的端点上），且 ，点M，P，N分别是线段 上的中点，
连接 ．
(1)请说明 ．并求出 的大小；
(2)把 绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ，判断 的形状并说明理由；
(3)把 绕点A在平面内自由旋转，若 ，请直接写出 的最大面积．
【答案】(1)(2) 是等腰三角形，理由见解析
(3) 的面积的最大值为
【分析】（1）由 是等边三角形，可得 ，由 ，可得 ，由点M，
P，N分别是线段 上的中点，可得 ，则
， ， ，由 ，可得
；
（2）由 ，可得 ，证明
，则 ，由点M，P，N分别是线段 上的中点，可得
，则 ，进而可得 是等腰三角形．
（3）由（2）可知， ，则 ，由点M，P，N分别是线段 上的
中点，可得 ， ， ， ，则 ， 是顶角为
等腰三角形，由 ，可得 ，即 的最大值为14， 的最大值为7，如图2中，
过点N作 的延长线于J，则 ， ， ，由勾股定理得，
，则 的面积的最大值为 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵点M，P，N分别是线段 上的中点，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
（2）解： 是等腰三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M，P，N分别是线段 上的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（3）解：由（2）可知， ，
∴ ，
∵点M，P，N分别是线段 上的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
，
∴ 是顶角为 等腰三角形，
∵ ，
∴ ，即 的最大值为14， 的最大值为7，
如图2中，过点N作 的延长线于J，∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ 的面积的最大值为 ，
∴ 的面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，旋转的性质，含 的直角
三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【经典题型五 圆中的周长最值问题】
1．（2023秋·山东滨州·九年级滨州市滨城区第三中学校考期末）如图，等腰 内接于圆 ，直径
， 是圆上一动点，连接 ，且 交 于点 ．下列结论： 平分 ；
； 当 时，四边形 的周长最大； 当 ，四边形 的面积
为 ，正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明 ，由圆周角定理和三角形外角的性质可证明 正确；当 时，四边形的周长最大，可判断 正确；如图1，连接 并延长交 于 ，根据垂径定理可得 ，
则 ，利用面积和可得四边形 的面积，可知 不正确．
【详解】解： 等腰 内接于圆 ， 是 的直径，
，
，
，
平分 ，
故 正确；
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故 正确；
，
当 最大时，四边形 的周长最大，
当 时，四边形 的周长最大，
故 正确；
如图1，连接 并延长交 于 ，
在Rt 中，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 的面积 ，
故 不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及面积的变换与求法，此题综合性比
较强，难度比较大，在解题时充分利用以上相关知识解决问题是关键．
2．（2022秋·九年级课时练习）如图，已知正方形 的边长为3，点E是 边上一动点，连接 ，
将 绕点E顺时针旋转 到 ，连接 ，则当 之和取最小值时， 的周长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明 AED≌△GFE（AAS），确定F点在
BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠△CBF=45°，从而确定C'点在AB的延长线上；当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，在Rt ADC'中，AD=3，AC'=6，求出DC'=3 即可．
△
【详解】解：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF=DE，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG=AE，
∴F点在BF的射线上运动，
作点C关于BF的对称点C'，
∵EG=DA，FG=AE，
∴AE=BG，
∴BG=FG，
∴∠FBG=45°，
∴∠CBF=45°，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
∴C'点在AB的延长线上，
当D、F、C'三点共线时，DF+CF=DC'最小，
在Rt ADC'中，AD=3，AC'=6，
△
∴DC'=3 ，
∴DF+CF的最小值为3 ，
∴此时 的周长为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
3．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，
∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列
四个结论：①OD＝OE；②S ODE＝S BDE；③S ODBE＝ ；④△BDE周长最小值是9．其中正
四边形
△ △
确个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】连接 、 ，如图，利用等边三角形的性质得 ，再证明
，于是可判断 ，所以 ， ，则可对①进行判断；利用
得到四边形 的面积 ，则可对③进行判断；作 ，如图，则
，计算出 ，利用 随 的变化而变化和四边形 的面积为定值可对②进
行判断；由于 的周长 ，根据垂线段最短，当 时， 最小，
的周长最小，计算出此时 的长则可对④进行判断．
【详解】解：连接 、 ，如图，
为等边三角形，
，点 是等边 三边垂直平分线的交点，
， 、 分别平分 和 ，
，
，即 ，
而 ，即 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，①正确；
，
四边形 的面积 ，③错误；
作 ，如图，则 ，
，
，
， ，
，
，
即 随 的变化而变化，
而四边形 的面积为定值，
；②错误；
，
的周长 ，
当 时， 最小， 的周长最小，此时 ，
周长的最小值 ，④正确．
故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等
知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图， 是边长为1的等边 的中心，将AB、BC、CA分别绕点
A、点B、点C顺时针旋转 ，得到 、 、 ，连接 、 、 、 、 ．
当 的周长取得最大值时，此时旋转角 的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】D
【分析】连接OA、OB、OC、 ．由 OA ≌△OC 推出∠ O ＝∠ O ＝120°，则有 O ≌△
O ≌△ O ， ＝ ＝ △， 是等边三角形，当O、C、 共线时，O ＝△OC+C
△
＝OC+CA＝ +1时，O 最长，此时 ＝ •（ +1）＝1+ ，α＝150°．
【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、 ．
∵O是等边三角形 ABC是中心，
∴∠BAO＝∠ACO＝△30°，OA＝OC，
∵∠BA ＝∠AC ＝α，
∴∠OA ＝∠OC ，
在△OA 和△OC 中，，
∴△OA ≌△OC （SAS），
∴∠AO ＝∠CO ，O ＝O ，
∴∠ O ＝∠AOC＝120°，
同理可证∠ O ＝∠ O ＝120°，O ＝O ，
则有△ O ≌△ O ≌△ O ，
∴ ＝ ＝ ，
∴△ 是等边三角形，
在△ O 中，
∵∠ O ＝120°，O ＝O ，
∴当O 最长时， 最长，
∵O ≤OC+C ，
∴当O、C、 共线时，O ＝OC+C ＝OC+CA＝ +1时，O 最长，
此时 ＝ •（ +1）＝1+ ，α＝150°，
∴△ 的周长的最大值为3+3 ．
故选：D
【点睛】本题考查旋转变换、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、最大值问题等知识，
解题的关键是灵活应用全等三角形的判定，学会利用三角形的三边关系解决最大值问题．
5．（2023春·湖北孝感·九年级统考阶段练习）如图，已知正方形 的边长为a，点 是 边上一动
点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 到 ，连接 ， ，则当 之和取最小值时，
的周长为 ．（用含a的代数式表示）【答案】
【分析】连接 ，过点 作 交 延长线于点 ，先证明 ，即可得到点 在
的角平分线上运动，作点 关于 的对称点 ，当点 ， ， 三点共线时， 最
小，根据勾股定理求出 的最小值为 ，即可求出此时 的周长为 ．
【详解】解：连接 ，过点 作 交 延长线于点 ，
将 绕点 顺时针旋转 到 ，
， ，
，
，
又 ，
，
， ，
，
即 ，
，
即点 在 的角平分线上运动，
作点 关于 的对称点 ，
点在 的延长线上，
当点 ， ， 三点共线时， 最小．
在 中， ， ，
，
的最小值为 ，此时 的周长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查旋转，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称解决最短
路径是本题的关键．
6．（2023春·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考期中）等边 的边长为 ，点 是三边垂直
平分线的交点， ， 的两边 ， 与 ， 分别相交于 ， ， 绕 点顺
时针旋转时，下列四个结论：① ；② ；③ 周长最小值是 ；④ 面
积最大值是 ．其中正确的是 ．
【答案】①②③
【分析】连接 、 ，如图，利用等边三角形的性质得 ，再证明
，于是可判断 ，所以 ， ，则可对①进行判断；利用
得到四边形 的面积 ，则可对③进行判断；作 ，如图，则
，计算出 ，利用 随 的变化而变化和四边形 的面积，当 时，
最小， 的面积最小， 周长最小，求得此时 的长则可对③④进行判断．
【详解】解：连接 、 ，如图，为等边三角形，
，
点 是等边 三边垂直平分线的交点，
， 、 分别平分 和 ，
，
，即 ，
而 ，即 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，①正确；
，
四边形 的面积 ，②正确；
作 ，如图，则 ，
，
，
， ，
，，
∴ ；
当 时， 最小，此时 ，
∴ 面积最大值是 ，故④不正确；
，
的周长 ，
当 时， 最小，此时 ，
∴ 周长最小值是 ，故③正确．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等
知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
7．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图所示，在扇形 中， ，半径
．点 位于 的 处、且靠近点 的位置，点 、 分别在线段 、 上， ． 为
的中点．连接 、 ．在 滑动过程中（ 长度始终保持不变），当 取最小值时，阴影部分的周
长为 ．
【答案】
【分析】连接 ， ， ，取 的中点 ，连接 ，求出弧 的长，再求出当 ， ， 共线时，的值最小，此时点 与点 重合，分别求出 ， 的长．
【详解】解：如图，连接 ， ， ，取 的中点 ，连接 ．
， ，
，
的长 ，
，
，
，
，
当 ， ， 共线时， 的值最小，此时点 与点 重合，
此时 ，
， ，
是等边三角形，
，
，
，
此时阴影部分的周长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查弧长，线段最小值问题，解题的关键是明确当 ， ， 共线时， 的值最小，此时
点 与点 重合．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示， 是以A为公共端点的两条线段，且满足
， ，作线段 的垂直平分线l交 于点D．点P为直线l上一动点，连接 ，以 为边构造等边 ，连接 ．当 的周长最小时， ，则 周长的最小值为
．（用含有a、b的式子表示）
【答案】
【分析】如图所示，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ，证明 得到
，接着证明 ，连接 ，取 的中点F，则 ，可证明点E和点
F重合，进一步证明点Q在 上，作D关于直线 的对称点 ，连接 ，则 ，可以推出当
最小时， 的周长最小，则当 三点共线时， 有最小值，此时点 恰好
在直线l上，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由旋转的性质可得 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，即 是 的角平分线，
又∵ ，
∴ ，
连接 ，取 的中点F，则 ，
∴ ，即点E和点F重合，
又∵ ，
∴点Q在 上，
作D关于直线 的对称点 ，连接 ，则 ，
∵ 的周长 ，
∴当 最小时， 的周长最小，
∵ ，
∴当 三点共线时， 有最小值，此时点 恰好在直线l上，
∴此时 ，则 ，
∴ ，
∴ 的周长最小值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称最短路
径问题，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形从而确定点Q的运动轨迹是解题
的关键．9．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角
形叫做“互余三角形”．如图1，在 和 中，若 ，且 ，则
和 是“互余三角形”
(1)以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“互余三角形”的是______；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
(2)如图2，等腰直角 ，其中 ，点D是 上任意一点（不与点A、B重合），
则图中△______和△______是互余三角形，并求证： ．
(3)如图3， 的半径为5，四边形 是 的内接四边形，且 和 是“互余三角形”
①求 的值；
②若 °，求 和 的周长之差．
【答案】(1)②④
(2) 和 是“互余三角形”，理由见解析；
(3)① ；②
【分析】（1）根据“互余三角形”的定义可知，矩形和正方形是“互余三角形”，既得答案；
（2）过C作 于H，可以得到 和 是“互余三角形”，在 中利用勾股定理
的逆定理可以得到结论；
（3）①连接 并延长交 于E，连接 ，由 和 是“互余三角形”，可证
，然后在 中运用勾股定理即可求解；连接 并延长交 于 ，连接 ，
过 作 于 ，由 和 是“互余三角形”可知 是等腰直角三角形，解出 ，
的值进而解题即可．
【详解】（1）根据“互余三角形”定义可知：矩形和正方形一条对角线把它分成的两个三角形，两个角
对应互余，且这两个角的夹边对应相等，∴矩形和正方形是“互余三角形”，
故答案为：②④；
（2） 和 是“互余三角形”，理由如下：
过C作 于H，如图2；
∵ ，
∴ ，
又∵
∴ 和 是“互余三角形”，
∵设A ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴
在 中，
∴ ，
∴
∴ ；
（3）①连接 并延长交 于E，连接 ，如图3：∵ 和 是“互余三角形”，
∴ ，
∵ 是 直径，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴
在 中， ，
∴ ，
即 的值为100；
②连接 并延长交 于 ，连接 ，过 作 于 ，如图：
∵
，
由①知 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ 和 是“互余三角形”
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中，
∴ 和 的周长之差= ．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，
解题的关键是作出辅助线构造直角三角形的全等三角形解决问题．
10．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考阶段练习）已知 为 的外接圆， ，点
D是劣弧 上一点（不与点A，B重合），连接 ．(1)如图1，若 是直径，将 绕点C逆时针旋转得到 ．若 ，求四边形 的面积；
(2)如图2，若 ，半径为3，设线段 的长为x，四边形 的面积为S．
①用含有x的代数式表示S；
②若点M，N分别在线段 上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置．
的周长有最小值p，随着点D的运动，p的值会发生变化．则所有p值中的最大值是 ．
【答案】(1)8
(2)① ；②
【分析】（1）根据旋转的性质及全等三角形的性质可得答案；
（2）①将 绕点C逆时针旋转 ，得到 ，根据等腰三角形的性质及面积公式可得答案；
②作点D关于直线 的对称点E，作点D关于 的对称点F，当点E、M、N、F四点共线时，
的周长不最小值，则连接 交 于点M，交 于N，作 于P，由对称性质、勾股定理、最值
问题可得答案．
【详解】（1）解：∵ 是直径，
∴ ，
∵ 旋转得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 的面积
；（2）解：①如图，将 绕点C逆时针旋转 ，得到 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∴点D，B，H三点共线，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴四边形 的面积 ，
∵半径为3，线段 的长为x，
∴ ；
②如图，作点D关于直线 的对称点E，作点D关于 的对称点F，
∵点D、E关于直线 对称，
∴ ，同理， ，
∴ 的周长 ，
当点E、M、N、F四点共线时， 的周长有最小值，
连接 交 于点M，交 于N，连接 ，作 于P，
∴ 的周长最小值为 ，
∵点D、E关于直线 对称，
∴ ，
∵点D、F关于直线 对称，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 有最大值时， 有最大值，即t有最大值，
∵ 为 的弦，
∴ 为直径时， 有最大值6，
∴t的最大值为 ，
此时， ，
故答案为： ．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，轴对称，作出辅
助线找出 周长有最小值 是解本题的关键．
【经典题型六 圆中的旋转最值问题】
1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x轴上，点A的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M是 中点，连
接 ．将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，根据点A的坐标为 得到 ，再
证明 是 的中位线，得到 ；解 得到 ，进一步求出点C在以O为圆心，
半径为4的圆上运动，则当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，据此求出 的最
小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，
∵ 的一条直角边 在x轴上，点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M为 中点，点A为 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
在 中， ，
∴ ，
∵将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 的最小值为3，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30
度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，等边 边长为6，点 是中线 上的一个动点，连接 ，
将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ．当在点 运动过程中， 取得最小值时，
的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取线段 的中点 ，连接 ，根据等边三角形的性质可得出 以及 ，由
旋转的性质可得出 ，由此即可利用全等三角形的判定定理 证出 ，进而即可得
出 ，再根据点 为 的中点，即可得出 的最小值，此题得解．
【详解】解：取线段 的中点 ，连接 ，如图所示．,
为等边三角形， ，且直线 为 的对称轴，
， , ，
∴ ，
由旋转可知： ， ，
∴ ，
．
又∵ ，
≌ ，
．
当 时， 最小，
∵ , ，
∴ ，
∴ ，
点 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴点 为 的中点， ．
∴ ，
点 为 的中点，
∴ ，
∵ ≌ ，∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质勾股定理，中位线的判
定和性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出 以及 的最小值．
3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，三角形 ，三角形 均为边长为4的等边三角形，点 是
、 的中点，直线 、 相交于点 ，三角形 绕点 旋转时，线段 长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先证明 ，判定出点 在以 为直径的圆上运动，当 运动到 时，
最短来解决问题．
【详解】解：如图，连接 、 、 ， ，
，
， ，
，
，
、 是等边三角形， 是 、 的中点，
，，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点 在以 为直径的圆上运动，
当 时，且 、 在 的同侧时， 最短，
，
， ，
的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆的有关知识等，
解题的关键是证明 ，判定出 在以 为直径的圆上运动．4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ， ，O为
AC的中点，M为BC边上一动点，将 绕点A逆时针旋转角 得到 ，点M的对
应点为 ，连接 ，在旋转过程中，线段 的长度的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B
【分析】如图：由题意知当旋转到 点在AC的延长线上且AC与 垂直时， 的长度最小；旋
转的性质可得 ，再根据直角三角形的性质可求得 ，由中点的定义可求得OA,最后
计算即可．
【详解】解：由题意知当旋转到 点在AC的延长线上且AC与 垂直时， 的长度最小；
∵将 绕点A逆时针旋转角
∴
∵AC⊥ ，
∴
∵O为AC的中点
∴AO= =3.5
∴ ．
故选B．【点睛】本题主要考查了旋转的性质和直角三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半．
5．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）已知在矩形 中， ， ，O为矩形的中心，
在等腰 中， ， ．则 边上的高为 ；将 绕点A按顺时
针方向旋转一周，连接 ，取 中点M，连接 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】作 于点I，由 ， ，得 ， ，则
，所以 边上的高为 ；延长 到点G，使 ，连接
，由 ，得到 ，再求得
，由三角形中位线定理得 ，因为 ，所以
，由此求出 的最大值.
【详解】解：作 于点I，
∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 边上的高为 ；
延长 到点G，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形， ，
∴ ，
∴ ，
∵F、M分别是 、 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ； .
【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形的中位线定
理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
6．（2023春·江苏·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，点是边 上的一动点，将 绕点 按逆时针方向旋转一周得到 ，点 是边 的中点，则在旋
转过程中 长度的最大值为 ．
【答案】
【分析】先根据含有 角的直角三角形的性质可得 ，由勾股定理可得 ，由旋转的性质可
得 ，由点 是边 的中点可得 ，当点 与点 重合，点 、 、 、 在同一
直线上时， 最大，由 ，即可得到答案．
【详解】解： ， ， ，
，
，
由旋转的性质可得： ，
点 是边 的中点，
，
如图所示，当点 与点 重合，点 、 、 、 在同一直线上时， 最大，
此时 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了含有 角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含有 角的
直角三角形的性质，旋转的性质，是解题的关键．
7．（2023·河南焦作·校考二模）如图，在 中， ， ， ，正方形 的边长
为1，将正方形 绕点C旋转一周，点G为 的中点，连接 ，则线段 的取值范围是
．【答案】
【分析】根据正方形 绕点C旋转一周，得到点G的运动轨迹为定长圆，圆心为点C，半径为 ，
得到 最大值和最小值均为点A、C、G三点共线时，再求出 长，得到线段 的取值范围．
【详解】 中， ， ， ，
，
将正方形 绕点C旋转一周，
点G的运动轨迹为定长圆，圆心为点C，半径为 ，
连接 ，
点G为 的中点，正方形边长为1，
，
中， ，
当点A、C、G三点共线时，
在 处 最大为 ，
在 处 最小为 ，故 ．
【点睛】本题考查旋转中定长圆上一点到另一定点的距离的范围，注意图形绕一点旋转，则图形上的点的
轨迹均为定长圆，圆心为旋转点，半径为该点到旋转点的距离．且点到圆上一点最大距离为点到
圆心距离加上半径，点到圆上一点最大距离为点到圆心距离与半径的差．
8．（2023春·江苏·八年级期末）小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中
， ， ， ，连接 ，取 的中点F，将三角
板 绕点A按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点F到直线 的距离的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】如图，取 的中点O，连接 ，F为 的中点，由三角形的中位线定理得出 ，得出
在旋转过程中，点F在以O为圆心 为半径的圆上动，再过O点作 于R，构造直角三角
形，求出 长，进而即可得解．
【详解】解：如图，取 的中点O，连接 ，F为 的中点，
由三角形的中位线定理得，
∴在旋转过程中，点F在以O为圆心 为半径的圆上运动
过O点作 于R，
在 中，∴
∴点F到直线 的距离的最大值为
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，中位线定理等知识点，通过作图构造不变的线段
是解题的关键．
9．（2022·福建泉州·校考模拟预测）在 中， ， ，点 是边 上的一动点．
是边 上的动点．连接 并延长至点 ，交 于 ，连接 ．且 ， ．
(1)如图1，若 ， ，求 的长．
(2)如图2，若点 是 的中点，求证： ．
(3)如图3，在（2）的条件下，将 绕点 顺时针旋转，旋转中的三角形记作△ ，取 的中点
为 ，连接 ．当 最大时，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)【分析】（1）解等腰三角形 求得 ，解斜三角形 ，求得 ，证明 ，进而求得结
果；
（2）作 于 ，作 于 ，连接 ，作 交 的延长线于 ，由 得
出 ，证明 可得 ，解斜三角形 可得 ，进而得出 和 的关系，
进一步求得结论；
（3）可得出点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，当点 运动到 的延长线交 的 处时，
最大，然后解直角三角形 和斜三角形 ，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
作 于 ，作 交 的延长线于 ，
，
， ，
，
在四边形 中， ， ，
，
，
在 中， ， ，
， ，
，
，在 和 中，
，
，
；
（2）证明：如图2，
作 于 ，作 于 ，连接 ，作 交 的延长线于 ，
由（1）知： ，
， ， ，
点 是 的中点，
，
，
，
， ，
点 、 、 、 共圆，
， ，
，
， ，
在 中，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，；
（3）解：如图3，
由（2）得： ，
点 是 的中点，
，
，
，
点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
当点 运动到 的延长线交 的 处时， 最大，
设 ，
，
，
， ，
，
，
在 中， ， ，
， ，
，
，．
【点睛】本题考查了旋转综合题，涉及了全等三角形的判定与性质、勾股定理了、三角函数等．第三问的
难度较大，确定动点的运动轨迹是解题关键．
10．（2023秋·重庆·九年级重庆市第十一中学校校考开学考试）如图，在 中， ，
，点D为 边上一点，连接 ，过点B作 交 的延长线于点E．
(1)如图1，若 ， ，求 的面积；
(2)如图2，延长 到点F使 ，分别连接 交 于点G．求证： ．
(3)如图3，若 ，点M是直线 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点D顺时针方向旋转
得到线段 ，点P是 边上一点， ，Q是线段 上的一个动点，连结 ， ．当
的值最小时，请直接写出 的度数．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3) ，理由见解析．
【分析】（1）设 ，则 ，利用三角形内角和的性质求得 ，再利用直角三角形的性质
求得 ，即可求解；
（2）延长 到 ，使得 ，连接 ，利用线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质得
到 ，再利用三角形中位线的性质求解即可；
（3）作 ，交 的延长线于点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ，
利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到 ，得到点 在过点 且垂直于 的直线上运动，由三角形三边关系定理得到 ，从而得到 ， ， 共线时， ，此
时 最小，画出图形后通过说明四边形 为菱形，求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
设 ，则
∴ ，
∵
∴ ，
∵
∴ ，解得
∴
∴ ，
∴ ，
（2）证明：延长 到 ，使得 ，连接 ，如下图：
∵ ，
∴
∵ ，
∴ 垂直平分
∴
∴
∴∵
∴
又∵
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∵
∴ 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ；
（3） ，理由如下：
作 ，交 的延长线于点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ，
∵ ，
∴
∴
∵将线段 绕点D顺时针方向旋转 得到线段
∴ ，
∵
∴ ，
∴∴
∴ ，
∴点 在过点 且垂直于 的直线上运动，
由题意可得： ，
∴
∴当 ， ， 共线时， ，此时 最小，
如图，当 ， ， 共线时，
∵
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 与 关于 对称，
∴
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴四边形 是菱形
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角
形中位线定理，三角形内角和定理，菱形判定与性子，充分利用旋转的性质是解题的关键．【经典题型七 圆中的翻折最值问题】
1．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形 中， ， ，
， 是 边的中点， 是 边上的一动点，将 沿 所在直线翻折得到△ ，连
接 ，设 的长为 ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先点 是 的中点，得 ，则点 在以 为圆心，2为半径的圆弧上运动，找
到 的最小和最大时的 点，分别通过勾股定理求解即可．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
点 是 的中点，
，
将 沿 所在直线翻折得到△ ，
，
点 在以 为圆心，2为半径的圆弧上运动（如图），
此时 即为最小值，过 作 ，交 的延长线于 ，，
，
， ，
在 中，由勾股定理得：
，
，
当 与 重合时， 最大，
此时 ， ，
在 中，由勾股定理得：
，
当 与 重合时， 不存在，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理，圆的定义等知识，发现点 的运动
路径是解题的关键．
2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ，点D是边 的中
点，点E是边 上的任意一点（点E不与点B重合），沿 翻折 使点B落在点F处，连接 ，
则线段 长的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在 上，当G和F重合时AF有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可．
【详解】解：连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在 上，当G
和F重合时AF有最小值，
∵点D是边 的中点，
∴ ,
在Rt△ACD中 ，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点F的运动轨迹是解题的关键．
3．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形 的边长为4，E是边 的中点，F是边 上一动点，连
接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ．当 的长最小时， 的长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得 的长，再由翻折知 ，得点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动，可知当点 三点共线时， 最小．
【详解】解：∵正方形 的边长为 ，
∴ ，
∵点E是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ，
∴点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动，
∴当点 三点共线时， 最小，
连接 ，设 ，
∵
∴
解得 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理以及辅助圆，确定当点 三点共线
时， 最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，四边形 为矩形， ， ，点P为
边 上一点，以 为折痕将 翻折，点A的对应点为点 ，连接 交 于点M，点Q为线段
上一点，连接 ， ，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】根据 可知点M在以 为直径的 上，作点A关于 的对称点点 ，连接 交
于M，交 于点Q，此时 的值最小，为 的长，然后利用勾股定理求出 ，进而可得答
案．
【详解】解：由折叠可知， ，即 ，
∴点M在以 为直径的 上，如图，
作点A关于 的对称点点 ，连接 交 于M，交 于点Q，此时 的值最小，为 的长，
∵在矩形 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理以及圆外一点到圆上一点
的最短距离问题，判断出点M的运动轨迹是解题的关键．5．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为4的菱形 中， ，M是 边上的一点，且
，N是 边上的一动点，将 沿 所在直线翻折得到 ，连接 ，则 长
度的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】过点M作 交 延长线于点H，连接 ，根据菱形的性质和直角三角形的性质，求出
，再由勾股定理求出 的长，再由折叠的性质可得点 在以M为圆心， 为半径的圆上，从
而得到当点 在线段 上时， 长度有最小值，是解题的关键．
【详解】解：过点M作 交 延长线于点H，连接 ，
菱形 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∵将 沿 所在直线翻折得到 ，
∴ ，
∴点 在以M为圆心， 为半径的圆上，
∴当点 在线段 上时， 长度有最小值，
∴ 长度的最小值 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质，找到当点 在 上， 的长度最小，
是解题的关键．
6（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片 中， ， ，点 是
的中点，点 是 边上的一个动点，将 沿 所在直线翻折，得到 ，则 的长的最小值
是 ．
【答案】8
【分析】先由折叠可知 ，则可得点 在以 为圆心，以 的长为半径的圆上，然后结合已知条
件求出 、 、 的长度，最后求出 的长的最小值．
【详解】解：由折叠可知，
∴点 在以 为圆心，以 的长为半径的圆上，如图，连接 ，交圆 于点 ，此时 的长取最小值，
∵ ， ，点 为 的中点，
∴ ， ，
故答案为：8．【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，以及构造圆解决线段最值问题．熟练掌握折叠的性质，以及到定点
等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上，是解题的关键．
【经典题型八 阿氏圆求最值问题（含相似证明）】
1．（2023春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为
半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则 AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质
证明MP PA，可得 AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
∴ ，
∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，
∴ ，
∴PM PA，
∴ AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM 5 ，
∴ AP+BP≥5 ，
∴ AP+BP的最小值为5 ．
故选：B．
2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中， ， ， 是第一象限内一
动点， ，连接 、 ，则 的最小值是 ．
【答案】【分析】取点 ，连接 ， ．根据 ，有 ，即可证明 ，即有
，进而可得 ，则有 ，利用勾股定理可得 ，
则有 ，问题得解．
【详解】解：如图，取点 ，连接 ， ．
， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（当B、P、T三点共线时取等号）的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造相似三角形解决问题．
3．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图所示， ，半径为2的圆 内切于 ． 为
圆 上一动点，过点 作 、 分别垂直于 的两边，垂足为 、 ，则 的取值范围
为 ．
【答案】
【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作 于 ，作 于 ，如
图所示，通过代换，将 转化为 ，得到当 与 相切时， 取
得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范
围．
【详解】解：作 于 ，作 于 ，如图所示：
， ，，
，
，
，
，
，
当 与 相切时， 取得最大和最小，
①连接 ， ， ，如图1所示：
可得：四边形 是正方形，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，即 ；
②连接 ， ， ，如图2所示：可得：四边形 是正方形，
，
由上同理可知：在 中， ，
，
在 中， ，
，即 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知
识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．
4．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）如图，在 中，点A、点 在 上， ，
，点 在 上，且 ，点 是 的中点，点 是劣弧 上的动点，则 的最
小值为 ．
【答案】
【分析】延长 到 ，使得 ，连接 ， ，利用相似三角形的性质证明 ，求的最小值问题转化为求 的最小值．求出 即可判断．
【详解】解：延长 到 ，使得 ，连接 ， ．
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
又 在 中， ， ， ，
，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造相似三角形解决问题．
5．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一
个动点，则 的最大值为 ．【答案】
【分析】如图，连接 ，在 上取一点 ，使得 ，进而证明 ,则在点P运动的
任意时刻，均有PM= ，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜
DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得 ．
【详解】如图，连接 ，在 上取一点 ，使得 ，
，在△PDM中，PD-PM＜DM，
当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，
四边形 是正方形
在 中，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造 是解题的关键．
6．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝ ．
连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则 DQ+CQ的最小值为 ．
【答案】5【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得 即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明
△QAE∽△DAQ得EQ＝ QD，故 DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．
【详解】解：如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝ ，cos∠PCQ＝ ，
∴∠ACB=∠PCO，
∴△BCP∽△ACQ，
∴
∵BP＝ ，
∴AQ＝2，
∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，
在AD上取AE＝1，
∵ ， ，∠QAE＝∠DAQ，
∴△QAE∽△DAQ，
∴ 即EQ＝ QD，
∴ DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，
连接CE，
∴ ，
∴ DQ+CQ的最小值为5．
故答案为：5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键
在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，以点B为圆心作圆B与
相切，点P为圆B上任一动点，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据
等腰直角三角形的性质得到BH AC ，接着证明△BPD∽△BCP得到PD PC，所以PA PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA 的最小值．
【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，
∴BH为⊙B的半径，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴AC BA＝2 ，
∴BH AC ，
∴BP ，
∵ ， ，
而∠PBD＝∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
∴ ，
∴PD PC，
∴PA PC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD ，
∴PA+PD的最小值为 ，
即PA 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线
段PD PC．也考查了等腰直角三角形的性质．
8．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为
2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
① ，
② ，
③ ，
④ 的最小值．
【答案】① ；② ；③ ；④ ．
【分析】①在CB上取点D，使 ，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证 ，即可
得出 ，从而推出 ，说明当A、P、D三点共线时， 最小，最小值即
为 长．最后在 中，利用勾股定理求出AD的长即可；②由 ，即可求出结果；
③在CA上取点E，使 ，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证 ，即可得出
，从而推出 ，说明当B、P、E三点共线时， 最小，最小值即为 长．
最后在 中，利用勾股定理求出BE的长即可；
④由 ，即可求出结果．
【详解】解：①如图，在CB上取点D，使 ，连接CP、DP、AD．
∵ ， ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴当A、P、D三点共线时， 最小，最小值即为 长．
∵在 中， ．
∴ 的最小值为 ；
②∵ ，∴ 的最小值为 ；
③如图，在CA上取点E，使 ，连接CP、EP、BE．
∵ ， ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴当B、P、E三点共线时， 最小，最小值即为 长．
∵在 中， ．
∴ 的最小值为 ；
④∵ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三
点共线时线段最短是解答本题的关键．
9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝ ，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋ AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋ AD的最小值．
【答案】（1）见解析；（2） 或 ；（3）
【分析】（1）利用SAS，即可证明△FCA≌△DCB；
（2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解；
（3）取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，可证得△DCM∽△ACD，可得DM＝ AD，从而得到
当B，D，M共线时，BD+ AD的值最小，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，
∴△FCA≌△DCB（SAS）；
（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴ ，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝ ，
∴BD+ AD＝ ；
②如图3中，当点E，F在边AB上时．
BD＝CF＝ ，
AD＝ ＝ ，
∴BD+ AD＝ ，综上所述，BD＋ AD的值 或 ；
（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，
∵CD＝ ，CM＝1，CA＝2，
∴CD2＝CM•CA，
∴ ＝ ，
∵∠DCM＝∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴ ＝ ＝ ，
∴DM＝ AD，
∴BD+ AD＝BD+DM，
∴当B，D，M共线时，BD+ AD的值最小，
最小值 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角
函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【经典题型九 圆中最值综合问题】
1．（2023·广东珠海·统考二模）边长为2的等边三角形 中， 于H，E为线段 上一动点，
连接 ． 于点F，分别交 于点D，G．①当E为 中点时， ；②
；③点E从点B运动到点H，点F经过路径长为1；④ 的最小值 ．正确结论是
（ ）
A．②③ B．②④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质结合直角三角形的性质逐个分析即可．
【详解】①当 时结合 可得 平分 ，
过 作 于 ，
∵E为 中点，
∴ ，
∵
∴ 不可能平分 ，
∴ ，故①错误；②连接 ，
∵ ，
∴ 四点共圆，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③∵ ，
∴点F的运动轨迹是以 中点 为圆心，半径为 的圆，
∴点E从点B运动到点H，点F经过路径长为 ，故③错误；
④取 中点 ，连接 ， ，则
∵ ，
∴
∵
∴ 的最小值 ，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键
是准确处理 ，属于中考压轴题．
2．（2021秋·重庆九龙坡·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC
的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连接BQ，并延长交边AD于点E，过点Q
作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连接BF与EF，BF交对角线AC于点G．过点C作CH∥QF交BE于点H，
连接AH．以下四个结论：①BQ＝QF；② DEF的周长为8；③ ；④线段AH的最小值为2
﹣2．其中正确结论的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】通过证明点B、C、F、Q四点共圆，可得∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°，可证BQ
＝FQ，故①正确；由“SAS”可证 ABN≌ CBF， BEF≌ BEN，可得EF＝EN，由线段的和差关系可得
DEF的周长为8，故②正确；由△题意可得△点H在△以BC为△边的圆上运动，则当点H在AP上时，AH有最
△
小值为2 −2，故④正确；通过证明 BQG∽ BFE，可得 ；故③正确，即可求解．
△ △
【详解】∵BQ⊥FQ，
∴∠FQB＝∠BCD＝90°，
∵点B，点C，点F，点Q四点共圆，
∴∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°，
∴∠QBF＝∠QFB，
∴BQ＝FQ，故①正确；
如图1，延长DA至N使AN＝CF，连接BN，
∵CF＝AN，∠BAN＝∠BCF＝90°，AB＝BC，
∴ ，
∴BF＝BN，∠ABN＝∠CBF，
∵∠QBF＝45°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∵∠ABE+∠ABN＝45°，
∴∠EBN＝∠EBF＝45°，
又∵BE＝BE，BF＝BN，
∴ ，
∴EF＝EN，
∴ DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+EN＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝8，故②正确；∵CH∥FQ，
∴∠BHC＝∠BQF＝90°，
∴点H在以BC为边的圆上运动，
如图2，以BC为直径作圆，取BC的中点P，连接AP，PH，
∴BP＝2＝HP，
∴AP＝ ＝ ＝2 ，
在 AHP中，AH＞AP﹣HP，
∴当点H在AP上时，AH有最小值为2 ﹣2，故④正确；
如图3，连接EG，
∵∠DAC＝∠QBF＝45°，
∴点A，点B，点F，点E四点共圆，
∴
∴ ，∠EGB＝90°，
∴EG＝BG，
∴BE＝ BG，
∴∠BEG＝∠BFQ＝45°，
∵点E，点F，点G，点Q四点共圆，
∴∠BQG＝∠BFE，∠BGQ＝∠BEF，
∴ ，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴ ；故③正确，
故选：D．图1 图2 图3
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，添加
恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，矩形 中， ， ．动点E在 边上，以点E
为圆心，以 为半径作弧，点G是弧上一动点．
（1）如图①，若点E与点A重合，且点F在 上，当 与弧相切于点G时，则 的值是 ；
（2）如图②，若 连结 ， ，分别取 、 的中点P、Q，连接 ，M为 的中点，则
CM的最小值为 ．
【答案】
【分析】（1）如图，连接 ,则 , ，勾股定理得 ，由切线长定理得 ，设
，由勾股定理得 解得 ，即 ；
（2）如图，连接 、 ，取 的中点H，连接 ，由中位线性质得 ， ，
连接 ，取 的中点I，连接 ，同理 ， ；易证四边形 是平行四边形，
得 ，由中位线性质得 ，求得 ；取 的中点J，可证四边形 是平行四边形，得 ，确定点M在以J 为圆心，2.5为半径的圆弧上，由两点之间线段最短得，
C，M，J三点共线时， 最短，即最小值 ；延长 ，交 于点K，
L，求得 ，由勾股定理得 中， ，得解最小值
．
【详解】（1）如图，连接 ,则 , ，
∴ ，
∵ ，
∴ 与弧相切于点B，
∴ ，
设 ，则
中，
即 解得 ，即 ，
（2）如图，连接 、 ，取 的中点H，连接 ，则 ， ，
连接 ，取 的中点I，连接 ，同理 ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵P、Q是 、 的中点，
∴ ，∴ ，
取 的中点J，由 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，即点M在以J 为圆心，2.5为半径的圆弧上，
∴当C，M，J三点共线时， 最短，即最小值 ，
延长 ，交 于点K，L，则 ，
∴点K，点L分别是 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
中， ，
∴最小值 ．
故答案为：2， ．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点与圆上点距离的最值问题，勾股定理解直角
三角形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等，结合题设条件确定动点的轨迹是解题的关键．
4．（2020秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在半径为2的 中， 是直径， 是弧 的中
点， 绕点 旋转与 的两边分别交于 （点 与点 均不重合），与
分别交于 两点．(1)连接 ，求证： ．
(2)连接 ，试探究；在 绕点 旋转的过程中， 是否为定值？若是，求出 的
大小；若不是，请说明理由．
(3)连接 ，试探究：在 绕点 旋转的过程中， 的周长是否存在最小值？若存在，求出其
最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 为定值．且为
(3) 的周长存在最小值，最小值为
【分析】（1）根据圆周角定理由 是 的直径得 ，由M是 的中点得 ，于是
可判断 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得 ，
，再利用等角的余角相等得 ，即可证明结论；
（2）根据圆周角定理得到 ， ，则
，所以 ；
（3）易得 为等腰直角三角形，则 ，再由 得 ，所以 的
周长= ，根据垂线段最短得当 时， 最小，此时
，此时 的周长存在最小值．【详解】（1）证明： 是 的直径，
，
是 的中点，
，
，
为等腰直角三角形，
， ， ， ；
，
，
，
，
在 和 中，
，
．
（2）解： 为定值．且为
， ，
，
，
，，
．
（3）解： 的周长有最小值，理由如下：
∵
∴ ，
为等腰直角三角形，
，
的周长
，
当 时， 最小，此时 ，此时 的周长的最小值为 ．
的周长的最小值为 ．
【点睛】本题考查了圆的综合题，熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判
定解决线段相等是解题的关键．
