高中数学教什么（七）｜选择性必修.概率与统计

计数原理是“数数”的学问，概率是“随机”的量化，统计是“数据”的说话——

在必修课程中，学生已经学习了随机事件与概率、古典概型、抽样方法、统计图表、用样本估计总体等内容，初步建立了随机思维和数据观念。进入选择性必修课程，“概率与统计”主题迎来了三个全新的成员——计数原理、概率（进阶）、统计（进阶）。

课标说得清楚：“本主题是必修课程中概率与统计内容的延续，将学习计数原理、概率、统计的相关知识”。

计数原理教学生“如何数”——分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的基础；概率教学生“如何量化随机”——条件概率、离散型随机变量及其分布列、正态分布；统计教学生“如何从数据中找规律”——成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、列联表。

计数原理为概率计算提供工具，概率为统计推断提供理论，统计将概率方法应用于现实数据。三者环环相扣，共同构成了一条从“计数”到“概率”再到“统计推断”的完整认知链条。

选择性必修课程中“概率与统计”主题共安排26课时。在教学实施中，教师应通过典型案例开展教学活动，案例的情境应是丰富的、有趣的、学生熟悉的；在案例教学中要重视过程，层次清楚，从具体到抽象，从实际到理论。

但在实际教学中，计数原理常常被简化为“排列组合公式的套用”，概率常常被降格为“套分布列公式”，统计常常被当作“记回归方程公式”——它们作为“数据分析与随机思维”核心素养载体的本质被严重忽视。

一、主题三（选择性必修），到底要教什么？

新课标将“概率与统计”主题（选择性必修部分）的内容划分为三大板块：

• 计数原理（两个基本计数原理、排列与组合、二项式定理）
• 概率（随机事件的条件概率、离散型随机变量及其分布列、正态分布）
• 统计（成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2列联表）

这三个板块的内在逻辑是：计数是基础工具，概率是理论核心，统计是方法应用。计数原理教会学生“系统地数”——分类与分步是解决一切计数问题的基本思想；概率教会学生“用随机变量刻画随机现象”——从条件概率到分布列，从离散到连续；统计教会学生“从数据中发现关系”——相关性、回归、独立性检验。

三个板块不是三门独立的课，而是一条从“计数工具”到“概率模型”再到“统计推断”的完整认知链条。

二、第一板块：计数原理

计数原理是解决计数问题的基础。课标指出：“分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的基础，称为基本计数原理”。

教学路径的整体架构

计数原理单元的教学路径遵循“两个基本计数原理→排列与组合→二项式定理”的进阶逻辑。

两个基本计数原理：计数思维的“元方法”

课标要求“通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义”。

分类加法计数原理解决的是“分类”问题——完成一件事有  类不同方案，每一类方案中又有若干种方法，则总方法数为各类方法数之和。核心是“类类独立、类类相加” 。

分步乘法计数原理解决的是“分步”问题——完成一件事需要  个步骤，每一步又有若干种方法，则总方法数为各步方法数之积。核心是“步步相依、步步相乘” 。

教学应“结合具体情境，引导学生理解许多计数问题可以归结为分类和分步两类问题，引导学生根据计数原理分析问题、解决问题”。教学的关键是让学生理解：“分类”与“分步”不仅是两种计数方法，更是两种思维模式——面对一个复杂的计数问题，首先要判断：是“分类”还是“分步”？或者两者兼有？

排列与组合：从计数原理到计数公式

课标要求“通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式”。

排列研究的是“有序”的选取——从  个不同元素中取出  个元素，按照一定顺序排成一列。排列数公式 

组合研究的是“无序”的选取——从  个不同元素中取出  个元素组成一组。组合数公式 

教学的核心是让学生理解：排列与组合的区别在于“顺序” ——有顺序是排列，无顺序是组合；排列数公式和组合数公式都可以从两个基本计数原理推导出来，而不是凭空记忆的。

计数原理的教学“应引导学生运用类比的方法探索排列与组合的关系”，通过“从特殊到一般”的归纳过程，让学生自己“发现”公式而非被动接受。

二项式定理：计数原理的“集大成者”

课标要求“能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题”。

二项式定理  是计数原理、排列组合知识的综合应用。教学应引导学生从计数原理的角度理解二项式定理：展开式中的每一项  对应着从 个因式中选取  个  的计数问题——这正是组合数 的由来。

课标还要求“能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式”——这意味着教学不能直接给出公式让学生记忆，而应引导学生经历从计数原理到公式的推导过程。

三、第二板块：概率——从“事件概率”到“随机变量”

概率是选择性必修“概率与统计”主题的理论核心。课标指出，本单元的学习可以帮助学生“了解条件概率及其与独立性的关系”“感悟离散型随机变量及其分布列的含义”“理解伯努利试验，掌握二项分布，了解超几何分布”“感悟服从正态分布的随机变量”。

教学路径的整体架构

概率单元的教学路径遵循“条件概率→离散型随机变量及其分布列→正态分布”的进阶逻辑。

条件概率：从“无条件”到“有条件”

课标要求“结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率”“结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系”“结合古典概型，会利用乘法公式计算概率”“结合古典概型，会利用全概率公式计算概率”。

条件概率 表示在事件  发生的条件下，事件  发生的概率。教学应从具体实例入手——如“已知某家庭有两个孩子，其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率”——让学生在具体情境中感受“条件”对概率的影响。

条件概率的教学应引导学生从“缩小样本空间”的直观理解出发，抽象出条件概率的定义，进而推导乘法公式，并讨论其性质与独立事件的关系。

教学路径应为：具体实例（如抽签的公平性）→ 感受“条件”对概率的影响 → 抽象出条件概率的定义  → 推导乘法公式  → 讨论条件概率与独立性的关系（独立时 ）→ 了解全概率公式 。

离散型随机变量及其分布列：从“随机事件”到“随机变量”

课标要求“通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）”“通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征”“通过具体实例，了解超几何分布及其均值”。

随机变量是概率论的核心概念——它把随机事件的结果“数值化”。教学应从掷骰子、抽样检验等典型实例入手，引入随机变量概念。

教学路径应为：随机试验（如掷骰子）→ 将结果数值化（1点→1，2点→2，…）→ 引入随机变量的概念 → 区分离散型与非离散型 → 建立分布列（每个取值对应的概率）→ 计算数字特征（均值、方差）。

伯努利试验与二项分布是离散型随机变量的重要模型。伯努利试验是“只有两种结果”的试验（如成功/失败）；重复进行 次独立的伯努利试验，成功的次数 服从二项分布 。课标要求“掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题”。

超几何分布描述的是“不放回抽样”中某种特征的个数。课标对超几何分布的要求是“了解”层次。

在概率教学中应“引导学生通过具体实例，理解可以用随机变量更好地刻画随机现象，感悟随机变量与随机事件的关系”。

正态分布：从“离散”到“连续”

课标要求“通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量。通过具体实例、借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征”“了解正态分布的均值、方差及其含义”。

正态分布是学生接触的第一种连续型随机变量。教学的关键是让学生理解：正态分布是许多独立随机因素叠加的结果（如测量误差）——这一定理本身不必严格证明，但应让学生通过具体实例感受其合理性。

教学应“通过误差模型”引入——例如，测量同一物体的长度，多次测量的结果往往围绕真实值波动，且波动呈现“中间多、两头少”的规律。借助频率直方图的几何直观，让学生“看到”正态分布的钟形曲线。

四、第三板块：统计——从“描述”到“推断”

统计是选择性必修“概率与统计”主题的方法应用。课标指出，本单元的学习可以帮助学生“了解样本相关系数的统计含义，了解一元线性回归模型和2×2列联表，运用这些方法解决简单的实际问题”。

教学路径的整体架构

统计单元的教学路径遵循“成对数据的统计相关性→一元线性回归模型→2×2列联表”的进阶逻辑。

成对数据的统计相关性：从“散点图”到“相关系数”

课标要求“结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系”“结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性”。

教学应从散点图入手。两个变量之间是否存在线性相关关系？散点图给出直观判断——点大致分布在一条直线附近，说明两个变量线性相关。

相关系数  ,将这种直观判断量化：越接近1，正相关越强；越接近-1，负相关越强；越接近0，线性相关性越弱。

课标特别强调要“了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系”——这一定义方式将统计与向量知识巧妙地联系了起来。

一元线性回归模型：从“相关”到“预测”

课标要求“结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法”“针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测”。

回归分析的核心思想是：如果两个变量线性相关，能否用一条直线来近似描述它们之间的关系？——这就是回归直线。

教学应让学生理解最小二乘原理：使所有数据点到回归直线的“垂直距离的平方和”最小。这一原理本身蕴含了“优化”的数学思想——在众多可能的直线中，找到“最好”的那一条。

教学路径应为：散点图判断线性相关 → 引入回归直线的概念 → 理解最小二乘原理 → 掌握回归系数公式 → 用回归模型进行预测。

2×2列联表：从“相关”到“独立”

课标要求“通过实例，理解2×2列联表的统计意义”“通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用”。

独立性检验回答的问题是：两个分类变量之间是否存在关联？例如，“性别”与“是否吸烟”是否有关？

教学路径应为：实际问题（如“吸烟与患肺癌是否有关”）→ 收集数据填入2×2列联表 → 计算期望频数（假设独立时的理论值）→ 计算卡方统计量 → 与临界值比较 → 作出判断 。

课标强调“理解利用2×2列联表可以检验两个随机变量的独立性”。

五、两条“暗线”思路

1. 随机思想是统摄性的大概念。 从必修课程的“随机事件与概率”，到选择性必修的“条件概率与随机变量”，再到“统计推断”——“随机”二字贯穿始终。教学中应“深入理解随机思想在解决实际问题中的作用”。

2. 案例教学是统计教学的灵魂。 课标明确要求“教师应通过典型案例开展教学活动，案例的情境应是丰富的、有趣的、学生熟悉的”。统计教学“应通过具体案例引导学生参与数据分析的全过程，并鼓励学生使用相应的统计软件”。当学生不再被繁重的计算所困，他们才有精力去思考数据背后的意义。

六、最后的话

把计数原理当作“排列组合公式”来教——讲完分类分步讲排列组合，讲完排列组合讲二项式定理——“分类与分步”的思维方法被公式记忆所淹没；把概率当作“分布列公式”来教——讲完条件概率讲二项分布——“随机变量”作为刻画随机现象的工具这一本质被忽视；把统计当作“回归方程”来教——讲完相关系数讲回归系数——“推断”作为统计学的灵魂被遗忘。

计数原理、概率与统计的真正价值，不在于公式的背诵和计算的熟练，而在于学生能否建立起“用计数的思想数世界、用概率的思维理解随机、用统计的方法从数据中发现规律”的思维自觉。

计数原理让学生看到：复杂的计数问题可以归结为“分类”和“分步”两种基本思维模式。概率让学生看到：随机现象可以被量化、被建模、被预测。统计让学生看到：数据不是冰冷的数字，而是洞察世界、做出科学决策的窗口。

在充满不确定性的世界里，我们可以用概率做出最优的决策；在海量的数据中，我们可以用统计发现隐藏的规律；而这一切的起点，是学会“数”——系统地、有逻辑地数。

*本文依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“概率与统计”主题部分撰写。