ARTICLE · 1005600
《数学脉络》第二季:初中数学,为什么是一棵树的树干?
初中数学，为什么是一棵树的树干？
——看懂初中数学的4条树干与1条主脉
前面，我们用两篇文章介绍了《数学脉络》的整体想法，也重新梳理了小学数学。
在《数学脉络》这棵树里，我们把小学数学比作根系。
因为小学阶段最重要的，并不只是学会加减乘除、分数小数、面积体积，而是在这些具体知识背后，慢慢长出数感、运算感、关系感、空间感、数据感和表达感。
那么，当这些根继续向上生长，会发生什么？
答案就是——
初中数学。
如果说小学数学是在地下扎根，那么到了初中，数学第一次真正长出了清晰的树干。
我们用第二季的14期视频，试着重新回答一个问题：
初中三年学过的那些知识，到底是怎样连接在一起的？
一、初中数学，为什么会突然变难？
很多孩子进入初中以后，会有一种很明显的感觉：
数学变了。
小学里，我们面对的往往还是比较具体的问题：
有多少？ 怎么算？ 面积是多少？ 平均数是多少？
可是进入初中以后，一大批新的东西开始出现：
负数、无理数、字母、整式、方程、坐标系、函数、证明、相似、概率……
如果把它们一个一个分开来看，很容易觉得：
初中数学就是突然增加了一大堆知识点。
但如果把视野拉远一点，会发现完全不是这样。
这些知识其实正在共同完成一次非常重要的生长：
数学从具体走向抽象， 从计算走向关系， 从结果走向原因， 从确定走向不确定。
在《数学脉络》第二季里，我们把这次生长重新整理成：
4条树干 + 1条主脉
二、第一条树干：数的扩张
原来的数，不够用了
小学阶段，我们已经认识了很多数。
自然数、小数、分数、百分数……
但到了初中，一个非常重要的问题开始出现：
我们现在拥有的这些数，够用吗？
比如：
3 − 5 等于多少？
如果我们只有自然数，这个问题就无法回答。
于是，数轴向0的左边继续延伸。
负数出现了。
可是，数的扩张还没有结束。
一个边长为1的正方形，它的对角线有多长？
答案是：
但奇怪的是，无论我们怎样寻找，都无法把它写成两个整数之比。
于是，我们不得不再次扩大数的世界。
无理数出现了。
所以第二季第2期和第3期，我们分别讨论：
为什么会有负数？
为什么会有无理数？
它们表面上是两个知识点，背后却是同一件事：
原来的数不够用了，于是数学不断扩张数的边界。
从自然数到整数，从有理数到实数。
我们今天习以为常的“数”，其实也是一点一点生长出来的。
三、第二条树干：代数与方程
数学开始用符号描述关系
有了越来越丰富的数之后，另一个问题出现了。
如果我们面对的不是某一个具体的数，而是一类问题呢？
比如：
一个数加3等于7。
小学时，我们可以画框、画线段，也可以尝试寻找答案。
但数学继续向前走，需要一种更强大的语言。
于是：
字母出现了。
一个字母，可以暂时代替一个不知道的数，也可以表示一个可以变化的数。
接下来，字母和数字按照一定规则组合：
整式出现了。
再用一个等号，把两边的数量关系连接起来：
方程出现了。
于是，我们得到了一条非常重要的生长路径：
数字 → 字母 → 整式 → 方程 → 关系
所以第二季第4—7期，我们连续讨论了四个问题：
字母为什么可以表示数？
整式到底在计算什么？
方程为什么重要？
为什么会有这么多种方程？
如果只从教材目录看，它们是四块不同的知识。
但从数学脉络来看，它们其实在完成同一次升级：
数学不再只计算一个具体的数， 而开始用符号描述一类关系。
这才是代数真正重要的地方。
四、一条特别重要的主脉：函数与变化
坐标系让关系有了形状，函数让变化有了语言
方程已经能够把关系写出来。
比如：
但是，它仍然只是一行符号。
有没有可能——
把关系直接“看见”？
于是，坐标系出现了。
一个数可以放在数轴上。
两个数可以组成一对坐标。
一对坐标可以变成平面上的一个点。
越来越多满足同一个关系的点放进坐标系以后，一个非常奇妙的事情发生了：
关系有了形状。
所以第二季第8期，我们问：
坐标系为什么伟大？
答案并不只是：
它可以帮助我们确定一个点的位置。
更重要的是：
坐标系让看不见的关系，有了形状。
方程属于代数。
图像属于几何。
而坐标系把它们连接到了一起。
但数学并没有停下来。
因为现实世界中的很多关系，并不是静止的。
时间在变化。
路程在变化。
温度在变化。
速度在变化。
人口也在变化。
于是数学继续追问：
如果一个量发生变化，另一个量会怎样跟着变化？
函数出现了。
所以第9期，我们讨论：
函数为什么会出现？
函数真正重要的地方，并不是 (y=2x)、(y=x^2) 这些公式本身。
公式只是表达函数的一种方式。
函数真正研究的是：
变化中的关系。
所以这一条主脉，我们最后浓缩成两句话：
坐标系让关系有了形状。函数让变化有了语言。
从这里继续向上生长，高中会出现更加丰富的函数；再向大学生长，会出现极限、导数、积分……
因此，在整棵数学之树里，函数与变化是一条会不断向上延伸的重要主脉。
五、第三条树干：几何与空间
从“看起来对”，走向“为什么一定对”
小学阶段，我们也学几何。
认识长方形、正方形、三角形、圆。
计算周长、面积和体积。
那为什么进入初中以后，很多孩子会突然觉得几何变难了？
因为问题变了。
小学几何经常问：
这条边多长？ 这个角多大？ 这个图形面积是多少？
而到了初中，数学开始不断追问：
为什么？
为什么这两个角一定相等？
为什么这两条直线一定平行？
为什么三角形内角和一定是180°？
画100个三角形，用量角器测100次，都接近180°。
够了吗？
还不够。
因为数学要回答的，不是：
“我看到的这些三角形好像都是这样。”
而是：
为什么所有三角形都一定如此？
于是——
证明出现了。
所以第10期，我们讨论：
为什么数学要证明？
证明不是为了让数学变难。
它真正做的事情，是：
让“看起来对”，变成“一定对”。
证明让数学从观察走向逻辑，从“看见”走向“确信”。
接下来，几何又提出了另一个问题：
两个图形一个大、一个小，为什么我们仍然觉得它们是同一种形状？
于是第11期，我们讨论：
相似到底在研究什么？
相似真正研究的，并不是大小。
而是：
当一个图形被放大或缩小时，什么保持不变？
照片可以放大。
地图可以缩小。
建筑可以制作成模型。
大小发生了变化，但形状依然能够保持。
相似让数学开始研究这种“不变”。
而它还会继续向后连接比例、直角三角形和高中阶段的三角函数。
六、第四条树干：统计与概率
数学开始研究不确定的世界
走到这里，我们会发现一个很有意思的现象。
前面的数学，大多数都在研究确定的事情。
这是确定的。
一个方程满足什么条件，这是确定的。
一个几何结论经过证明以后，也是确定的。
数学似乎一直在追求确定性。
可是现实世界并不总是确定的。
明天会下雨吗？
下一次抛硬币是正面还是反面？
明天上班会不会堵车？
一个学生下一次考试会考多少分？
这些问题，在事情真正发生之前，都没有一个确定答案。
于是数学遇到了一个全新的问题：
如果结果本身是不确定的，数学还能研究它吗？
答案当然是：
可以。
这就是第二季最后一条树干：
统计与概率。
第12期，我们讨论：
概率为什么不是运气？
抛一次硬币。
正面还是反面？
不知道。
再抛一次，还是不知道。
可是，如果抛1000次、10000次……
一个奇妙的现象会逐渐出现：
随机之中开始显现出稳定的规律。
所以概率真正研究的，不是：
“下一次一定会发生什么。”
而是：
大量重复以后，会呈现出怎样的规律。
一次结果无法预测。
很多次以后，却可以发现规律。
于是第13期继续追问：
数据为什么能预测未来？
如果随机现象会反复出现规律，那么这些规律怎样才能被我们发现？
答案就是：
数据。
天气留下天气数据。
交通留下流量和速度数据。
考试留下成绩和错题数据。
一次观察也许说明不了什么。
但当数据越来越多，我们就可能从中发现反复出现的模式。
于是：
随机 → 概率 → 数据 → 统计 → 预测
需要特别注意的是：
预测并不意味着“未来一定如此”。
真正的数据预测，是根据过去反复出现的规律，判断：
未来更可能发生什么。
从这里继续向上生长，就是现代统计学、数据分析、机器学习和人工智能。
数学也从研究确定的世界，走向了不确定的世界。
回头再看，初中数学其实只有一件事：向上生长
走完第二季的14期，再回头看初中数学，我们会发现：
原来那些看起来彼此分散的知识，并没有散落在不同章节里。
它们一直在向上生长。
数的扩张告诉我们：
数的世界不是固定的。
代数与方程告诉我们：
数学可以用符号描述关系。
函数与变化告诉我们：
关系可以被看见，变化可以被描述。
几何与空间告诉我们：
数学不仅要知道结果，还要说明为什么一定成立。
统计与概率告诉我们：
即使面对不确定的世界，数学仍然可以发现规律。
于是，小学阶段埋下的根系，慢慢汇聚成了初中阶段清晰的树干。
树干之上，还会继续生长
这也是《数学脉络》第二季最后一集，我们最想回答的问题：
初中数学，是如何长成高中数学的？
负数、无理数，会继续生长成更完整的数系。
字母、整式、方程，会继续生长成更加抽象的代数结构。
函数会真正展开，形成高中数学最重要的一片树冠。
相似、比例、直角三角形，会继续通向三角函数、解析几何和空间几何。
统计与概率，也会进入更加系统的随机与推断。
所以：
小学数学，不是数学的低处。它是数学的根部。
初中数学，也不是一堆突然增加的知识。它是从根系向上生长出来的树干。
根扎得越稳， 树干之间的连接越清楚， 后面的树冠，才能真正展开。
小学是根系。
初中是树干。
高中，是树冠。
而再往远处看——
还有一整片大学数学的森林。
这里是「数学脉络实验室」。
我们不只是学习一个个知识点。
我们更希望一起看见：