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为什么要证明 拓展训练
1．下列推理正确的是 ( )
A．小明今年10岁，哥哥比小明大6岁，到了明年，哥哥只比小明大5岁，因为
小明明年比今年长了1岁
B．线段a与b相等，原因是它们看起来差不多
C．若a>b，b>c，则a>c
D．因为对顶角相等，所以相等的角也必是对顶角
2．下列结论你能肯定的是 ( )
A．5个数的积为负数，则这5个数中必只有一个负数
B．三个连续整数的积一定能被6整除
C．小明的数学成绩一向很好，因此后天的数学竞赛中他一定能获得一等奖
D．对顶角相等，两直线垂直
3．如图6—7所示的是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下
去，当每边上摆20(即n＝20)根时，需要火柴棍的总数为 根．
4．观察下列等式9-1＝8，16-4＝12，25-9＝16，36-16＝20，…，这些等式反映
自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为
．
5．如图6—8所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BD，点F在AD上，
连接BF并延长，交AC于点E．如果DF＝DC，那么BF与AC有何位置关系和数
量关系?你能肯定吗?
1 / 46．请你观察下列等式，再回答问题．
;
(1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想 的结果，并进行验证；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n(n为正整数)表示的等式，并加
以验证．
7．如图6-9(1)所示，AB，CD是两条线段，M是AB的中点，连接AD，MD，BC，
BD， MC，AC，S ，S 和S 分别表示△DMC，△DAC，△DBC的面积，当
△DMC △DAC △DBC
AB∥CD时，有S ＝ .
△DMC
(1)如图6-9(2)所示，当图6-9(1)中AB与CD不平行时，S = 是
△DMC
否仍然成立?请说明理由；
(2)如图6-9(3)所示，当图6-9(1)中AB与CD相交于点O时，S 与S ，
△DMC △DAC
S 有什么样的数量关系?试说明你的结论．
△DBC
2 / 4参考答案
1．C
2．B
3．630[提示：设S 为有i个三角形，当n＝1时，有一个三角形，S =1，火柴棍总
i 1
数为1×3＝3；当n＝2时，S ＝3，火柴棍总数为3×3＝9；当n＝3时，S =6，火柴棍
2 3
总数为3×6=18；当n＝4时，S ＝10，火柴棍总数为3×10＝30．发现：3＝l+2，6＝
4
l+2+3，10＝1+2+3+4，…，那么当n＝20时，三角形的总数为1+2+3+…+19+20＝
210，火柴棍的总数为3×210＝630根．]
4．(n+2)2-n2＝4(n+1)
5．解：BF⊥AC,且BF＝AC理由：在△BFD和△ADC中，DF＝DC,∠ADB＝
∠ADC＝90°, AD＝BD，∴△BFD≌△ACD，∴BF＝AC,∠BFD＝∠C.又
∵∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC,即BF⊥AC.
6．解：(1) ，验证略.
(2) .验证如下：
7．解：(1)当AB与CD不平行时，S = 仍成立．分别过点A，M，
△DMC
B作CD的垂线AE，MN，BF，垂足分别为E，N，F.∵M为AB的中点，∴MN＝
(AE+BF)，∴S +S = DC·AE+ DC·BF＝ DC·(AE+BF)=
△DAC △DBC
DC·2MN=DC·MN=2S .∴S =
△DMC △DMC
3 / 4(2)S = .理由：∵M是AB的中点，∴S ＝S ，
△DMC △ADM △BDM
S =S ,而S =S +S +S ,① S =S +S -
△ACM △BCM △DBC △BDM △BCM △DMC △DAC △ADM △ACM
S ,②∴①-②得S -S =2S ,故S = .
△DMC △DBC △DAC △DMC △DMC
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