ARTICLE · 1007902
小学数学思维训练——两对象容斥原理
小学数学思维训练——两对象容斥原理🔎一、核心概念
当统计两类事物数量时，有一部分事物同时属于两类（重叠部分）。直接把两类数量相加，重叠部分会被重复计算2次，所以要减去多算的1次，这就是容斥原理（两个集合）。
基础公式： 至少属于一类的数量 = A的数量 + B的数量 − 两类都有的数量 拓展公式（存在两类都不属于的）： 全部总数 = A的数量 + B的数量 − 两类都有的数量 + 两类都没有的数量 韦恩图理解：两个相交圆圈，左圈A、右圈B，中间相交区域就是两类都有的重叠部分。 💡二、解题步骤 1. 找量：找出A数量、B数量、两类都有的重叠数量；看题目是否存在“两类都没有”。
2. 列式：A+B，减去重叠（消除重复计数）。
3. 按需计算：
◦ 求至少一类：A+B−重叠
◦ 求两类都没有：全部总数 −（A+B−重叠）
4. 作答：写答句，检验结果。 🚥三、例题示范
例1（基础题，无“都没有”）
全班参加活动，参加跳绳的有18人，参加踢毽子的有16人，两项都参加的有7人。至少参加一项活动的一共有多少人？
解：
A=18，B=16，重叠=7
18+16-7=27（人）
答：至少参加一项活动的一共有27人。
例2（带“都没有”）
全班一共45人，语文作业完成32人，数学作业完成30人，两科都完成的20人。两科都没完成的有多少人？
解：
至少完成一科：32+30-20=42（人）
两科都没完成：45-42=3（人）
答：两科都没完成的有3人。 ‼️四、易错点
1. 区分“都有”和“只属于一类”
只A = A − 重叠；只B = B − 重叠
例：会画画10人，两样都会4人 →只会画画：10-4=6人。
2. “至少一样”包含两样都会的人，不要漏掉重叠部分。
3. 不要重复减重叠，也不要忘记减重叠。
4. 看清问题：问“都没有”，要用总人数减去至少一类的人数。
🥇五、记忆口诀
两集合，相加算，重叠减掉去重算；
如有两样都不沾，总数减去至少班。
当统计两类事物数量时，有一部分事物同时属于两类（重叠部分）。直接把两类数量相加，重叠部分会被重复计算2次，所以要减去多算的1次，这就是容斥原理（两个集合）。
基础公式：
2. 列式：A+B，减去重叠（消除重复计数）。
3. 按需计算：
◦ 求至少一类：A+B−重叠
◦ 求两类都没有：全部总数 −（A+B−重叠）
4. 作答：写答句，检验结果。
例1（基础题，无“都没有”）
全班参加活动，参加跳绳的有18人，参加踢毽子的有16人，两项都参加的有7人。至少参加一项活动的一共有多少人？
A=18，B=16，重叠=7
18+16-7=27（人）
答：至少参加一项活动的一共有27人。
例2（带“都没有”）
全班一共45人，语文作业完成32人，数学作业完成30人，两科都完成的20人。两科都没完成的有多少人？
至少完成一科：32+30-20=42（人）
两科都没完成：45-42=3（人）
答：两科都没完成的有3人。
1. 区分“都有”和“只属于一类”
只A = A − 重叠；只B = B − 重叠
例：会画画10人，两样都会4人 →只会画画：10-4=6人。
2. “至少一样”包含两样都会的人，不要漏掉重叠部分。
3. 不要重复减重叠，也不要忘记减重叠。
4. 看清问题：问“都没有”，要用总人数减去至少一类的人数。
两集合，相加算，重叠减掉去重算；
如有两样都不沾，总数减去至少班。