初中数学 | 不等式两边同乘一个负数,不等号竟然要＂掉头＂?三条性质记牢!

教材定位：人教版七年级下册 · 第九章 不等式与不等式组 · 9.1.2 不等式的性质

一、性质1：两边同加同减，方向不变

不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变。

比如 3 ＞ 1，两边都加 2：

3 + 2 ＞ 1 + 2，即 5 ＞ 3，仍然成立。

写成式子：如果 a ＞ b，那么 a + c ＞ b + c，a − c ＞ b − c。

性质1 告诉我们：移项时，不等式和方程一样，移过去的项变号即可。

二、性质2：两边同乘同除正数，方向不变

不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。

比如 3 ＞ 1，两边都乘 2：

3×2 ＞ 1×2，即 6 ＞ 2，仍然成立。

写成式子：如果 a ＞ b，c ＞ 0，那么 ac ＞ bc，a ÷ c ＞ b ÷ c。

三、性质3：两边同乘同除负数，方向要变！

不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。

比如 3 ＞ 1，两边都乘 −2：

3×(−2) ＜ 1×(−2)，即 −6 ＜ −2，方向真的变了！

写成式子：如果 a ＞ b，c ＜ 0，那么 ac ＜ bc，a ÷ c ＜ b ÷ c。

这是不等式和方程最大的不同：方程两边乘负数，等号永远不变；不等式乘负数，不等号要掉头！

四、用性质解简单不等式

有了三条性质，就能把不等式一步步变成"x ＞ 几"：

例：解 −3x ≤ 9。

• 两边同时除以 −3（负数！）：x ≥ −3；
• 验证：取 x = 0，−3×0 = 0 ≤ 9 成立；取 x = −4，12 ≤ 9 不成立。解集 x ≥ −3 正确。

记住顺序：先移项（性质1），再看系数是正是负，负数就变号。

五、三个必踩的坑，一个都不能踩

坑一：乘负数忘掉头

−2x ＞ 6，直接写 x ＞ −3 ✗

正确：两边除以 −2，方向改变，x ＜ −3。

坑二：只变一边的号

两边同时除以负数时，只有不等号变，两边数值照常算 ✗（有些人把数值也算反）

正确：只有不等号方向变，运算照常。

坑三：除以 0

不等式两边不能同时除以 0（和方程一样）✗

正确：除数必须是正数或负数，0 不行。

六、例题实战：一步一步来

例1：由 3 ＞ 1，两边都乘 5，结果成立吗？

用性质2：乘正数方向不变。

解：15 ＞ 5，成立。

例2：由 3 ＞ 1，两边都乘 −5，结果成立吗？

用性质3：乘负数方向改变。

解：−15 ＜ −5，成立（方向变了）。

例3：解不等式 2x + 4 ＞ 10。

移项：2x ＞ 10 − 4 = 6。

系数化1：x ＞ 3。

解：x ＞ 3。

例4：解不等式 −2x ＞ 6。

系数化1：两边除以 −2，负数变号。

解：x ＜ −3。

七、易错陷阱总盘点

八、练一练

① 由 4 ＞ 2，两边都乘 3，结果成立吗？② 由 4 ＞ 2，两边都乘 −3，不等号方向变不变？③ 解不等式 x − 3 ＞ 5。④ 解不等式 −x ≤ 4。⑤ 判断：不等式两边乘同一个负数，不等号方向不变。（对 / 错）

答案放评论区，做完来对。三条性质学会了，就能解更复杂的不等式——下篇：一元一次不等式。

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