天域联盟2027届高三10月联考数学试卷及解析(附8,11,14详解)

⏳ 距离 2027 届高考还有：[ 241 ] 天

📌 天域联盟｜2027届高三10月联考

第8、11、14题解析

第8题

设  为原点， 分别为双曲线

的左、右焦点， 分别为左、右顶点。点  在双曲线  上且满足 ， 平分 ，则该双曲线的离心率为

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】A

【解析】

设 ，，则 ，。

在  中，由角平分线定理，得

又因为 ，所以

将上式代入 ，得

解得

另一方面，由双曲线方程，得

代入 ，并用 ，整理得

再代入 ，得

即 。

设离心率为 ，则

解得 。因为 ，所以

故选 A。

第11题

已知奇函数  和偶函数  的定义域均为 ，其导数分别为 ，且

则下列结论中正确的是

A. 

B. 函数  的值域为 

C. 对任意 ，都有 ，那么  的取值范围为 

D. 若直线  与函数 、函数  的图象分别交于  两点，函数  在点  处的切线与函数  在点  处的切线相交于 ，则  的最小值为 

【答案】ABD

A项

因为  是奇函数，所以 。

由 ，得

故  为常数。在  处，其值为 ，所以

将  换成 ，利用奇偶性，得

联立，得

故 A 正确。

B项

由上面的表达式，得

因为 ，所以 ，故该函数的值域为 ，B 正确。

C项

令 ，则 ，且

当  时，由基本不等式，得 ，所以 。

因此 ，即

可见  也满足题意，选项 C 漏掉了这个端点，故 C 错误。

D项

点  的坐标分别为 ，。由导数的几何意义，两条切线的方程为

因为 ，联立两条切线方程，得

所以

由基本不等式，得

故 。当  时，，等号成立，D 正确。

综上，选 ABD。

第14题

设数列  满足 ，，

记  为不超过实数  的最大整数，则 ________。

【答案】

【解析】

由  及递推式，知 。又

所以数列递增，且 。

将递推式改写为

可得

累加，得

因此

因为 ，所以 ，从而

故 ，所求 。

原卷

参考答案