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绝密★考试结束前
2023-2024 学年第二学期天域全国名校协作体联考
高三年级数学学科参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C A B B D C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 ACD BC AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．
高三数学学科 参考答案 第1页(共7页)
4 5 （或
4
2 5
） 13．− 14．
5
( 0 , 5 )
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．解：（1）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间
直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下：
A ( 0 , − 3 , 0 ) , B ( 1 , 0 , 0 ) , A
1
( 0 , − 3 , 4 ) , B
1
( 1 , 0 , 2 ) , C
1
( 0 , 3 ,1 ) ,
因此 A B
1
=
(
1 , 3 , 2
)
, A
1
B
1
=
(
1 , 3 , − 2
)
, A C1
1
=
(
0 , 2 3 , − 3
)
, .................................. 3分
由AB AB =0得AB ⊥AB .
1 1 1 1 1 1
由 A B
1
A C1
1
= 0 得AB ⊥AC .
1 1 1
A
1
B
1
A C1
1
= A
1
, A
1
B
1
, A C1
1
平 面 A
1
B C1
1
所以 A B
1
⊥ 平面ABC . .....................................................................................6分
1 1 1
（2）设直线AC 与平面ABB 所成的角为.
1 1
由（Ⅰ）可知AC = ( 0,2 3,1 ) ,AB= ( 1, 3,0 ) ,BB =(0,0,2),
1 1
{#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}设平面
高三数学学科 参考答案 第2页(共7页)
A B B
1
的法向量 n = ( x , y , z ) .
由
n
n
A
B
B
B
1
=
=
0
0
,
,
即
x +
2 z
3
=
y
0
=
,
0 ,
可取 n =
(
− 3 ,1 , 0
)
,................................................10分
所以 s in |c o s A C
1
, n |
A
A
C
C
1
1
n
n 1
3
3
9
= =
= .
因此，直线AC 与平面ABB 所成的角的正弦值
1 1
1
3
3
9
． ............................13分
16．（1）由题意可知 a
1
( 2 ) 1 , a
2
( 4 ) 2 , a
3
( 8 ) 4 = = = = = = ， ……………4分
由题意可知，偶数与 2 n 不互素，所有奇数与与 2 n 互素，
所以 a
n
( 2 n ) 2 n 1 = = − ； .………6分
（2）由（1）知 a
n
( 2 n ) 2 n 1 = = − ，所以 a
2 n
( 2 2 n ) 2 2 n 1 = = − ，
所以
b
n
= ( − 1 ) n
lo g
a
2
2
a
n
2 n = ( − 1 ) n
lo g
2
22
2 n 2n
−1
−1
= ( − 1 ) n ( 2 n − 1 )
2
4 n
= ( 4 n − 2 ) ( −
1
4
) n
.....……8分
S
n
= b
1
+ b
2
+ + b
n
所以 S
n
= 2 ( −
1
4
) 1 + 6 ( −
1
4
) 2 + + ( 4 n − 6 ) ( −
1
4
) n − 1 + ( 4 n − 2 ) ( −
1
4
) n ①
1 1 1 1 1
(− )S =2(− )2+6(− )3+ +(4n−6)(− )n+(4n−2)(− )n+1② .....……10分
4 n 4 4 4 4
所以①-②得
5 1 1 1 1 S =2(− )1+4[(− )2+ +(− )n]−(4n−2)(− )n+1
4 n 4 4 4 4
= − 1
2
+ 4
1
1 6
[1
1
−
−
( −
( −
1
41
4
)
)
n −1 ]
− ( 4 n − 2 ) ( − 1
4
) n +1
1 1 1 1
=− + [1−(− )n−1]−(4n−2)(− )n+1
2 5 4 4
= −
1
3
0
−
5
2
0
(
n
−
+
4 )
6n
+1
，…………………………13分
所以 S
n
= −
6
2 5
+
2
2
5
0
n
(
+
−
6
4 ) n
. …………………………15分
b b
17. （1）设双曲线C的两渐近线方程分别为y= x,y=− x，
a a
点P(3,2)到双曲线两渐近线的距离乘积为 a2b2 = 6 ，
c2 5
{#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}由题意可得：
高三数学学科 参考答案 第3页(共7页)
2 a +
2 2 a b2
c9
−
2 a
2 b
=
42
b
=
6
5
=
2 c
1
，...................………....…………………3分
解得 a 2 = 3 , b 2 = 2 ，
x2 y2
则双曲线C的方程为 − =1； ............................................................................................5分
3 2
（2）设直线 l1 的方程为 y = k ( x + 5 ) ，
由 l1 , l
2
互相垂直得 l2 的方程 y = −
1
k
( x + 5 ) ，..............................................................................6分
联立方程得
y
x
3
=
2
−
k ( x
2 y
2
+
= 1
5 )
消y得 ( 2 − 3 k 2 ) x 2 − 6 5 k 2 x − 1 5 k 2 − 6 = 0 ， 0 成立，
所以 x
M
=
x
1
+
2
x
2 =
3
2 −
5
3
k
k
2
2
, y
M
= k ( x
M
+ 5 ) =
2
2 −
5
3
k
k 2
，
所以点 M
3 5k2 2 5k
坐标为（ , ），.............................................................................................8分
2−3k2 2−3k2
1
y=− (x+ 5)
k
联立方程得 ，所以
x2 y2
− =1
3 2
x
N
=
x
3
+
2
x
4 =
2
3
k 2
5
− 3
, y
N
= −
1
k
( x
N
+ 5 ) =
−
2
2
k 2
5
−
k
3
，
所以点N坐标为 （
2
3
k 2
5
− 3
,
−
2
2
k 2
5
−
k
3
） ，..............................................................................................10分
根据对称性判断知定点在x轴上，
直线MN的方程为 y − y
M
=
y
x
N
N
−
−
y
x
M
M
（ x − x
M
） ，...............................................................................12分
则当 y = 0 时，
x =
x
M
y
y
N
N
−
−
x
y
N
M
y
M =
3
2 −
5
3
k
k
2
2
−
2−
2
2
k2
k
2
2
5
−5
−
k
3k
3
−
−
3
2 k2
2 −
5
2 −5
k
3 k
3
2
2
2 −
5
3
k
k 2
=
2
3 0
5
1
−
+
1 −
k 2
k 2
= − 3 5 ，.................................14分
所以定点坐标为(−3 5,0). .........................................................................................................15分
18. （1）由题意知 f(x)定义域（0，+）
当m=5时，
{#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}高三数学学科 参考答案 第4页(共7页)
f ( x ) =
−
ln
4
x
x
，
3
−
+
4
5
x
x
3
−
+
， 1
5
−
x −
4 x
1
3
+
ln
5 x
x
− 1 ln x
-------------------------------------1分
令
g
g
'( x
g
( x
)
(
)
=
x )
=
−
在
−
1
4
2
（
x
x
0
3
2
，
+
+
5
5
5
1 2
x
）
−
0
1
单 调
0
递
x
增
，
1
（
5
2
1
5
2
， + ） 单 调 递 减 ， 且 g ( 1 ) = 0
令 h ( x ) = ln x 在 （ 0 + ） 单 调 递 增 ， 而 f ( 1 ) = 0 = h （ 1 ）
又
所
g
以
(
1
4
当
) =
0
1
3
6
x
,
h (
1
4
1
4
时
) =
，
l n
g
1
4
( x
)
−
1
h
而 ,
( x )
g
, 当
( 0 )
1
4
=
− 1
x 1 时 , g ( x ) 0 h ( x )
----------------------------------------------4分
所 以 当 0 x 1 时 ， f ( x ) = g ( x ) , 当 x 1 时 ， f ( x ) = h ( x )
所 以 f ( x ) =
−
ln
4
x
x
，
3 +
x
5
x
1
− 1 ， 0 x 1
所 以 f ( x ) 在 ( 0 ，
1
5
2
) 和 (1 , + ) 单 调 递 增 ，(
1
5
2
， 1 ) 单 调 递 减
（
则
又
所
i ）
此
此
以
当
切
切
0
0
=
线
线
(
x
方
过
− 1
程
原
2
1
x
时
为
点
2
0
，
，
+ 5
f
y
)
'(
=
( 0
x
(
−
)
−
=
1
x
2
0
−
)
1
x
0
−
2
2
4
x
+
x
2 +
5 )
3
0
(
+
5 ,
x
5
设
−
x
x
0
切
0
−
)
1
点
−
，
M
4
解
x
(
3
0
得
x , −
0
+ 5
x
0
4
x
0
=
x
0
−
1
2
3
1
+ 5 x
0
− 1 )
即 此 时 切 线 方 程 是 2 x − y = 0
- -----------------------------------------6分
{#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}高三数学学科 参考答案 第5页(共7页)
（
设
又
所
综
ii ）
切
此
以
上
当
点
切
此
所
x
为
线
时
述
(
过
切
，
1
x
时
,
0
原
线
所
，
ln
点
方
求
f
x
(
)
0
，
程
切
x
,
)
此
所
线
=
x
时
以
方
ln
−
切
0
e
程
所 x
线
=
y =
是
以
方
1
x
0
0
：
(
f
程
0
x
'(
−
−
x
1
) =
x
1
y =
x
0
x ) + ln
0
或 e y = 0
( x
x
0
2
解
x
−
−
x
得
0
y
) +
x
0
=
ln
=
0
e
x
0
,
----------------------------------8分
（
由
且
此
2 ）
（
f
时
（
） 1
( 0
f
）
） i
知
( x )
当
，
， 1
有 两
m
f
f
( x )
1
(
4
个
5
在
）
零
时
(
点
， 0
3
1 6
1
5
2
0
)
,
和
f
( 1
） (1
,
) 单
0
调 递 增 ， (
1
5
2
，1 ) 单 调 递 减 ，
-----------------------11分
(
当
由
所
所
ii 当 )
0
（
以
以
1
m
x
）
x
f (
知
（
x )
时 5
时 1
：
1
在
，
， −
g (
5
，
2
（ 0
x
+
，
4
)
x
=
1
3
）
5
2
+
−
）
4
时
5 x
3 x
，
只
−
+
有
1
5 x
f ( x
一
−
−
)
个
4
1
x
在
0
零
3
,
+
（
而
点
m
， 0
f
，
x
( 0
− 1
5
1 2
) =
（
）
−
1
递
1
5
2
，
增
+
，
）
（
没
1
有
5
2
，1
零
）
点
递 减 , 且 g ( 1 ) = 0
----------------------------------13分
（iii）当0m5时，
m 5
y =−4x3+mx−1此时y=−12x2 +m0得0 x
12 12
由(1)知
当x1时，f(x)=ln x只有一个零点x=1,
要保证f(x)只有一个零点，只需要当0 x1时, f(x)=−4x3+mx−1没有零点
m m m m 3m
f( )=−4( )3+m( )−1= −10
12 12 12 9
,得0m3
m
0 1
12
{#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}---------------------------------------15分
（iv）当m0时，当x(0,+)时，
g(x)=−4x3+mx−10,此时f(x)只有一个零点x=1
高三数学学科 参考答案 第6页(共7页)
综 上 ， f ( x ) 只 有 一 个 零 点 时 ， m ＜ 3 或 m 5
-----------------------------------------17分
19. （1）记甲获胜为事件A，甲抢到3道题为事件 A
3
,甲抢到2道题为事件 A
2
,甲抢到1道题为事件 A
1
,
甲抢到0道题为事件 A
0
，............................................................................................................1分
则 P ( A
3
) = (
1
2
) 3 =
1
8
,
P ( A
2
) = C 23 (
1
2
) 3 =
3
8
,
P ( A
1
) = C 13 (
1
2
) 3 =
3
8
, P ( A
0
) = (
1
2
) 3 =
1
8
，...............................................................................................3分
而 P ( A | A
3
) = (
1
2
) 3 + C 23 (
1
2
) 2 (1 −
1
2
) =
1
2
，
P ( A | A
2
) = (
1
2
) 2 + C 12
1
2
(1 −
1
2
) (1 −
1
3
) =
1
7
2
，
P ( A | A
1
) =
1
2
(
2
3
2
3
+ 2
2
3
1
3
) + (1 −
1
2
)
2
3
2
3
=
2
3
，
P ( A | A
0
) = (
2
3
) 3 + C 13
1
3
(
2
3
) 2 =
2
2
0
7
，.................................................................................................5分
所以 P ( A ) = P ( A
3
) P ( A | A
3
) + P ( A
2
) P ( A | A
2
) + P ( A
1
) P ( A | A
1
) + P ( A
0
) P ( A | A
0
)
1 1 3 7 3 2 1 20 539
= + + + = . .................................................................................................6分
8 2 8 12 8 3 8 27 864
p 1 1− p
(2) ①P(X =1)= ,P(X =0)= ,P(X =−1)= ，
i 2 i 2 i 2
p 1 1− p 2p−1
所以E(X )=1 +0 −1 = ；.................................................................................8分
i 2 2 2 2
因为 E ( X ) = E
1
n
n
i=
1
X
i
=
1
n
E
n
i=
1
X
i
=
1
n
n
i=
1
E ( X
i
) =
1
n
n
2 p
2
− 1
=
2 p
2
− 1
，
由表中数据可知 x =
1
1
0
，
2pˆ −1 1 3
所以 1 = ,pˆ = ． .............................................................................................................10分
2 10 1 5
②因为 X
i
(i=1,2, ,20)取值相互独立，
所以 L ( p ) = P ( X
1
= x
1
, X
2
= x
2
, , X
2 0
= x
2 0
) = P ( X
1
= x
1
) P ( X
2
= x
2
) P ( X
2 0
= x
2 0
)
p 1 1− p
=[P(X =1)]6[P(X =0)]10[P(X =−1)]4 =( )6( )10( )4.....................................................13分
i i i 2 2 2
1 p 1− p p 1− p 1 p 1− p 3 5p
所以L(p)=( )10[3( )5( )4 −2( )6( )3]=( )10( )5( )3( − )；
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
令L(p)=0得 p= ，
5
又0 p1，
{#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}所以当
高三数学学科 参考答案 第7页(共7页)
p ( 0 ,
3
5
) 时，L(p)0，L(p)单调递增；
当 p (
3
5
,1 ) 时， L ( p ) 0 ， L ( p ) 单调递减； .................................................................................16分
即当 p =
3
5
时 L ( p ) 取到最大值，从而 ˆp
2
=
3
5
．.................................................................................17分
{#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}
