高三数学答案_2024年4月_01按日期_25号_2024届河南省开封市高三年级第三次质量检测（开封三模）_河南省开封市2024届高三年级第三次质量检测（开封三模）数学

开封市 2024 届高三年级第三次质量检测 数学参考答案 注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A A C C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD AD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1 12．20 13．1,0    1， （答案不唯一） 14． 6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） （1）一共有6种套餐，甲、乙同学各选一种，共有62=36种方法，………2分 甲、乙同学选择同一种套餐有6种方法，………4分 6 1 所以甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率为P= = .………6分 36 6 100(40251520)2 （2）2  8.2497.879，………10分 60405545 依据0.005的独立性检验，认为性别与选择餐厅之间有关联， 此推断犯错误的概率不大于0.005.………13分 16.（15分） 3 解：（1）由题意知： f  1 1， f(x)=3x2 ，k  f(1)330，………3分 x 所以曲线y f  x  在点  1, f  1  处的切线方程为 y10. ………5分  3 9 6 （2）由题意知：g  x  x33lnx3x2  x33x23lnx ,x 0, ,………6分  x x x 3 6 32x 3x2x1 x2 x1  g'(x)3x2 6x  3x x2   ，………8分 x x2 x2 x2 令g'(x)=0，解得：x 1或x  2. ………9分   当x变化时，g'(x)，g x 的变化情况如下表：       x 0,1 1 1,2 2 2, g'(x) + 0 - 0 +   g x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ………11分 所以，函数g  x  的单调递减区间为  1,2  ，单调递增区间为  0,1  和  2, ，………13分 g  x  的极小值为g  2 73ln2，g  x  的极大值为g  1 8. ………15分 1 {#{QQABYQQQggAIQJAAARgCAQUCCAKQkACCCKoOhAAMoAAByQNABAA=}#}17.（15分） （1）设Px，yx1，则Mx，0， 所以 PM = y，BM = x1，AM = x+1 ，………2分 因为 AM , PM , BM 成等比数列，所以 PM 2 = AM BM ，所以 y 2 = x1 x+1= x21 ，………4分 若 x 1，化简得x2+y2=1；若 x 1，化简得x2y2=1， 所以点P的轨迹C的方程为x2+y2=1  x 1  和x2y2=1  x 1  .………6分 （2）易知直线l的斜率存在，设l:ykx+1，………7分 联立x2y2=1  x 1  ，得 1k2 x22k2xk21=0， 记直线l与x2y2=1  x 1  的交点为N ，解得x  1k2 ， N 1k2 2 1k2 所以 AN = 1k2 x +1  ，………9分 N 1k2 k 2 原点到直线l的距离d  ，所以 AM =2 1d2  ，………11分 1k2 1k2   2 2 1k2 4 1 2 所以AMAN   = =8，解之得k2= ，k= ，………14分 1k2 1k2 1k2 2 2 2 所以直线l的方程为y x+1.………15分 2 18.（17分） （1）若选择命题：如果PC=PD，AC PD，则BD平面PAC ，证明如下： 因为底面ABCD是正方形，所以AC BD，………1分 又AC PD，BDPD=D，所以AC 平面PBD，………3分 记ACBD=O，PO平面PBD，所以AC PO，………4分 又因为PC=PD，OC=OD ，PO=PO， 所以POD=POC=90，所以BDPO，………6分 ACPO=O,所以BD平面PAC .………8分 若选择命题：如果PC=PD，BD平面PAC ，则AC PD，证明如下： 记ACBD=O，因为BD平面PAC ，PO平面PAC ，所以BDPO，………2分 又因为PC=PD，OC=OD ，PO=PO，所以POD=POC=90，所以AC PO，………4分 因为底面ABCD是正方形，所以AC BD，………5分 BDPO=O，所以AC 平面PBD，………7分 又PD平面PBD，所以AC PD.………8分 若选择命题：如果AC PD，BD平面PAC ，则PC=PD，证明如下： 记ACBD=O，因为BD平面PAC ，PO平面PAC ，所以BDPO，………2分 因为底面ABCD是正方形，所以AC BD，………3分 又AC PD，BDPD=D，所以AC 平面PBD，………5分 PO平面PBD，所以AC PO，………6分 由POD=POC=90，OC=OD ，PO=PO，得POCPOD，所以PC=PD.………8分 （2）由（1）的证明，可知PO平面ABCD，根据正棱锥的定义，PABCD 为正四棱锥，………9分 记底面正方形ABCD的边长为2a， 1 4 4 1 所以V = S PO= a2 12a2= a42a6 ，0a2  ，………11分 PABCD 3 ABCD 3 3 2 令a2 x, 0x 1 ，所以V = 4 x22x3 ，记 f x=x22x3，………12分 2 PABCD 3 1 1 f(x)=2x6x2=2x13x，由 f(x)0，得0 x ，由 f(x)0，得x ， 3 3 2 {#{QQABYQQQggAIQJAAARgCAQUCCAKQkACCCKoOhAAMoAAByQNABAA=}#} 1 1 1 所以 f x在区间0, 上单调递增，在区间 , 上单调递减，………14分  3 3 2 1 1 1 所以 f x在x= 处取得最大值，最大值为 f  = ，………15分 3 3 27 4 3 所以四棱锥PABCD体积的最大值为 .………17分 27 19.（17分） c 解：（1）因为B，C；D= 0，点D在线段BC上，b=2， 2 csinBAD csinBAD c 所以由B，C；D= = = ，得sinBAD=sinCAD，………2分 bsinCAD 2sinCAD 2 所以AD为BAC的角平分线，又A=60，所以BAD=CAD=30.………3分 若AD= 3+1，在ACD中，由余弦定理得：  2   CD2=AC2+AD22AC ADcosCAD=4 3+1 4 3+1 cos30 =2，解得CD= 2，………4分 CD AC 2 2 2 由正弦定理得： = 即 = ，解得sinCDA= ， sinCAD sinCDA sin30 sinCDA 2 由于AD是最大边，所以CDA=45，………5分 （2）记CAM =， n 1 （i）当n=0时，因为B，C；M ，D= 0，所以点M 在线段BC的延长线上， 0 2 0   所以 csin 60+ = 1  c ，化简得2sin  60+  =sin，解得cos=0，=90，………7分 2sin 2 2 1 2 3 因为S =S +S ，所以ADAM sin120=ADACsin30+ACAM ，即 + = ，……9分 ADM 0 ADC ACM 0 0 0 AM AD 2 0 2  1 2  2  8AD 2AM  2 50 3 所以8AD+AM = 8AD+AM   + = 17+ + 0  178= ， 0 3 0  AM AD 3 AM AD  3 3 0 0 5 3 10 3 当且仅当AM =2AD时取等号, 此时AD= ，AM = ， 0 3 0 3 5 3 由于tanACM =  3，ACM 60，等号可以取到.………11分 0 3 0 1+ 3n （ii）当n0时，因为B，C；M ，D= 0，所以点M 在线段BC的延长线上， n 2 n   所以 csin 60+ = 1+ 3n  c ，化简得2sin  60+  =  1 3n  sin，解得tan= 1 ，………12分 2sin 2 2 n 2 2 所以CP=ACsin= ，a = ，………13分 n n 1n2 n 1n2 当n=1时,S a = 2 2 2， 1 1 2 2  1 1 当n2时，a =  2  ，………15分 n n 1n2 n2 n1 n  1 1 1 1 1  1 所以S =a +a +a  2+21   ++  = 2+21 2 2， n 1 2 n  2 2 3 n1 n  n 综上所述S 2 2. ………17分 n 3 {#{QQABYQQQggAIQJAAARgCAQUCCAKQkACCCKoOhAAMoAAByQNABAA=}#}