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绝对细糠!把初中数学难题拆成填空题,孩子的思路竟然可以这样练
绝对细糠!把初中数学难题拆成填空题,孩子的思路竟然可以这样练最近给初三学生整理期中复习资料，我拿出了几道圆的综合题。这类题很多无锡初三家长应该都见过：题目长，图形复杂，前面可能还能证明一个角，到了动点、定值或者最值，孩子就停住了。 家长看着着急，觉得孩子是不是基础不够，或者难题做得太少。孩子自己也委屈：“老师讲的时候我听懂了，可换一道题，我还是不知道从哪里开始。” 这句话，我教书二十多年听过太多次了。 很多孩子的问题，不是完全不会知识点。他知道圆周角定理，也知道全等三角形、相似三角形，有的公式背得比谁都熟。但这些知识在他脑子里像一堆零件，真正拿到一道综合题时，他不知道该先拿哪一个，也不知道几个零件应该怎样接起来。 于是我换了一个方式：把一道完整的综合题，拆成一串可以依次回答的问题，让孩子沿着这些问题，一步一步把关键条件、判断和推理填出来。 我把它叫作“思维链式拆题法”。 
最近整理的这份《圆的综合题》，就是按这个想法做的。不是只在答案里挖掉几个数字，而是尽量把一道题背后的思考过程拆出来：看到这个条件，应该联想到什么？这个角和哪个角有关？要证明的线段关系，能不能先转化成一个三角形全等？前一步得出的结论，下一步又能帮我们做什么？ 孩子沿着这些问题往下走，会慢慢发现，一道原本看起来很难的题，其实可以变成一个接一个能够处理的小问题。 当然，填完一遍并不代表彻底掌握。真正重要的，是孩子能不能在理解以后，逐渐离开提示，再把这条路自己走出来。 孩子卡住的，往往不是答案，而是“第一步” 很多家长陪孩子订正数学时，会发现一个很奇怪的现象：孩子看答案的时候，每一步似乎都懂；可把答案一盖，他还是不会做。 为什么？ 因为标准答案呈现出来的，通常是一条已经整理好的路。它写着“连接某条线段”“根据同弧所对圆周角相等”“由此得到两个三角形全等”，每一步都很流畅。但孩子真正想问的是：为什么要连接这条线？图上那么多角，为什么偏偏看这两个？我又怎么知道接下来要找全等？ 老师讲题时，思路可能从条件一下跳到了结论；成绩好的孩子能够跟上，中间缺的几步会自己补出来。可基础还不够扎实的孩子，听到下一步就已经掉队了。他不是不认真，而是脑子里的那条“条件—判断—推理”还没有连起来。 比如圆里有一道题，已知一条弦固定，一个圆周角也固定，要求孩子判断点的运动路径。直接讲答案，会说“这个点在以该线段为弦的一段圆弧上运动”。这句话听起来不复杂，可很多孩子记住的只是“画一个圆”，下次数字和图形一换，又不知道为什么要画。 如果把它拆开，问题就清楚多了：题目中哪两个点是固定的？这两个固定点之间的线段是什么？变化的是哪个点？变化的过程中，哪个角始终保持不变？这个角的两边始终经过哪两个固定点？学过的圆周角知识里，有没有一种图形恰好符合这些条件？ 孩子把这些问题逐个回答出来，再回头看“定弦定角”这个模型，就不再只是背下一个名字。他开始知道：原来是条件先指向了这个图形。 这就是拆题的第一层价值：把孩子卡住的地方，从一团说不清的“不会”，变成一个能够看见、能够练习的具体问题。 一道圆的综合题，是怎么被拆开的？ 这次学生版资料里有一道圆周角的综合题，前面先考基本关系，后面逐步走到逆向思考和动点定点。整道题放在一起，对不少孩子来说很有压迫感，但拆开以后，每一问都能找到自己的起点。 第一问给出了同一条弧所对的圆心角和圆周角之间的关系，又告诉我们两个角相加等于135°。很多孩子看到题目和图形，会急着算，却忘了先想：同弧所对的圆心角和圆周角，到底是什么关系？ 只要把这一步想清楚——圆心角是圆周角的两倍——后面的角度计算就有了依据。再往下，题目涉及线段长度，我们继续问：已经得到45°，看到45°可以想到什么图形？如果作一条垂线，能否形成等腰直角三角形？已有的半径和线段长度，分别可以用在哪一步？ 你看，这里没有一上来告诉孩子“这道题就是这样做”。每一个空，都对应一个关键判断。孩子填进去的，不只是数字，还有知识点和条件之间的联系。 后面的拓展题更有意思。题目出现了一个线段关系：CD＝√2·CB－CA。很多孩子看到根号和相减，第一反应是“这是什么式子，我没见过”。但如果我们继续问：“什么图形里容易出现√2倍的边长？”孩子学过等腰直角三角形，便可能想到斜边与直角边的关系。 接下来再问：“能不能借助图形，构造出一条长度为√2·CB的线段？如果这条线段上再减去CA，剩下的会是哪一段？”等孩子把条件变成图上的线段，再去寻找全等和固定点，题目就从一串陌生的符号，变成了可以观察和推理的几何关系。 当然，这一步并不容易。并不是所有孩子看到√2都能立刻想到正确的辅助线。但通过这样的训练，他至少会开始学着问自己：这个式子有什么几何含义？以前在哪类图形里见过类似关系？这比对着完整答案说一句“我懂了”，要扎实得多。 填空不是目的，训练思维才是目的 有家长可能会担心：“方老师，你把步骤都拆好了，孩子跟着填，是不是反而不会独立思考了？” 这个问题问得很好。 如果孩子永远只做带提示的题，当然可能产生依赖。所以，思维链式填空只是训练的起点，后面必须逐渐把提示拿掉。 我通常建议孩子分三遍来做。 第一遍，沿着思维链完成。遇到空格不要急着看答案，先回到题目和图形里找依据。实在卡住了，再看相应提示。这一遍的任务是把每一步为什么成立弄清楚，而不是追求填得快。 第二遍，合上讲义，重新做原题。纸上可以只保留题目和图形，看看自己能不能从头审题，能不能找到第一步，推理写到哪里会断。如果某一步想不起来，就回去看那一小段，再合上继续写。这里特别要找到“第一处断点”：是没有读出条件，还是知道条件却想不到模型，还是想到了却不会写？ 第三遍，做一道相关的变式题。图形可以变一变，条件可以换一换，问题也可以调整。孩子要试着判断：哪些地方还是同一个模型？哪些条件变了，不能照搬原来的做法？能在新题里自己找到入口，才说明前面的拆解开始转化成自己的能力。 这三遍走下来，孩子的变化往往不是“从此所有压轴都会了”，而是面对难题时不那么容易完全停住。他知道先看条件，知道尝试找关系，也知道卡住时可以把问题拆小，而不是一着急就等别人讲答案。 拆一道题，也是在练“审、破、写、思” 在方科，我一直强调数学学习要练四个环节：审、破、写、思。思维链式拆题，恰好可以把这四个环节落到一张题目上。 “审”，不是把题目从头看到尾就结束了，而是要把有用信息找出来。比如“以某线段为直径”“点在圆上运动”“两条线段相等”“角的大小保持不变”，这些条件都值得在题目上圈一圈、在图上标一标。几何题尤其不能只盯着文字，条件落到图上，才容易看见关系。 “破”，是找到进入题目的路径。题目要证明两条线段相等，可以想想是否存在全等三角形；出现固定弦和固定角，可以尝试联系圆；出现长度的倍数关系，也许需要构造，也许需要相似。这里不能见到一个词就机械套模型，而是要让模型和题目的实际条件对得上。 “写”，是把自己的判断变成别人看得懂的过程。很多孩子说“我知道它们相等”，却说不出依据；或者脑子里跳了两三步，写出来只剩一个结论。拆题填空会提醒他把依据补上：这个角为什么相等？这两个三角形满足哪几个条件？前面的结论如何用于下一步？ “思”，则是做完以后回头看。今天这道题的题眼在哪里？我最初卡住，是因为哪个条件没有读懂？如果下次图形转一个方向，我还能认出来吗？能不能用自己的话，把整道题的思路讲给别人听？ 这四个环节，不能只停留在嘴上。题目拆开了，孩子才有机会发现自己究竟在哪一环出了问题。 家长在家里，怎么判断孩子是不是真会了？ 其实家长不需要自己先成为数学老师。尤其初三的圆综合题，不少家长多年没有接触，一时看不懂很正常。你不必急着给孩子讲，可以先让孩子讲给你听。 拿一道他刚做完的题，问他：“你第一步为什么看这个条件？”如果他说不清，再问：“这一条辅助线，帮你得到什么？”如果他能说出“因为同弧所对的圆周角相等，所以这两个角有关系”，哪怕讲得还不够完整，也说明他开始在用自己的语言组织思路。 如果孩子只能照着答案念，合上以后就说不出来，也不要急着批评。请他先讲清一小段：题目给了什么，这一步要解决什么。一次能弄明白一个卡点，比家长从头到尾再讲一遍、更有助于孩子自己学会。 我特别想提醒家长，不要把“做完”当作唯一标准。孩子花了二十分钟做一道题，最后只推进了两步，如果这两步是自己分析出来的，而且知道卡在哪里，这二十分钟并没有白费。相反，有时候孩子看着答案很快把整题抄完，卷面干干净净，却未必真正长出了能力。 当然，也不能让孩子对着一道完全超出当前基础的题干坐太久。提示的作用，就是在孩子走不动的时候给一个台阶；等他站稳，再让他自己走下一步。 数学真正的进步，是孩子开始会问问题 教数学这么多年，我越来越相信：学习难题，关键不在于老师讲得多漂亮，而在于孩子能不能慢慢学会自己提问。 看到一道圆的综合题，他会先问：题目中哪些点固定，哪些点在动？看到一个角，他会问：它和圆心角、圆周角有没有关系？看到两条线段相等，他会问：能不能找到全等或者相似？看到一个求最值的问题，他会问：先确定范围，还是先把目标转化成一条线段？ 当这些问题慢慢出现在孩子脑子里，原来那道“我一看就不会”的难题，就开始有了入口。 这也是我做这份《圆的综合题·学生版》的初衷。希望孩子先沿着思维链走一遍，弄清楚每一步从哪里来；再合上讲义，用自己的语言把推理重新写出来。资料里的五道题，可以不用一天全部完成，先挑一道认真拆、认真想、认真复述，比匆匆看完五道解析更有收获（需要资料的我可以分享）。 如果今天只做一件事，我建议家长让孩子从最近错过的一道圆的题开始：先圈出已知条件，再问“我已经知道什么、下一步想得到什么”。把答案先放到一边，让孩子说出他能想到的第一步。哪怕只走通一小段，也是在为下一次独立解题铺路。 数学能力，就是这样一点一点练出来的。孩子从跟着问题走，到自己提出问题；从看懂别人的思路，到能够写出自己的思路。等他真正走过这条路，答案才不再只是答案，而是他自己推出来的结果。
