文档内容
专题01 a除以a的绝对值
类型一 分类讨论两个字母的取值范围
1．若 ，则 ＝___
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意知 ，可知 互为相反数，去绝对值后计算求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ 互为相反数，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1
【点睛】
本题考查了相反数的应用，绝对值的性质，解题的关键熟练掌握绝对值的性质．
2．若有理数a，b满足ab＞0，则 ＝___．
【答案】−1或3
【解析】
【分析】
根据已知得出a、b同号，分为两种情况：①当a＞0，b＞0时，②当a＜0，b＜0时，去掉绝对值
符号求出即可．
【详解】
解：∵ab＞0，∴a、b同号，①当a＞0，b＞0时，则 ＝1＋1＋1＝3；
②当a＜0，b＜0时，则 ＝−1＋（−1）＋1＝−1；
故答案为：−1或3．
【点睛】
本题考查了绝对值的应用，运用分类讨论，注意：当a≥0时，|a|＝a，当a≤0时，|a|＝−a是解答
此题的关键．
3．如果 ，则化简 =________ ．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义及有理数乘除法运算法则进行分析化简．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ =1-1=0，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查绝对值的化简，有理数的乘除法运算，理解绝对值的意义，掌握有理数乘除法运算法则
是解题关键．
4．已知ab＞0，则 ＝___．
【答案】2或-2
【解析】
【分析】根据ab＞0，可知a、b同号，再分类讨论求解即可．
【详解】
解：∵ab＞0，
∴a、b同号，
当a、b都是正数时， ；
当a、b都是负数时， ；
故答案为：2或-2．
【点睛】
本题考查了有理数的乘除法法则和绝对值化简，解题关键是明确a、b同号，并能够分类讨论求出
代数式的值．
5．若 ，则 __________．
【答案】 或 ##3或-1
【解析】
【分析】
根据依题意分类讨论，分 和 两种情况，进而根据绝对值的意义，化简即可．
【详解】
，
或 ，
当 时， ， ，
，
当 时， ， ，
，
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法法则，同号得证，绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．6．已知 、 为有理数，且 ，则 ________．
【答案】 或0
【解析】
【分析】
分 、 ， 、 ， 、 ， 、 四种情况分别求解可得．
【详解】
解：当 、 时，原式 ；
当 、 时，原式 ；
当 、 时，原式 ；
当 、 时，原式 ；
故答案为： 或0．
【点睛】
本题主要考查绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质及分类讨论思想的运用．
7．若 ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】
讨论a和b的符号，逐一求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ， 或 ， ，
若 ， ，则 ；
若 ， ，则 ；
综上所述， 的值为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键．类型二 分类讨论三个字母的取值范围
8． 的值是______．
【答案】 或 ## 或
【解析】
【分析】
分别讨论 的取值，然后去掉绝对值符号即可求值．
【详解】
①当 ， ， 时，原式 ；
②当 ， ， 时，原式 ；
③当 ， ， 时，原式 ；
④当 ， ， 时，原式 ；
⑤当 ， ， 时，原式 ；
⑥当 ， ， 时，原式 ；
⑦当 ， ， 时，原式 ；
⑧当 ， ， 时，原式 ；
综上所述， 的值是 或 ．
故答案为： 或
【点睛】
本题考查了绝对值，关键掌握分类讨论的思想解题．
9．已知 ，则 的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
由 可得a、b、c中，只能有两个负数，一个正数，即abc＞0，然后代入求解即可．
【详解】
解：∵
∴在a、b、c中，只能有两个负数，一个正数
∴abc＞0，∴ =1．
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了有理数除法，灵活运用有理数的特点成为解答本题的关键．
10．若n＝ ，abc＜0，则n的值为 _____．
【答案】1或﹣3##-3或1
【解析】
【分析】
由题意可知，a，b，c三个数都为负数或是其中一个为负数、另两个为正数，再结合绝对值的性质
即可得解．
【详解】
解：因为：abc＜0，
所以a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，
①当a，b，c都是负数，则 ＝ =-1-1-1=-3；
②当a，b，c中有一个为负数，可假设a＜0，b>0，c＞0，
则 ＝ =-1+1+1=1，
故答案为：1或﹣3．
【点睛】
本题考查绝对值的性质，有理数的乘法法则，以及有理数的加减运算，熟练掌握绝对值的性质是
解题关键．
11．三个有理a、b、c满足abc＜0，（a+b）（b+c）（a+c）＝0，则代数式 的值为
_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件可得a、b、c这三个数其中一个为负数，其余两个为正数数，分为三种情况：①当
时，a与b异号，a与c异号， ， ，②当 时，a与b异号，b与c异号， ，
，③当 时， b与c异号， a与c异号， ， ，由此即可求出答案．【详解】
解：∵（a+b）（b+c）（a+c）＝0，
∴a+b=0或b+c=0或a+c=0
∴a与b异号，或b与c异号，或a与c异号，
∵abc＜0，
符合条件的只有一种情况： a、b、c这三个数其中一个为负数，其余两个为正数，
分为以下三种情况：
①当 时，a与b异号，a与c异号， ， ，
；
②当 时，a与b异号，b与c异号， ， ，
；
③当 时， b与c异号， a与c异号， ， ，
，
综上所述， 的值为 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法，加法，绝对值的意义，解此题的关键是熟练掌握绝对值的代数意义，
当a＞0，|a|＝a；当a＝0，|a|＝0；当a＜0，|a|＝﹣a．
12．若abc≠0，则： ＝___．
【答案】3或-1
【解析】
【分析】
分四种情况进行讨论：①a、b、c均为正数，②a、b、c均为负数，③a、b、c两正一负，④a、
b、c两负一正，分别求值即可．
【详解】
解：当a、b、c均为正数时，=1+1+1=3；
当a、b、c均为负数时，
=1+1+1=3；
当a、b、c两正一负时，
=1-1-1=-1；
当a、b、c两负一正时，
=1-1-1=-1；
综上所述： 的值为3或-1，
故答案为3或-1．
【点睛】
本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键．
13．若三个非零有理数a，b，c满足 ，则 _______．
【答案】﹣1
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质对a、b、c的正负讨论化简绝对值，进而求解即可．
【详解】
解：当a、b、c同正数时，则 ，不符合题意，故舍去，
当a、b、c同负数时，则 ，不符合题意，故舍去，
当a、b、c两正数、一负数时，则 ，符合题意，
∴abc＜0，
∴ ，当a、b、c两负数、一正数时，则 ，故舍去，
综上， ﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查绝对值、有理数的加减混合运算，熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论解决问题是解
答的关键．
14．已知 ， ，则 的值等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据多个数相乘的计算法则以及多个数相加的计算法则分析判断出a、b、c有两正一负或一正两
负，然后分情况讨论求解．
【详解】
解：∵abc≠0，且a+b+c=0，
则a、b、c有两正一负或一正两负，
当一正两负时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，
原式=1+（-1）+（-1）=-1；
当两正一负时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0，
原式=1+1+（-1）=1，
综上所述，原式的值为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了绝对值的化简，掌握多个数相乘或相加时符号的确定方法，理解绝对值的意义，利用
分类讨论思想解题是关键．
15．已知a，b，c为三个不等于0的数，且满足abc＞0，a+b+c＜0，则 的值为
_________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据abc＞0，a+b+c＜0，可以确定 中有2个负数进而根据绝对值的意义求解即可．
【详解】
abc＞0，a+b+c＜0，则 中有2个负数，
设
则
故答案为：
【点睛】
本题考查了有理数的乘法及除法运算，有理数的加法运算，化简绝对值，根据题意分析得出
中有2个负数是解题的关键．
16．已知 ， ， 都是有理数，且满足 ，那么 _______．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据 可以看出，a，b，c中必有两正一负，从而确定 bc＜0，进而可出求
的值．
【详解】
解：根据绝对值的意义：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1或-1． 或-1
又 ，则其中必有两个1和一个-1，即 ， ， 中两正一负．
∴ bc＜0
则 ，
则 ．
故答案为：7．
【点睛】
此题考查有理数加减法，绝对值，整式的除法，解题关键在于得出a，b，c中必有两正一负．17．已知 ，则 的值是_____
【答案】1或-3
【解析】
【分析】
由 ，可知a、b、c的符号有两种可能的情况：①a、b、c全是负数；②a、b、c两正一负．
由此分类探讨求得答案即可．
【详解】
解： ，
①a、b、c全是负数，
则 ＝－1－1－1＝－3；
②a、b、c两正一负，
一定两个1与一个－1的和，
计算结果是1＋1－1＝1．
故答案为：1或－3．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义和化简，注意分类探讨得出答案．
18．已知 都个等于零，且 的最大值是m，最小值为n，则 ______．
【答案】-1
【解析】
【分析】
由a，b，c分别以三正，三负，一正二负，二正一负，分别讨论．
【详解】
解：当 ， ， 三个都大于0，可得 ，
当 ， ， ，都小于0，可得 ，当 ， ， 一正二负，可得 ，
当 ， ， 二正一负，可得 ，
， ，
原式=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
此题考查有理数的除法，绝对值的意义，以及代数式求值等知识．
19．若 （ 均不为0），则 的值是__________．
【答案】1，-1或-3
【解析】
【分析】
根据a+b+c=0以及所求式子，得到a，b，c中两正一负或一正两负，利用绝对值的代数意义化简，
计算即可得到结果．
【详解】
解：∵a+b+c=0，
∴a，b，c中两正一负或一正两负，
假设a＞0，b＞0，c＜0，原式=1+1-1=1，
假设a＞0，b＜0，c＞0，原式=1-1-1=-1，
假设a＜0，b＞0，c＞0，原式=-1-1-1=-3，
假设a＜0，b＜0，c＞0，原式=-1+1+1=1，
假设a＜0，b＞0，c＜0，原式=-1-1+1=-1，
假设a＞0，b＜0，c＜0，原式=1-1+1=1，
故答案为：1，-1或-3．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．设a，b，c为不为零的实数，且 ，那么 ，则x的值为________．
【答案】3或-1
【解析】
【分析】
根据正数的绝对值是正数，负数的绝对值等于他的相反数，可化简掉绝对值的负号，再根据有理数的除法，可得答案．
【详解】
解：∵abc＞0，
∴a＞0，b＞0，c＞0或a、b、c中有两个负数；
当a＞0，b＞0，c＞0时，x=1+1+1=3；
当a、b、c中有两个负数时，x=1-1-1=-1；
故答案为：3或-1．
【点睛】
本题考查了实数的除法运算，解题的关键是掌握分类讨论．
21．若abc＞0，a+b+c=0，则 =____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
根据条件判断a、b、c与0的大小关系，然后根据绝对值的性质即可求出答案．
【详解】
解：∵abc＞0，a+b+c=0，
∴a、b、c中必有两个是负数，一个是正数，
不妨设 ， ， ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴
=
=
=
= ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，解题的关键是正确判断a、b、c与0的大小关系，本题属于基础题型．
类型三 综合解答
22．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”.
【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc>0，求 的值.
【解决问题】由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.
①当a，b，c都是正数，即a>0，b>0，c>0时，
则： = =1+1+1=3；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0，b<0，c<0，
即： = =1+(−1)+(−1)=−1，所以 的值为3或−1.
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a<0，b>0，c>0，则 ， ， ；
（2）三个有理数a，b，c满足abc<0，求 的值；
（3）已知|a|=3，|b|=1，且a0，c>0，
∴ ， ，
则 -1， 1， 1；
故填：-1；1；1；
（2）∵abc＜0，
∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
∴①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则 = =-1-1-1=-3；
②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
则 = ＝−1＋1＋1＝1．
（3）∵|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，
∴a＝−3，b＝1或−1，
则a＋b＝−2或−4．
【点睛】
本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值，有理数的除法，解题的关键是讨论a与ab的取值情
况．
23．在解决数学问题的过程中，我们常用到"分类讨论"的数学思想，下面是运用"分类讨论"的数学
思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】已知有理数a，b，c满足abc＞0，求 的值．
【解决问题】解∶由题意，得 a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都为正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， ＝ ＝1＋1＋1＝3
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则 ＝
＝1＋（－1）＋（－1）＝－1
综上所述， 的值为3或－1
【探究拓展】
请根据上面的解题思路解答下面的问题；
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝－ab时， ＝
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求 ＋ ＝
（3）已知a，b，c是有理数，a＋b＋c＝0，abc＜0，求 ＝
【答案】（1）0；（2） 或1；（3） ．
【解析】
【分析】（1）分 和 两种情况，先化简绝对值，再计算有理数的除法与加减法即可得；
（2）分 都是负数和 中一个为负数，另两个为正数两种情况，先化简绝对值，再计算有
理数的除法与加减法即可得；
（3）先化简已知等式可得 ， ， ，再根据 得出 中只有一
个为负数，另两个为正数，然后化简绝对值，计算有理数的除法与加减法即可得．
【详解】
解：（1）由题意，分以下两种情况：
①当 时， ，
②当 时， ，
综上， ，
故答案为：0；
（2）由题意得： 都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当 都是负数，即 时，
则 ；
②当 中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设 ，
则 ；
综上， 的值为 或1，
故答案为： 或1；
（3）因为 ， ，
所以 均不为0，所以 ， ， ，
所以 中只有一个负数，另两个为正数，
不妨设 ， ， ，
所以 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了化简绝对值、有理数的加减法与除法，读懂题意，掌握分类讨论思想和有理数的运算
法则是解题关键．
