文档内容
专题03 绝对值的几何意义
类型一 求两个绝对值和的最小值
1．数学实验室：
我们知道，在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上
的两个点A、B，分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离AB=|a－b|.利用此结论，回答
以下问题：
（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和－5的两点之间的距离是
______.（1+1分，注意写出最后结果）
（2）式子|x+2|可以看做数轴上表示x和______的两点之间的距离.
（3）式子|x+2|＋|x－3|的最小值是______.
（4）当|x+2|＋|x－3|取得最小值时，数x的取值范围是______.
【答案】（1）4，
（2）6；
（3）-2；
（4）5．
（5）-2 x 3.
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义进行填空即可．
【详解】
解：（1）数轴上表示1和5的两点的距离是 =4，数轴上表示1和-5的两点之间的距离是
6；
故答案为 4，6；
（2）∵|x+2|= ，
∴式子|x+2|可以看做数轴上表示x和-2的两点之间的距离;
故答案为-2；（3）当x在数轴上表示-2和3之间时，
此时|x+2|＋|x－3|的最小值为5;
故答案为5．
(4) 当x在数轴上表示-2和3之间时，
此时|x+2|＋|x－3|的最小值为5;
即当|x+2|＋|x－3|取得最小值时，数x的取值范围是-2 x 3.
故答案为-2 x 3.
2．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几 何意义，进一步地，数轴
上两个点A、B，分别用a 和b 表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|利用此结论，回答
以下问题：
(1)数轴上表示3 和7 的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣3 和﹣7 的两 点之间的距离
是 ，数轴上表示2 和﹣3 的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和﹣5 的两点A、B之间的距离是 ，如果|AB|＝3，那 么x的值为
；
(3)当代数式|x﹣1|+|x﹣3|取最小值时，相应的x的取值范围是多少？最小值是多少？
(4)已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且|a+4|+(b﹣1)2＝0，设点P在数
轴上对应的数是x，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x的值．
【答案】(1)4；4；5；(2) ；-8或-2；(3)x的范围是 ；最小值是4；(4)x的值为 .
【解析】
【分析】
（1）（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意
两点间的距离．
（3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到1和3距离的和，
当x在1和3之间时有最小值．
（4）应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题．
【详解】
（1）数轴上表示3和7的两点之间的距离是|7﹣3|=4，数轴上表示﹣3和﹣7的两点之间的距离
是|﹣7﹣（﹣3）|=4．数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|=5．
（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣5）|=|x+5|，如果|AB|=3，那么x为
﹣8或﹣2．
（3）代数式|x﹣1|+|x+3|表示在数轴上到1和﹣3两点的距离的和，当x在﹣3和1之间时，代数式取得最小值，最小值是﹣3和1之间的距离4．
故当﹣3≤x≤1时，代数式取得最小值，最小值是4．
（4）①当P在点A左侧时，|PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣5≠2．
②当P在点B右侧时，|PA|﹣|PB|=|AB|=5≠2，∴上述两种情况的点P不存在．
③当P在A、B之间时，|PA|=|x﹣（﹣4）|=x+4，|PB|=|x﹣1|=1﹣x．
∵|PA|﹣|PB|=2，∴x+4﹣（1﹣x）=2，∴x ，即x的值为 ．
故答案为（1）4；4；5．
（2）|x+5|；﹣8或﹣2．
（3）x的范围是﹣3≤x≤1；最小值是4．
（4）x的值为- .
【点睛】
本题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给
出的距离的定义，本题属于基础题型．
3．“数形结合”是重要的数学思想．如： 表示3与 差的绝对值，实际上也可以理解为
3与 在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B，所对应的数分别用
a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为 ．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示 和5两点之间的距离是__________．
（2）若 ，则 ______．
（3）若x表示一个有理数， 的最小值为_________．
（4）已知数轴上两点A、B对应的数分别为 ，8，现在点A、点B分别以3个单位长度/秒和2
单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为2个单位长度时，求点A所对应的
数是多少？【答案】（1）7；（2） 或 ；（3） ；（4） 或
【解析】
【分析】
（1）利用数轴上两点之间的距离公式： ，代入计算即可得到答案；
（2）由 可得 或 再解方程即可得到答案；
（3）先画好数轴，如图， 表示 表示 当 对应的点 在线段 上时，则此时
而且利用两点之间线段最短，可得此时可得最小值；
（4）如图， 向右移动后对应的数为： 向右移动后对应的数为： 再利用两点之
间的距离公式表示 再利用 建立绝对值方程，解方程可得答案.
【详解】
解：（1）数轴上表示 和5两点之间的距离是：
故答案为：7
（2）
或
解得： 或
故答案为： 或
（3）如图， 表示 表示 当 对应的点 在线段 上时，则
此时： 的值最小，为
故答案为：
（4）如图， 向右移动后对应的数为： 向右移动后对应的数为：
而移动后：
或
解得： 或
当 时， 向右移动后对应的数为：
当 时， 向右移动后对应的数为：
【点睛】
本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，建立绝对值方程，一元一次方程的解法，
掌握数形结合的方法解题是解本题的关键.
4．认真阅读下面的材料，完成问题．
在学习绝对值时，我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如|5|意义为表示5的
点到原点的距离，实际上可理解为，|5|=|5－0|，即5到0点的距离．又如|5－3|表示5、3在数
轴上对应的两点之间的距离；|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离，容易知
道|5－（－3）|=|5+3|=8．即5与－3相距8个单位长度．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．
（1）利用上面的知识回答：点A、B在数轴上分别表示有理数－5、1，那么A到B的距离可表示
为 ，这个距离的计算结果是 ；
（2）利用上面的知识回答：若|x－1|=2，则x= ；
（3）利用上面的知识回答：|x－2|+|x+1|的最小值是 ．
【答案】（1）|1-（-5）|，6；（2）-1或3；（3）3．
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上两点距离公式表示和计算即可；
（2）根据点到1的距离等于2，即可找出x=-1或3即可；
（3）根据条件化去绝对值当x≥2时，|x－2|+|x+1|= 2x-1≥3，-1≤x＜2时，|x－2|+|x+1|=3，当x
＜-1时，|x－2|+|x+1|=1-2x＞3即可．
【详解】
解：（1）|1-（-5）|=|1+5|=6；
故答案为：|1-（-5）|，6；
（2）∵| 3－1|=2，
∴x=3，
∵|-1-1|=2，
∴x=－1，
∴|x－1|=2，x=-1或3，
故答案为-1或3；
（3）当x≥2时，|x－2|+|x+1|=x-2+x+1=2x-1≥3，
-1≤x＜2时，|x－2|+|x+1|=2-x+x+1=3，
当x＜-1时，|x－2|+|x+1|=2-x-x-1=1-2x＞3，
|x－2|+|x+1|的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查数轴上两个点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值的方法，整式的加减法，同类项，
掌握数轴上两个点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值的方法，整式的加减法，同类项是解
题关键．
5．我们知道， 可以理解为 ，它表示：数轴上表示数 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点 ，分别用数 表示，那么 两点之间的距离为
，反过来，式子 的几何意义是：数轴上表示数 的点和表示数 的点之间的距
离．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数 的点和表示
数 的点之间的距离是__________．
（2）数轴上点 用数 表示，若 ，那么 的值为_________．
（3）数轴上点 用数 表示：
①若 ，那么 的值是________．
②当 时，数 的取值范围是________，这样的整数 有________个．
③ 有最小值，最小值是___________．
【答案】（1）5；2；（2）5或 ；（3）① 或8；② ，6；③2020．
【解析】
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式进一步计算即可；
（2）根据绝对值的定义求解即可；
（3）①利用绝对值的定义可知 或 ，然后进一步计算即可；② 的意义
是表示数轴上到表示 和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此进一步求解即可；③
是表示数轴上表示3与表示 的点的距离之和，然后进一步求解即可.
【详解】
（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是： ；
数轴上表示数 的点和表示数 的点之间的距离是： ，
故答案为：5，2；
（2）若 ，则 或 ，
故答案为：5或 ；（3）①若 ，则 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或8；
②∵ 的意义是表示数轴上到表示 和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，
∴ ，其中整数有 、 、0、1、2、3共6个，
故答案为： ，6；
③∵ 是表示数轴上表示3与表示 的点的距离之和，
∴当 时， 有最小值，
此时最小值为： ，
故答案为：2020.
【点睛】
本题主要考查了绝对值意义的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
类型二 求多个绝对值和的最小值
6．我们知道， 表示数 对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两
个点 、 分别表示数 、 ，那么 ．利用此结论，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示 和 的两点之间的距离是
_____，数轴上表示1和 的两点之间的距离是____；
（2）数轴上表示 和-1的两点 、 之间的距离是____，如果 =2，那么 的值为_____；
（3）写出 表示的几何意义：_____，该式的最小值为______；
（4） 的最小值_____．
【答案】（1）3，3，4；（2） ，1或-3；（3）点x到 的距离与点x到 的距离之和，2；
（4）2
【解析】
【分析】
（1）结合题意，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案；
（2）根据数轴、绝对值的性质计算，即可得到答案；（3）根据数轴、绝对值的性质，对x的取值分类计算，即可完成求解；
（4）结合（3）的结论，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是： ；
数轴上表示 和 的两点之间的距离是： ；
数轴上表示1和 的两点之间的距离是： ；
故答案是：3，3，4；
（2）数轴上表示 和-1的两点 、 之间的距离是： ；
∵ =2
∴
∴ 或
故答案为： ，1或-3
（3） 表示的几何意义：点x到 的距离与点x到 的距离之和；
当 时，
当 时，
当 时，
∴ 的最小值为：2
故答案为：点x到 的距离与点x到 的距离之和，2；
（4）结合（3）的结论，当 时， 的最小值为：2
∴
当 时， 取最小值，即
∴∴ 的最小值为：2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了数轴、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值的性质，从而完成求解．
7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点
之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道 ，它的几何意义是数轴上表示4
的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子 ，它的几何意义是数轴上表示数7的点
与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为
b，则A，B两点间的距离就可记作 ．
回答下列问题：
(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数 的点之间的距离的式子是________；式子 的几何
意义是_______________________；
(2)根据绝对值的几何意义，当 时， ________；
(3)探究： 的最小值为_________，此时m满足的条件是________；
(4) 的最小值为________，此时m满足的条件是__________．
【答案】(1) 或 ；数轴上表示数a的点与数2的点之间的距离．
(2) 或5
(3)10，
(4)17，
【解析】
【分析】
（1）根据距离公式及定义表示即可；
（2）分点在2表示的数的点的左边和右边两种情形求解；
（3）利用数形结合思想，画数轴求解即可；
（4）利用数形结合思想，画数轴求解即可．(1)
解：①在数轴上的意义是表示数 的点与表示数 的点之间的距离的式子是 ，
故答案为： ；
②∵ =|a-(-5)|，
∴ 在数轴上的意义是表示数a的点与表示数-5的点之间的距离．
故答案为：表示数a的点与表示数-5的点之间的距离．
(2)
解：∵ 表示数m到2的距离，画数轴如下：
当数在2的右边时，右数3个单个单位长，得到对应数是5，符合题意；
当数在2的左边时，左数3个单个单位长，得到对应数是-1，符合题意；
故答案为：-1或5；
(3)
解：∵ 表示数m与-1，9的距离之和，画数轴如下：
根据两点之间线段最短，-1表示点与9表示点的最短距离为9-（-1）=10，
此时动点m在-1表示点与9表示点构成的线段上，
∴ ；
故答案为：10、 ；
(4)
解：根据题意，画图如下，
根据两点之间线段最短，-1表示点与16表示点的最短距离为16-（-1）=17，
此时动点m在-1表示点与16表示点构成的线段上，且到9表示的点的距离为0，∴ ；
故答案为：17、 ．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段最短原理，数轴的意义，解题的关键是利用数形
结合思想，分类思想，结合数轴，运用数学思想解题．
8．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上
两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答
以下问题：
（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是 ．
（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是 ．
（4）结合数轴求 的最小值为 ，此时符合条件的整数x为
．
（5）结合数轴求 的最小值为 ，此时符合条件的整数x为
．
（6）结合数轴求 的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】（1）15；（2）|x+1|；（3）4；（4）7；0,1；（5）16；1；（6）-2；2．
【解析】
【分析】
（1）利用两点距离公式-5-（-20）计算即可；
（2）利用两点距离公式|x-(-1)|计算即可；
（3）分当x≤-1当-1＜x≤2，当2＜x≤3，当x≥3区间化去绝对值，合并同类项即可；
（4）分当x≤-2，当-2≤x≤0， 当0≤x≤1， 当1≤x≤4， 当x≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确
定区间的代数式最小值即可；
（5）分当x≤-2，当-2≤x≤0， 当0≤x≤1， 当1≤x≤4， 当x≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确
定区间的代数式最小值即可；
（6）分区间化去绝对值当x≤1， ，当1≤x≤3， ，当
x≥3， 即可．【详解】
解：（1）-5-（-20）=-5+20=15，
故答案为15；
（2）|x-(-1)|=|x+1|，
故答案为：|x+1|；
（3）当x≤-1，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=- x-1 –x+2- x+3=-3x+4≥7，
当-1＜x≤2，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|= x+1–x+2- x+3=- x+6≥4，
当2＜x≤3，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|= x+1+x-2- x+3= x+2＞4，
当x＞3，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|= x+1+x-2+ x-3=3 x-4＞5，
式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是4，
故答案为4；
（4）当x≤-2， ，
当-2≤x≤0，
当0≤x≤1，
当1≤x≤4，
当x≥4，|
∴ 的最小值为7，符合条件的整数x为0，1，
故答案为：7；0,1；
（5）当x≤-2， ，
当-2≤x≤0，
当0≤x≤1，
当1≤x≤4，
当x≥4，|
∴ 的最小值为16，符合条件的整数x为1，故答案为16；1；
（6）当x≤1， ，
当1≤x≤3， ，
当x≥3， ，
的最小值为-2，最大值为2．
故答案为-2；2．
【点睛】
本题考查数轴上两点距离，绝对值化简，最值，掌握数轴上两点距离，分区间绝对值化简方法是
解题关键．
9．阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数 、 ，A、B两点间的距离表示为
AB，则 ．所以 的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间的距离．根据上
述材料，解答下列问题：
（1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝ ．
（2）若 ，则 的值是 ．
（3）如果数轴上表示数 的点位于－4和2之间，求 的值；
（4）点 取何值时， 取最小值，最小值是多少？请说明理由；
（5）直接回答：当式子 取最小值时，相应 的取值范围是多少？最小值是
多少？
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） ；（4）当 时，最小值为 ；（5）当 时，
最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据题目中的方法确定出 的长即可；
（2）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出 的值；
（3）根据数轴上两点间的距离的求法，化简 即可；（4）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案；
（5）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案．
【详解】
解：（1） ，
则 ；
（2）∵ ，
∴ ，
故 或 ，
故答案为： 或 ；
（3）∵数轴上表示数 的点位于－4和2之间，
∴ ；
（4）∵ ，代表点 到 和到 之间的距离之和，
当 时，
取得最小值，最小值为 ；
（5）当 时，
有最小值，
最小值为=
=
=
=20．
【点睛】
本题考查了绝对值，数轴两点间的距离，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端
点的距离的和最小．
10．我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何义．进一步地，数轴上两个点A、
B，分别用a，b表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5 的两点之间的距离是______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是
_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示x和－1的两点A、B之间的距离是_______，如果|AB|=2，那么x的值为_______；（3）当x取何值时，式子|x－1|+|x－2|+|x－3|+ |x－4|+|x－5|的值最小，并求出这个最小值．
【答案】（1）3，3，4；（2）|x+1|，1或-3；（3）x=3，最小值为6
【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离的求法列式计算即可得解；
（2）根据绝对值的几何意义列式计算即可得解；
（3）根据数轴上两点间的距离公式得到式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的意义，从而分析出x=3
时，式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值最小．
【详解】
解：（1）表示2和5 的两点之间的距离是|2-5|=3，
表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-（-5）|=3，
表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4；
（2）表示x和-1的两点A、B之间的距离是|x+1|，
∵|AB|=2，
∴|x+1|=2，
∴x+1=2或x+1=-2，
解得x=1或-3；
（3）式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示x到数轴上1，2，3，4，5五个数的距离之和，
∴当x与3重合时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|有最小值，最小值为6，此时x=3．
【点睛】
本题主要考查了数轴以及数轴上两点间的距离公式的综合应用，解决问题的关键是掌握：在数轴
上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．解题时注意：数轴上任意两点分别表
示的数是a、b，则这两点间的距离可表示为|a-b|．
11．我们知道， 表示数 对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数
轴上两个点 分别表示数 ，那么 两点之间的距离为 ．利用此结论，回答下列问题：
（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示 和－1的两点之间的距离为2，那么 的值为 ；
（3）直接写出 的最小值为 ；
（4）直接写出 的最小值为 ；（5）简要求出 的最小值．
【答案】（1）6；（2）-3或1；（3）6；（4）6；（5）2450
【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离公式求解可得；
（2）根据绝对值的定义可得；
（3）得出 的几何意义，从而得到最小值；
（4）得出 的几何意义，从而得到最小值；
（5）根据绝对值的几何意义可知：当x=50时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列
式计算即可得解．
【详解】
解：（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是 ，
故答案为：6；
（2）由题意可得：
，
则x的值为：-3或1；
（3）∵ 表示数轴上表示点x到-2和4两点的距离和，
∴当x在-2到4之间时， 有最小值，最小值为6；
（4） 表示数轴上表示点x到-2和1和4三点的距离和，
∴当x与1重合时， 的值最小，最小值为6；
（5） 的中间一项是|x-50|，
当x=50时， 有最小值，
∴=
=49+48+47+…+1+0+1+2+…+49
=2×（1+2+…+49）
=2450．
【点睛】
本题主要考查的是绝对值的意义的应用，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的
关键．
类型三 利用绝对值的几何意义解方程
12．阅读理解；我们知道」x丨的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即丨x丨=丨
x-0丨，也就是说丨x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：丨x-y
丨表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x| = 2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为
x=±2．
②在方程丨x-1丨=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x= 3
或x = -1．
知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解
（1）方程|x|= 5的解
（2）方程| x-2|= 3的解
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）由阅读材料中的方法求出x的值即可；
（2）由阅读材料中的方法求出x的值即可；
【详解】
（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为
∴方程 的解是
（2）∵在方程 中，数轴上到2的距离为3的点对应的数．
∴方程 的解是 或 ．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的
关键．
13．阅读下列材料：我们知道 表示的是在数轴上数 对应的点与原点的距离，即 ，也
就是说， 对表示在数轴上数 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为 表示在数
轴上数 ， 对应点之间的距离．
例1解方程 ．
解：∵ ，
∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为 ，即该方程的解为 ．
例2解不等式 ．
解：如图，首先在数轴上找出 的解，即到1的距离为2的点对应的数为 ，3，则
的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为 或 ．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程 的解为______；
（2）解不等式 ；
（3）若 ，则 的取值范围是_______；
（4）若 ，则 的取值范围是_______．
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】
【分析】（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可；
（2）将原式化解为 ，首先在数轴上找出 的解，即 或 ，则 的
解集为到-2的距离小于4的点对应的所有数，写出解集即可；
（3）表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，据此可得出答案；
（4） 表示数x到1的距离， 表示数x到-2的距离， 表示数到1的距离
减去数x到-2的距离，然后分三者情况讨论y的取值即可．
【详解】
解：（1） ，
，
解得： ，
故答案为： ；
（2）
，
首先找 的解，
即到-2距离为4的点对应的数为-6和2，
表示到-2的距离小于4的点对应的所有数，
不等式解集为 ；
（3） ，
表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，
；
故答案为： ；
（4） ，
表示数x到1的距离，
表示数x到-2的距离，
表示数x到1的距离减去数x到-2的距离，
当x在点1右边时， ，
当x在点-2左边时， ，
当x在-2到1之间时， ，
；
故答案为： ．
【点睛】
本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是
关键．
14．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|
表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对
应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．
②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．
③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，
在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是
x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x|=5的解是_______________．
（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．
（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．
【答案】（1）x=5或-5 ；（2）x=5或-1；（3）x=5或-4.
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）由于|x|=5表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，所以x=±5；
（2）由于|x-2|=3中，x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数，显然x=5或-1；
（3）方程|x-3|+|x+2|=9表示数轴上与3和-2的距离之和为9的点对应的x值，在数轴上3和-2的
距离为5，满足方程的x的对应点在3的右边或-2的左边，画图即可解答．
试题解析：（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5，
∴方程|x|=5的解为x=±5；
（2）∵在方程|x-2|=3中，x的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数，
∴方程|x-2|=3的解是x=5或-1；
（3）∵在数轴上3和-2的距离为5，5＜9，
∴满足方程|x-3|+|x+2|=9的x的对应点在3的右边或-2的左边．
若x的对应点在3的右边，由图示可知，x=5；
若x的对应点在-2的左边，由图示可知，x=-4，
所以原方程的解是x=5或x=-4．
点睛：本题考查了绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论及数形结合的思想，同时考查了
学生的阅读理解能力．
15．阅读材料：我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离，即 ，也就是说 表示在
数轴上数 与数 对应的点之间的距离，这个结论可以推广为 表示数轴上 与 对应点之
间的距离．
例1：已知 ，求 的值．
解：容易看出，在数轴上与原点距离为 的点的对应数为 和 ，即 的值为 和 ．
例2：已知 ，求 的值．
解：在数轴上与 的距离为 的点的对应数为 和 ，即 的值为 和 ．
仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值．
（1）
（2）
（3）由以上探索猜想：对于任何有理数 是否有最小值？如果有，写出最小值；如
果没有，请说明理由．
【答案】（1）-3和3；（2）-6和2；（3）有最小值，最小值为3
【解析】
【分析】
（1）由阅读材料中的方法求出 的值即可；
（2）由阅读材料中的方法求出 的值即可；
（3）根据题意得出原式最小时 的范围，并求出最小值即可．
【详解】
（1） ，在数轴上与原点距离为3的点的对应数为-3和3，即 的值为-3和3；
（2） ，在数轴上与-2距离为4的点的对应数为-6和2，即 的值为-6和2；
（3）有最小值，最小值为3，
理由是：
∵ 理解为：在数轴上表示 到3和6的距离之和，
∴当 在3与6之间的线段上（即 ）时：即 的值有最小值，最小值为 ．
【点睛】
本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的
关键．
类型四 利用绝对值的几何意义解不等式
16．解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离
之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－
2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝
－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x＋3|＝4的解为________．
(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；
(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，求a的取值范围．
【答案】(1) 1和－7；(2) x≥4或x≤－5(3) a≤7
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点的距离的问题，即可求解；
(2)不等式|x－3|＋|x＋4|≥9表示到3与－4两点距离的和，大于或等于9个单位长度的点所表示的
数；
(3)|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，即求到3与－4两点距离的和最小的数值．
【详解】
(1)方程|x＋3|＝4的解就是在数轴上到－3这一点，距离是4个单位长度的点所表示的数，是1和
－7.故解是1和－7；
(2)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与3和－4的距离之和为大于或等于9的点对应
的x的值．在数轴上，３和－４的距离为７，满足方程的x对应点在３的右边或－４的左边，若x
对应点在３的右边，由图可以看出x≥４；同理，若x对应点在－４的左边，可得x≤－５，即可求
得x≥4或x≤－5．
(3)|x－3|＋|x＋4|即表示x的点到数轴上与3和－4的距离之和，
当表示对应x的点在数轴上3与－4之间时，距离的和最小，是7．故a≤7．
【点睛】
此题主要考察不等式的应用，熟知不等式与数轴的关系是解题的关键.
17．阅读下列材料：
我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离，即 = ，也就是说， 表示
在数轴上数 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为 表示在数轴上数 与数
对应的点之间的距离；
例1解方程| |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为 ，所以方程| |=2的解为
．
例2解不等式| －1|＞2．在数轴上找出| －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的
距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程| －1|=2的解为 =－1或 =3，因此不等式| －
1|＞2的解集为 ＜－1或 ＞3．
例3解方程| －1|+| +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的
点的距离之和等于5的点对应的 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满
足方程的 对应的点在1的右边或－2的左边．若 对应的点在1的右边，可得 =2；若 对应的
点在－2的左边，可得 =－3，因此方程| －1|+| +2|=5的解是 =2或 =－3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程| +2|=3的解为 ；
（2）解不等式：| －2|＜6；
（3）解不等式：| －3|+| +4|≥9；
（4）解方程: | -2|+| +2|+| -5|=15.
【答案】（1） 或x=－5；（2）－4＜x＜8；（3）x≥ 或x≤－5；（4） 或 .
【解析】
【分析】
（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3；（2）在数轴上找出| －2|=6的解；即在数轴上到2对应的点
的距离等于6的点对应的数；（3）在数轴上找出| －3|+| +4|=9的解．再根据数轴上的位置分析出不等式的解集;（4）由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距
离之和等于9的点对应的x的值．
【详解】
（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3
解得 或x=－5．
（2）在数轴上找出| －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或
8，
∴方程| －2|=6的解为x=－4或x=8，∴不等式| －2|＜6的解集为－4＜x＜8．
（3）在数轴上找出| －3|+| +4|=9的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应
的x的值．
∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或－4的左边．
若 对应的点在3的右边，可得x=4；若 对应的点在－4的左边，可得x=－5，
∴方程| －3|+| +4|=9的解是x= 或x=－5，
∴不等式| －3|+| +4|≥9的解集为x≥ 或x≤－5．
（4）在数轴上找出| -2|+| +2|+| -5|=15的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对
应的x的值．
∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．
若 对应的点在5的右边，可得 ；若 对应的点在－2的左边，可得 ，
∴方程| -2|+| +2|+| -5|=15的解是 或 .
【点睛】
考核知识点：绝对值的几何意义的运用.根据材料，理解绝对值的几何意义是解题关键.
18．阅读下列材料：
我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离，即 = ，也就是说， 表示
在数轴上数 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为 表示在数轴上数 与数
对应的点之间的距离；
例1．解方程| |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为 ，所以方程| |=2的解为
．例2．解不等式| －1|＞2．在数轴上找出| －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点
的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程| －1|=2的解为 =－1或 =3，因此不等式|
－1|＞2的解集为 ＜－1或 ＞3．
例3．解方程| －1|+| +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应
的点的距离之和等于5的点对应的 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），
满足方程的 对应的点在1的右边或－2的左边．若 对应的点在1的右边，可得 =2；若 对应
的点在－2的左边，可得 =－3，因此方程| －1|+| +2|=5的解是 =2或 =－3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程| +3|=4的解为 ；
（2）解不等式：| －3|≥5；
（3）解不等式：| －3|+| +4|≥9
【答案】（1）x=1或x=-7（2）x≤－2或x≥8（3）x≥4或x≤－5
【解析】
【详解】
分析：（1）利用在数轴上到-3对应的点的距离等于4的点对应的数为1或-7求解即可；
（2）先求出|x-3|=5的解，再求|x-3|≥5的解集即可；
（3）先在数轴上找出|x-3|+|x+4|=9的解，即可得出不等式|x-3|+|x+4|≥9的解集．
详解：（1）∵在数轴上到-3对应的点的距离等于4的点对应的数为1或-7，
∴方程|x+3|=4的解为x=1或x=-7．
（2）在数轴上找出|x-3|=5的解．
∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为-2或8，
∴方程|x-3|=5的解为x=-2或x=8，
∴不等式|x-3|≥5的解集为x≤-2或x≥8．
（3）在数轴上找出|x-3|+|x+4|=9的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和-4对应的点的距离之和等于9的点对应的x
的值．
∵在数轴上3和-4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或-4的左边．
若x对应的点在3的右边，可得x=4；若x对应的点在-4的左边，可得x=-5，
∴方程|x-3|+|x+4|=9的解是x=4或x=-5，
∴不等式|x-3|+|x+4|≥9的解集为x≥4或x≤-5．
点睛：本题主要考查了绝对值及不等式的知识，解题的关键是理解|x1-x2|表示在数轴上数x1与数
x2对应的点之间的距离．
19．阅读下列材料：我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离，即
，也就是说， 表示在数轴上数 与数 对应的点之间的距离；
例1.解方程 ，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为 ，所以方程 的解为
.
例2.解不等式 ，在数轴上找出 的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距
离等于2的点对应的数为 或3，所以方程 的解为 或 ，因此不等式
的解集为 或 ．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程 的解为________；
（2）解不等式： ；
（3）解不等式： ．
【答案】（1） 或 ；（2） 或 ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）利用在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点对应的数为2或-8求解即可；
（2）先求出|x-4|=1的解，再求 的解集即可；
（3）先求出|x-2|=3的解，再求|x-2|≤3的解集即可；【详解】
解：（1）∵在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点对应的数为-8或2，
∴方程|x+3|=5的解为x=2或x=-8，
故答案为：x=2或x=-8；
（2）在数轴上找出 的解．
∵在数轴上到4对应的点的距离等于1的点对应的数为3或5，
∴方程 的解为 或 ，
∴不等式 的解集为 或 ；
（3）在数轴上找出 的解．
∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为 或5，
∴方程 的解为 或 ，
∴不等式 的解集为 ．
【点睛】
本题主要考查了绝对值及不等式的知识，解题的关键是理解|x1-x2|表示在数轴上数x1与数x2对应
的点之间的距离．
20．阅读下列材料：
我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离，即 ，也就是说，
表示在数轴上数 与数 对应的点之间的距离；
例 1．解方程 ，因为在数轴上到原点的距离为 的点对应的数为 ，所以方程 的解
为 ．
例 2．解不等式 ，在数轴上找出 的解（如图），因为在数轴上到 对应的点的距
离等于 的点对应的数为 或 ，所以方程 的解为 或 ，因此不等式
的解集为 或 ．
参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程 的解为 ；
（2）解不等式： ；
（3）解不等式： ．
【答案】（1）x=2或x=-8；（2）-1≤x≤5；（3）x＞5或x＜-3.
【解析】
【分析】
（1）利用在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点的对应的数为2或-8求解即可；
（2）先求出 的解，再求出 的解集即可；
（3）先在数轴上找出 的解，即可得出 的解集.
【详解】
解：（1）∵在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点的对应的数为2或-8
∴方程 的解为x=2或x=-8
（2）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点的对应的数为-1或5
∴方程 的解为x=-1或x=5
∴ 的解集为-1≤x≤5.
（3）由绝对值的几何意义可知，方程 就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之
和等于8的点对应的x的值.
∵在数轴上4和-2对应的点的距离是6
∴满足方程的x的点在4的右边或-2的左边
若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3
∴方程 的解为x=5或x=-3∴ 的解集为x＞5或x＜-3.
故答案为（1）x=2或x=-8；（2）-1≤x≤5；（3）x＞5或x＜-3.
【点睛】
本题考查了绝对值及不等式的知识. 解题的关键是理解 表示在数轴上数 与数 对应的点
之间的距离.
