函数值域求解方法（一）

一、函数值域的定义

值域：所有函数值构成的集合。

二、代入法求值域

例1已知函数，定义域，求函数值域。

解： 因为，，， 所以函数值域为。

三、性质法求值域

核心思路：通过研究函数单调性、奇偶性、周期性，结合函数类型求解值域。

（一）一次函数型

一次函数解析式：

例2若函数在区间上的值域为，求的值。

解： ① 若，在上单调递增， 则，解得；

②若，在上单调递减， 则，此方程无解。

综上，的值为。

（二）二次函数型

二次函数解析式：

解题步骤：

1. 画出函数图象
2. 结合定义域区间确定函数单调性.关键是：判断区间与对称轴的位置关系

例3求下列函数的值域：

(1) ，

(2) ，

解： (1) 将函数变形为， 该函数在上单调递增，，， 所以值域为。

(2) 将函数变形为，，，， 所以值域为。

例4若函数在上值域为，求值。

解： 将函数变形为，

① 若，在上递减，

，无解；

② 若a，在递减，递增，，无解；  ③若，在上递增，，解得。  综上，的值为。 

例5若在上值域为，求的取值范围。

解： 将函数变形为， 由函数图象性质可知，。

四、两类特殊函数的值域

（一）图象平移规律

例6(1) 将函数的图象左平移2单位长度得到，求解析式；

(2) 将图象下平移2单位长度得到，求解析式。

解： (1) ；

(2) 。

（二）反比例型函数

函数解析式：

解题方法：分离常数法

平移规律：向左（右）平移个单位，再向上（下）平移个单位得到。

例7求在区间上的值域。

解： 分离常数得， 函数在上单调递减，，， 所以值域为。

（三）对勾函数型

对勾函数模型：。 变形得：，令，则，

性质：将的图象纵向伸缩倍得到图象。

例8求在上的值域。

解： 函数变形为， 函数在上递减，在上递增，，，， 所以值域为。

未完待续