重难点突破01求函数中值域、最值常用方法（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_第二章基本初等函数

重难点突破 01 求函数中值域、最值常用方法 函数的值域、最值是函数的重要性质,求函数的值域常用的方法有函数单调性法、图像法、 换元法、分离常数法、判别式法和基本不等式法等 一．选择题（共28小题） 1．函数 在区间 ， 上的最大值是 A． B． （4） C． （1） D． （9） 【解答】解： ， 设 ， ， ， 则函数等价为 ， 则当 时，函数取得最大值， ， 此时 ，即 （4） ， 故选： ． 2．若函数 的定义域为 ， ，则 的值域为 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解：因为 的定义域为 ， ， 所以 的定义域为 ， ， 令 ， 因为 ， ， 所以 ， ，所以 ， 所以函数 的值域即为 ， ， 的值域， 由二次函数的性质可知 在 ， 上单调递增， 所以 ， ． 故选： ． 3．已知函数 ， ， ，用 表示 ， 中的较小者， 记为 ， ，则 的最大值为 A． B．1 C． D． 【解答】解：令 ，即 ，解得 ， 所以 ， 当 时，由 在定义域内单调递减可得 ， 当 时，由二次函数的性质可得 ， 综上，函数 的最大值为 ， 故选： ． 4．函数 且 的值域是 A． B． C． ， D． ， 【解答】解：由题意得 ，2， 故 的值域为 ， ． 故选： ．5．函数 ， ， 的最大值为 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意， ， ， ， 设 ，则 ， 则 ，为二次函数，开口向上且对称轴为 ， 在 ， 上为增函数，则 ， 故选： ． 6．函数 在 ， 上的图象如图所示．则此函数的最大值、最小值分别为 A．3，0 B．3，1 C．3，无最小值 D．3， 【解答】解：由函数图象可知，当 时，函数有最大值，最大值为3，无最小值， 故选： ． 7．已知函数 ，则函数的最小值为 A．0.4 B． C．2 D． 【解答】解：因为 ， 易知 在 ， 上单调递增， 所以 ． 故选： ．8．已知 ， 且满足 ，则 的最小值为 A．4 B．8 C． D．10 【解答】解： ， 且满足 ， 则 ，且 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 故 的最小值为 ． 故选： ． 9．若正数 ， 满足 ，则 的最小值为 A．4 B．1 C．5 D．2 【解答】解： ， ，即 ， 则 ， 当 且 仅 当 即 时，等号成立． 故选： ．10．已知函数 的定义域为 ，则 的最大值为 A．5 B． C．1 D． 【解答】解： ，令 ， ， ，当且仅当 ，即 时取得． （1） ． 故选： ． 11．已知函数 是定义在 ， 上的奇函数，且当 ， 时， ， 则 的最小值是 A． B． C．1 D．2 【解答】解：根据题意，当 ， 时， ，变形可得 ， 则有 ， ， 又由 是 ， 上的奇函数， 则 ， 故 的值域 ， ， ， 故 的最小值是 ． 故选： ． 12．已知函数 在 ， 上的值域为 ， ，则实数 的值是A． B． C． D． 【解答】解：①当 时，函数 在 ， 上为增函数， 则 ， 即 ； ②当 时，函数 在 ， 上为减函数， 则 ， 此方程无解， 综合①②可得 ， 故选： ． 13．函数 的值域为 A． ， B． C． ， D． ， 【解答】解： ， ， 原函数的值域为 ， ． 故选： ． 14．已知 ， ， ，则 的最小值是 A． B．1 C． D． 【解答】解： ， ， ，， 当 且 仅 当 即 时取等号， 的最小值为 ． 故选： ． 15．设函数 的定义域、值域分别为集合 ， ， 为实数集，则集合 是 A． B． ， C． ， D． ， 【解答】解：根据条件可得 ， ； 则 ， ，所以 ， ， 故选： ． 16．已知函数 在 ， 上的最大值和最小值分别为 ， ，则 A． B． C．0 D．2 【解答】解： ，则 ， 令 ，定义域为 ， ， 则 ，故 为奇函数， 所以 ， 即 ，故 ． 故选： ．17．函数 在 ， 上的最大值是 A． B．8 C．5 D．6 【解答】解：因为 ， 所以 ， 令 ， 则 ， 则有 ， 因为 ， ， 所以 ， ， 由二次函数的性质可知 在 ， 上的最大值为：6． 故选： ． 18．给定函数 ， ， ，用 表示 ， 中 最小者，记为 ， ，则函数 的最大值为 A． B． C． D．2 【解答】解：由双勾函数的性质可知： 在 上单调递增，在 上单调递减； 在 上单调递增， 令 ，解得 ， 令 ，所以 的零点为 ， 当 时， ，即 ；当 时， ，即 ； 所以 ， 所以 ． 故选： ． 19．设函数 ， ，若 ，则函数 的最 大值为 A． B． C． D． 【解答】解：当 时，即 ，解得 或 ． 又 ，作出 的图象如图：的最大值为 ． 故选： ． 20． 的最小值为 A．3 B． C．4 D．2 【解答】解：令 ， 则 ， 在 ， 上是增函数， 故 ， 故选： ． 21．用 ， 表示 ， 两个数中的较小者，已知函数 ， ， ，则 的最值是 A．最大值为3，最小值为 B．最大值为3，最小值为1 C．最大值为 ，无最小值 D．最大值为 ，无最小值 【解答】解： ，由 ，与 得交点坐标为 ， ， ， ， 如图所示：由图象，可知最大值为 ，无最小值， 故选： ． 22．若对 ， ，有 ，则函数 在 ， 上的最大值与最小值的和为 A．4 B．6 C．9 D．12 【解答】解：令 ， ， 令 则， ， 令 则， ， ； 为奇函数，则其在对称区间 ， 上的最大值和最小值的和为0， 又 ，故 在 ， 上的最大值和最小值的和为6．故选： ． 23．若关于 的函数 的最大值为 ，最小值为 ，且 ，则实数 的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【 解 答 】 解 ： 因 为 ， 令 ， ， 则 ， 所以 为奇函数， 所以 ， 所以 ， ， 所以 ， 解得 ． 故选： ． 24．已知函数 的定义域为 ，且满足 ，则 的最小值为 A．2 B．3 C．4 D． 【解答】解：由 ，取 ， 则 ， 联立解得 ， ．，当且仅当 ，即 时等号成立． 的最小值为 ． 故选： ． 25．已知函数 ，若 ，则 的最小值为 A．4 B． C． D．5 【解答】解：易知函数 在 和 上分别单调递减， 且 ，则 ， ， ， 若 ，不妨设 ，且 ，则 ， 同样 ，则 ， 由 ，得 ，于是得 ， 则 当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 ． 故选： ． 26．当 时，函数 的最大值为A． B． C．0 D．1 【解答】解：由题意， ， 则 ， 令 ，则 ， 则当 时， ， 单调递增，当 ， 时， ， 单调递减， ，得函数 的最大值为 ． 故选： ． 27．代数式 的最小值为 A． B． C． D． 【 解 答 】 解 ： 因 为 ， 所以问题转化为直线 上的点 到点 的距离与到点 的距离之和的最 小值， 又因为点 ，点 均位于直线 的同侧， 点 关于直线 的对称点为 ， 所以当 ， ， 三点共线时， ，即 ， 即 的最小值为 ． 故选： ． 28．若函数 ，则下列说法错误的是 A．当 时， 在 上单减 B．若 在 上单增，则 的取值范围为 ， C．若 的定义域为 ，则 的取值范围为 ， D．若 的值域为 ，则 的取值范围为 ， 【解答】解：当 时， ，由 ，得 ，则 在 上 单减， 而 ， ， ，则 在 上单减，故 正确； 若 在 上单增，则 在 上单增且大于0恒成立， 则 ，解得 ，则 的取值范围为 ， ，故 错误；若 的定义域为 ，则 对任意 恒成立，则 ， 解得 ， 的取值范围为 ， ，故 正确； 若 的值域为 ，则 取到大于0的所有实数，则 或 ，即 ， 的取值范围为 ， ，故 正确． 故选： ． 二．多选题（共3小题） 29．定义一种运算 ．设 ， 为常数），且 ， ，则使函数 最大值为4的 值可以是 A． B．6 C．4 D． 【解答】解： 在 ， 上的最大值为4， 所以由 ，解得 或 ， 所以要使函数 最大值为4，则根据定义可知， 当 时，即 时， ，此时解得 ， 当 时，即 时， ，此时解得 ， 故 或4， 故选： ．30．已知 ， ， ，则 A．无最小值 B．最小值 C．无最大值 D．最大值为 【解答】解：在同一坐标系中先画出 与 的图象， 然后根据定义画出 ，如图所示： 由图象可得 有最大值，无最小值， 当 时，由 ，解得 （舍 或 ， 此时 的最大值为 ，无最小值． 故选： ． 31．已知函数 ， ，则 A． （2） B． （1） C．当 时， 的最小值为2D．当 时， 的最小值为1 【解答】解： （2） ， （2） （1） ， 正确， （1） ， （1） （2） ， 正确， ：当 时， ， 设 ，则 在 上单调递减， （1） ， 错误， ：当 时， ， 当且仅当 ，即 时取等号， 设 ， ， ， 则 ， 正确． 故选： ． 三．填空题（共7小题） 32．函数 的最小值是 ． 【解答】解： ． 当且仅当 ，即 ， 时等号成立． 函数 的最小值是 ． 故答案为： ． 33．若函数 的定义域为 ， ，则该函数的值域是 ， ． 【解答】解：因为 ，所以 ， ， 故 ， ． 故答案为： ， ． 34．已知二次函数 ， 为常数）满足 ，且方程 有两等根， 在 ， 上的最大值为 ，则 的最大值为 1 ． 【解答】解：已知方程 有两等根，即 有两等根， △ ，解得 ， ，得 ， 是函数图象的对称轴， 而此函数图象的对称轴是直线 ， ， 故 ， 若 在 ， 上的最大值为 ， 当 时， 在 ， 上是增函数， ， 当 时， 在 ， 上是增函数，在 ， 上是减函数， （1） ， 综上， 的最大值为1． 故答案为：1．35．已知函数 ，若 ，则 的值域是 ， ；若 的值域是 ，则实数 的取值范围是 ． 【解答】解：当 时， ， 当 时， ， 当 时， ，根据二次函数的性质可知 ， ， ， 的值域是 ， ． 若 的值域是 ，则 ，解得 ， ． 故答案为： ， ； ， ． 36．函数 ， ， 的最小值为 ． 【解答】解：函数 ， ， ， ，所以函数是奇函 数， 当 ， 时， ，当且仅当 时取等号，所以 ， 时，函数的最大值为2． 所以函数 ， ， 的最小值为： ． 故答案为： ． 37．设函数 的定义域为 ， ，值域为 ， ，则区间 ， 长度的最小值． 【解答】解：根据题意知，函数 在 ， 上的值域为 ， 时， 最小； 时， ， 时， ； ， ； 即 的最小值为 ， 故答案为： ． 38．已知 ，设函数 的表达式为 ．若存在 ， ， ， ，使得 ，则实数 的最大值为 ． 【解答】解：因为存在 ， ， ， ，使得 ， 所以只需 ． 由对勾函数的性质可知： 在 ， 上单减，在 ， 上单增． 而 （ 1 ） ， ， 且 在 ， 上 的 最 小 值 为 ， 在 ， 上的最大值为 （1） ，所以 恒成立． 所以 （1） ． 设 ，解得： ． 因为 （1） （3）， ，所 以 要 使 成 立 ， 只 需 ， 即 解 得 ： ． 由 ，所以 ． 故实数 的最大值为 ． 故答案为： ．