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今天聊一个特别实用的方法——二分法求方程的近似解。
"二分法"听起来就很简单——对半切嘛！但恰恰是这种最朴素的想法，却能解决大多数方程无法用公式精确求解的困境。
没错！一元二次方程有求根公式，但更一般的方程呢？比如 ln x 加 2x 减 6 等于 0，你没法用公式解。这时候，二分法就登场了。
直觉是：如果能不断缩小零点所在的范围，小到一定程度，区间里的任何一点都可以当作零点的近似值。那怎么缩小呢？最方便的方法就是取区间中点。
就像猜价格游戏——"1到100之间？""50以上！""75以下！""60以上！"——每次把范围砍一半。
就是这个道理！教材演示了完整的过程——
第一步，区间括号 2, 3 的中点是 2.5，算出 f 括号 2.5 约等于负0.084。因为 f 括号 2.5 乘 f 括号 3 小于 0，一负一正，所以零点在括号 2.5, 3 内。
第二步，区间括号 2.5, 3 的中点是 2.75，算出 f 括号 2.75 约等于 0.512。因为 f 括号 2.5 乘 f 括号 2.75 小于 0，所以零点在括号 2.5, 2.75 内。
区间从括号 2, 3 缩小到括号 2.5, 3，再缩小到括号 2.5, 2.75——每一步，零点所在的区间都在变短。
对！教材给出了完整的8步计算表格——
第1步，区间括号 2, 3，中点 2.5，中点函数值约等于负0.084；
第2步，区间括号 2.5, 3，中点 2.75，中点函数值约等于 0.512；
第3步，区间括号 2.5, 2.75，中点 2.625，中点函数值约等于 0.215；
第4步，区间括号 2.5, 2.625，中点 2.5625，中点函数值约等于 0.066；
第5步，区间括号 2.5, 2.5625，中点 2.53125，中点函数值约等于负0.009；
第6步，区间括号 2.53125, 2.5625，中点 2.546875，中点函数值约等于 0.029；
第7步，区间括号 2.53125, 2.546875，中点 2.5390625，中点函数值约等于 0.010；
第8步，区间括号 2.53125, 2.5390625，中点 2.53515625，中点函数值约等于 0.001。
8步之后，区间缩小到了括号 2.53125, 2.5390625，区间长度是 2.5390625 减 2.53125 等于 0.0078125。
如果精确度要求是 0.01，那么 0.0078125 小于 0.01，已经满足要求了！区间内任意一点都可以作为零点的近似值，为方便起见，取区间的左端点 2.53125 作为方程 ln x 加 2x 减 6 等于 0 的近似解。
现在来正式定义。什么叫做"二分法"？
对于在闭区间 a 到 b 上图像连续不断、且 f 括号 a 乘 f 括号 b 小于 0 的函数 y 等于 f 括号 x，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法，就叫做二分法。
两个前提条件——图像连续不断，端点函数值异号。缺一不可！
对！然后是四步操作——
第一步，确定零点 x0 的初始区间 a 到 b，验证 f 括号 a 乘 f 括号 b 小于 0。
第二步，求区间 a 到 b 的中点 c，c 等于 2 分之 a 加 b。
第三步，计算 f 括号 c，分三种情况——
如果 f 括号 c 等于 0，那 c 就是零点，直接结束；
如果 f 括号 a 乘 f 括号 c 小于 0，说明零点在 a 到 c 之间，令 b 等于 c；
如果 f 括号 c 乘 f 括号 b 小于 0，说明零点在 c 到 b 之间，令 a 等于 c。
第四步，判断是否达到精确度 ε：如果 a 减 b 的绝对值小于 ε，则得到零点近似值 a 或 b；否则重复步骤 2 到 4。
核心逻辑就一句话——每次砍一半，砍到区间够小为止。精确度ε 就是"够小"的标准：当区间长度小于 ε，区间内任意一个值都是满足精度的近似解。
教材特别提醒想一想"为什么"——因为如果零点 x0 在区间 a 到 b 中，那么 x0 与 a 的差的绝对值和 x0 与 b 的差的绝对值都不超过 a 减 b 的绝对值。所以区间长度小于 ε，就保证了近似值与真实零点的误差不超过 ε。
例2，借助信息技术，用二分法求方程 2 的 x 次方加 3x 等于 7 的近似解，精确度为 0.1。
先把方程改写为 2 的 x 次方加 3x 减 7 等于 0，令 f 括号 x 等于 2 的 x 次方加 3x 减 7。教材列出了对应值表——
x 等于 0 时 y 等于负6；x 等于 1 时 y 等于负2；x 等于 2 时 y 等于 3。
f 括号 1 等于负2，f 括号 2 等于 3，一负一正，所以零点在括号 1, 2 内。
开始二分——
第一步，区间括号 1, 2 的中点 x1 等于 1.5，f 括号 1.5 约等于 0.33。f 括号 1 乘 f 括号 1.5 小于 0，零点在括号 1, 1.5 内。
第二步，区间括号 1, 1.5 的中点 x2 等于 1.25，f 括号 1.25 约等于负0.87。f 括号 1.25 乘 f 括号 1.5 小于 0，零点在括号 1.25, 1.5 内。
第三步，区间括号 1.25, 1.5 的中点 x3 等于 1.375，零点在括号 1.375, 1.5 内。
第四步，区间括号 1.375, 1.5 的中点 x4 等于 1.4375，零点在括号 1.375, 1.4375 内。
现在检查精确度——1.375 减 1.4375 的绝对值等于 0.0625，小于 0.1，满足要求！
所以方程 2 的 x 次方加 3x 等于 7 的近似解可取为 1.375。
4步就搞定了——精确度 0.1 要求不高，所以步数少。精确度越高，步数越多，但每一步做的事完全一样。
这就是二分法的优势——方法极其简单，每一步都是相同的操作，非常适合编程让计算机来做。教材也提到，计算量大但步骤重复，可以设计计算程序来完成。
两道练习题。第一题：用二分法求函数 f 括号 x 等于 x 的三次方加 1.1 乘 x 的平方加 0.9 乘 x 减 1.4 在区间括号 0, 1 内零点的近似值，精确度 0.1。
方法完全一样——先验证 f 括号 0 乘 f 括号 1 小于 0，然后反复取中点、判断符号、缩小区间，直到区间长度小于 0.1。
第二题：用二分法求方程 x 等于 3 减 lg x 在区间括号 2, 3 内的近似解，精确度 0.1。
先改写成 lg x 加 x 减 3 等于 0 的形式，令 f 括号 x 等于 lg x 加 x 减 3，验证 f 括号 2 乘 f 括号 3 小于 0，然后二分法操作。
今天的内容围绕一个核心方法，我来总结——
二分法的本质：对半切，逐步逼近。前提是函数在区间上连续且端点函数值异号。
二分法的四步操作：一、确定初始区间，验证端点异号；二、取中点；三、判断中点函数值的符号，缩小区间；四、检查区间长度是否小于精确度 ε，不满足则重复。
二分法的核心判据：f 括号 a 乘 f 括号 c 小于 0 → 零点在 a 到 c 之间，令 b 等于 c；f 括号 c 乘 f 括号 b 小于 0 → 零点在 c 到 b 之间，令 a 等于 c。
精确度 ε 的含义：当区间长度 a 减 b 的绝对值小于 ε 时，区间内任意值都是满足精度的近似解。因为零点一定在区间内，近似值与真实值的误差不超过区间长度。
二分法的优缺点：优点是方法简单、必然收敛、适合编程；缺点是收敛速度偏慢——每步只把区间缩短一半，要达到高精度需要很多步。
我补充一个有趣的联系——二分法其实是数学中"区间套定理"的直接应用。每一次二分，零点就被"套"在一个更小的区间里；无穷次二分，区间长度趋向 0，零点就被"逼"出来了。有限步得到近似解，无穷步得到精确解——二分法连接了有限和无穷。
对半切的智慧，简单却强大。咱们下期见！
下期见！
