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今天聊一个特别有现实感的话题——函数模型的应用。
函数不只是纸上的公式，它能预测人口增长，能推断文物的年代——这次我们用数学"穿越时空"。
两道例题，一道是人口增长的指数模型，一道是碳14的衰减模型——一增一减，都是指数函数，方向相反，方法相通。
例3，人口问题。1798年，英国经济学家马尔萨斯提出了自然状态下的人口增长模型：y 等于 y 零乘以 e 的 r 乘 t 次方。其中 t 表示经过的时间，y 零是 t 等于 0 时的人口数，r 是人口的年平均增长率。
这个模型的本质就是——人口按指数增长。增长率 r 是常数，每一年都比上一年多同样的比例。现在教材给出了1950到1959年我国的人口数据，要我们做两件事：第一，用数据建立具体模型并检验；第二，预测什么时候人口达到13亿。
先看第一问。怎么确定模型中的 y 零和 r？
y 零就取 1950 年的人口数 55196 万，单位是万。关键是算年平均增长率 r。方法是这样的——设 1951 到 1959 年各年的人口增长率分别为 r1 到 r9，由相邻两年的人口数算出每年的增长率。
比如 1951 年的增长率 r1 怎么算？
55196 乘以括号 1 加 r1 等于 56300，解出 r1 约等于 0点0 2 0 0，也就是 2%。
同理算出其余8个？
对，教材给出了全部9个增长率——r1 约等于 0点0 2 0 0，r2 约等于 0点0 2 1 0，r3 约等于 0点0 2 2 9，r4 约等于 0点0 2 5 0，r5 约等于 0点0 1 9 7，r6 约等于 0点0 2 2 3，r7 约等于 0点0 2 7 6，r8 约等于 0点0 2 2 2，r9 约等于 0点0 1 8 4。
然后取平均值？
对！r 等于 r1 加 r2 一直加到 r9，除以 9，约等于 0点0 2 2 1。于是得到具体模型：y 等于 55196 乘以 e 的 0点0 2 2 1 乘以 t 次方，t 取非负整数。
怎么检验模型好不好？
教材把实际数据画成散点图，再把函数图像叠上去——两者基本吻合！说明马尔萨斯模型在这一时期确实能较好地描述中国人口的增长。
第二问——如果按这个增长趋势，大约哪一年我国人口达到13亿？
13亿就是130000万。把 y 等于 130000 代入模型，130000 等于 55196 乘以 e 的 0点0 2 2 1 乘 t 次方。两边除以 55196，再取自然对数，用计算工具得 t 约等于 38点7 6。也就是 1950 年后约 39 年，即 1989 年。
但教材紧接着提了一个"思考"——事实上，我国 1989 年人口只有 11点2 7 亿，直到 2005 年才突破 13 亿。模型预测比实际早了 16 年！这是怎么回事？
教材给出了解释——因为人口基数较大，增长过快，与经济发展产生了矛盾，我国从 20 世纪 70 年代逐步实施了计划生育政策。计划生育改变了人口增长的条件，而马尔萨斯模型假设增长率始终不变，所以模型在政策实施后就不再适用了。
这个"思考"太重要了！它提醒我们——用函数模型刻画实际问题时，必须注意模型的适用条件。模型不是万能的，当现实条件发生变化，模型就可能失效。
没错。马尔萨斯模型适用于"自然状态下"的人口增长，一旦有人为干预，增长率 r 就不再是常数，模型自然就"失准"了。这不是模型的问题，而是使用条件的问题。
例4，从增长转向衰减。2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料进行碳14检测，碳14的残留量约为初始量的 55点2%。能否推断水坝大概是什么年代建成的？
死亡生物体内的碳14按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以选择模型 y 等于 k 乘以 a 的 x 次方，其中 k 不等于 0，a 大于 0 且 a 不等于 1。具体地，设碳14初始量为 k，衰减率为 p，p 在 0 到 1 之间，经过 x 年残余量为 y，模型为 y 等于 k 乘以括号 1 减 p 的 x 次方。
p 怎么确定？
用碳14的半衰期——5730年。意思是经过 5730 年，碳14残余量减半。代入模型：k 乘以括号 1 减 p 的 5730 次方等于 2 分之 1 乘以 k。两边消去 k，得括号 1 减 p 的 5730 次方等于 2 分之 1。于是 1 减 p 等于 2 分之 1 的 5730 次方根。所以模型变为 y 等于 k 乘以括号 2 分之 1 的 5730 次方根的 x 次方。
现在残留量是初始量的 55点2%，也就是 y 等于 0点5 5 2 乘以 k。
代入得 k 乘以括号 2 分之 1 的 5730 次方根的 x 次方等于 0点5 5 2 乘以 k。消去 k，得括号 2 分之 1 的 5730 次方根的 x 次方等于 0点5 5 2。
怎么解 x？
两边取对数。x 等于括号 2 分之 1 的 5730 次方根为底、0点5 5 2 的对数。用计算工具得 x 约等于 4912 年。
2010 年之前 4912 年，就是公元前 2902 年。所以推断这条水坝大概是公元前 2902 年建成的！
距今将近五千年——良渚文明的年代，就这样被一个小小的碳14原子"告诉"了我们。
三道练习题，都是同类型的应用。
第一题：1650 年世界人口 5 亿，增长率 0点3%；1970 年世界人口 36 亿，增长率 2点1%。用马尔萨斯模型分别计算人口翻倍的年份，并讨论为什么同样的模型对两个时期给出了不同的预测精度。
第二题：野兔繁殖的倍增期为 21 个月，1 万只增长到 1 亿只需要多少年？
倍增期就是"翻一番"的时间。1 万到 1 亿，要翻多少番呢？1 亿除以 1 万等于 1 万，1 万等于 10 的 4 次方，而 2 的 13 次方等于 8192，2 的 14 次方等于 16384，所以大约要翻 13 到 14 番。再乘以倍增期 21 个月，就能估算年数。
第三题：二里头遗址某样本碳14残留量约 62点7 6%，推断年代。方法和例4完全一样——用半衰期建立衰减模型，代入残留量解出年数。
今天的内容围绕函数模型的应用，两道例题一增一减，我来总结——
第一，马尔萨斯人口增长模型：y 等于 y 零乘以 e 的 r 乘 t 次方。核心参数是初始量 y 零和增长率 r。r 通过历年增长率的平均值来确定。模型在 1950 到 1959 年间与实际数据吻合，但预测 1989年达 13 亿与实际不符——因为计划生育改变了增长条件。
第二，碳14衰减模型：y 等于 k 乘以括号 2 分之 1 的 5730 次方根的 x 次方。利用半衰期确定衰减率，代入残留量百分比解出年数。良渚水坝约建于公元前 2902 年。
第三，最重要的启示——注意模型的适用条件！模型是对现实的简化，当现实条件发生变化，模型可能失效。这不是数学的错，而是使用者的责任——选择模型之前，先想清楚它的前提假设是否仍然成立。
我补充一个对比——人口增长是指数增长，碳14衰减是指数衰减。一个越变越大，一个越变越小，但底层的数学结构是一样的，都是 y 等于 a 的 x 次方的形式。区别只在于底数 a 大于 1 还是小于 1：a 大于 1 是增长，a 在 0 到 1 之间是衰减。一个公式，两种命运。
指数的力量——既能预言未来，也能追溯过去。咱们下期见！
下期见！
