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前面我们学习了二分法求方程近似解，也学习了函数模型的应用。今天来做一组复习巩固题，把前面的知识串一串。
没错，教材习题4.5的复习巩固部分一共有6道题，涵盖了二分法求零点、零点存在性判断、函数模型应用等核心内容。我们逐题来看。
第一题，下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是哪些？题目给了四个图。
这道题考查的是二分法的适用前提。二分法求零点要求函数在零点两侧的函数值异号，也就是说，零点附近的图象必须穿过x轴，而不能只是"碰到"或"贴着"x轴。
那四种图象分别是什么情况呢？
图①，函数图象穿过x轴，零点两侧函数值一正一负，可以用二分法。图②，函数图象从x轴一侧"碰到"x轴又折回去了，零点两侧函数值同号，不能用二分法。图③，函数图象穿过x轴，零点两侧异号，可以用二分法。图④，函数图象在x轴上方与x轴相切，零点两侧函数值同号，也不能用二分法。
所以答案是图②和图④。它们都是在零点处只"碰到"而不穿过x轴，函数值在零点两侧同号，二分法就派不上用场了。
完全正确！记住关键：二分法要求函数在区间端点的值异号，这是零点存在定理的条件，也是二分法的基础。
第二题，已知函数y等于f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有对应值表。x从1到6，对应的y值分别是：136点1 3 6、15点5 5 2、负3点9 2、10点8 8、负52点4 8 8、负232点0 6 4。问函数在哪几个区间内一定有零点。
这道题用的是零点存在定理：如果函数在闭区间a到b上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)乘f(b)小于0，那么函数在区间a到b内至少有一个零点。我们来逐段看函数值的符号变化。
x等于1时y是正的，x等于2时y也是正的，没有变号。
对，1到2之间没有零点。但x等于2时y是15点5 5 2，为正；x等于3时y是负3点9 2，为负，符号变了！
所以区间2到3内一定有零点。
继续看：x等于3时y为负，x等于4时y为正，又变号了，所以3到4内也有零点。x等于4时y为正，x等于5时y为负，再次变号，4到5内也有零点。x等于5和x等于6时y都是负的，不变号，5到6内不能确定有零点。
所以一共有三个区间：2到3、3到4、4到5，各至少有一个零点。原因就是函数值在这些区间的端点处变号了。
总结一下：零点存在定理是判断零点区间的利器，关键是看函数值是否异号。
第三题，已知函数f(x)等于x的3次方减2 x加1，求证方程f(x)等于x在区间负1到2内至少有两个实数解。
方程f(x)等于x，就是"x的3次方减2 x加1等于x"，移项得到"x的3次方减3 x加1等于0"。我们令g(x)等于x的3次方减3 x加1，问题就转化为证明g(x)在负1到2内至少有两个零点。
怎么证呢？
算几个关键点的函数值。g(负1)等于负1的3次方减3乘负1加1，等于负1加3加1，等于3，为正。g(0)等于0减0加1，等于1，还是正。g(1)等于1减3加1，等于负1，为负。g(2)等于8减6加1，等于3，为正。
我看到了！g(0)为正，g(1)为负，变号了，所以0到1内有零点。g(1)为负，g(2)为正，又变号了，所以1到2内也有零点。
对！两个区间各至少有一个零点，且它们不重叠，所以方程f(x)等于x在负1到2内至少有两个实数解。得证。
这道题的思路就是：把方程转化为函数零点问题，再用零点存在定理逐段判断。
第四题，用二分法求函数f(x)等于ln x减x分之2的零点，精确度为0点1。
先确定零点所在的大致区间。f(1)等于ln 1减1分之2，等于0减2，等于负2。f(2)等于ln 2减2分之2，约等于0点6 9 3减1，等于负0点3 0 7，还是负的。f(3)等于ln 3减3分之2，约等于1点0 9 9减0点6 6 7，等于0点4 3 2，为正。
所以零点在2到3之间。
对。取中点2点5，f(2点5)约等于0点9 1 6减0点8，等于0点1 1 6，为正。所以零点在2到2点5之间。再取中点2点2 5，f(2点2 5)约等于0点8 1 1减0点8 8 9，约等于负0点0 7 8，为负。零点在2点2 5到2点5之间。再取中点2点3 7 5，f(2点3 7 5)约等于0点8 6 5减0点8 4 2，约等于0点0 2 3，为正。零点在2点2 5到2点3 7 5之间。区间长度已经小于0点1 2 5，满足精确度0点1的要求。
所以零点约为2点3，在区间2点2 5到2点3 7 5内。
没错。二分法的步骤就是反复取中点、判断符号、缩小区间，直到区间长度满足精确度要求。
第五题，用二分法求方程"0点8的x次方减1等于ln x"的近似解，精确度0点1。
这道题是求两个函数图象交点的x坐标。令h(x)等于0点8的x次方减1减ln x，求h(x)的零点。先找大致区间：h(1)等于0点8减1减0，等于负0点2，为负。h(2)等于0点6 4减1减ln 2，约等于负0点3 6减0点6 9 3，约等于负1点0 5 3，还是负的。
都为负，那零点在哪呢？
注意ln x在0到1之间是负的。我们看h(0点5)等于0点8的0点5次方减1减ln 0点5，约等于0点8 9 4减1加0点6 9 3，约等于0点5 8 7，为正！所以零点在0点5到1之间。
继续二分。
取中点0点7 5，h(0点7 5)等于0点8的0点7 5次方减1减ln 0点7 5，约等于0点8 4 6减1加0点2 8 8，约等于0点1 3 4，为正。零点在0点7 5到1之间。再取中点0点8 7 5，h(0点8 7 5)约等于0点8的0点8 7 5次方减1减ln 0点8 7 5，约等于0点8 9 8减1加0点1 3 4，约等于0点0 3 2，为正。零点在0点8 7 5到1之间。再取中点0点9 3 7 5，h(0点9 3 7 5)约等于0点8的0点9 3 7 5次方减1减ln 0点9 3 7 5，约等于负0点0 6 7，为负。零点在0点8 7 5到0点9 3 7 5之间。区间长度约0点0 6 2 5，满足精确度0点1。
所以方程的近似解约为0点9，在区间0点8 7 5到0点9 3 7 5内。
正确。这道题和第4题的思路一样，都是二分法，只不过函数更复杂一点，需要借助信息技术来计算。
最后一道题！一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍。问开机后多少分钟，该病毒会占据64 MB内存？1 MB等于1024 KB。
这道题是指数增长模型的应用。设经过n次复制后，病毒占据的内存为2乘以2的n次方KB，也就是2的n加1次方KB。目标是64 MB，先统一单位：64 MB等于64乘以1024 KB，等于65536 KB。
65536是2的16次方！
没错！所以2的n加1次方等于2的16次方，解得n加1等于16，n等于15。也就是说需要复制15次。每次复制需要3分钟，总共需要15乘以3，等于45分钟。
45分钟后，一个小小的2 KB病毒就能吃掉64 MB内存，指数增长的力量真是可怕。
确实。这道题的关键是识别出这是指数增长模型，把实际问题转化为解指数方程，再回到实际意义求出时间。
六道题做完了，来总结一下吧。
第1题考查二分法的适用前提——函数值在零点两侧必须异号；第2题用零点存在定理判断零点区间；第3题把方程问题转化为零点问题再用定理证明；第4和第5题是二分法的实际操作，反复取中点缩小区间；第6题是指数增长模型的应用，关键在于识别模型、统一单位、求解方程。
核心就两件事：一是判断零点在哪里，用零点存在定理；二是把零点找出来，用二分法。再加上函数模型的应用，把实际问题转化为数学问题来解决。
说得很精炼！希望大家通过这组复习巩固题，能把二分法和函数模型的知识真正融会贯通。
感谢收听，我们下次再见！
再见！
