2026年第三十三届大连市数学竞赛试题（数专）

今上午才考完的，回忆版，本版题目可能缺了一些条件，后期会整理发布项目。

数专组试卷共8道大题，非数AB组的题我都没看。对应分数记不清了。

这会头晕也不敲解答了，有空再说吧，前面累积了好多有趣的idea都没来得及做呢。[哭]

一

定义在上的连续函数的广义积分收敛，证明：

二

在上二阶可导，，且在上不恒零，证明

三

在上连续，且对任意都有，证明：是周期函数的充要条件是存在，

四

已知数列，，求级数的收敛域与和函数。

五

已知是有界闭集，和是二元函数，且在任意包含的开集内可导，证明

其中，，表示沿着外切线方向路径积分。

六

设矩阵满足

（1）证明：在数域上可对角化

（2）证明：若为实对称矩阵，则

七

设
为阶实对称正定矩阵，为阶实对称半正定矩阵，

（1）证明：

（2）当时，在什么条件下？证明你的结论。

八

设三维欧氏空间中的直线和：

（1）求的公垂线

（2）求同时过的二次曲面族（带两个参数）

（3）判断（2）中的二次曲面何时为何种曲线类型。