夜雨聆风复旦数院应用偏微分方程期末考试试题选解
题目一
证明对于作定常流动的理想不可压缩无旋流体，如果无热流且单位质量所受的外力是保守力，即那么
在全空间内为常值。
背景知识
本题对应流体力学中的 伯努利定理。伯努利定理描述的是理想流体在一定条件下，动能、势能和压力能之间的守恒关系。对于理想流体，忽略黏性作用时，其运动由 Euler 方程描述：
其中， 是速度场， 是压强， 是流体密度， 是单位质量流体所受的外力， 是外力势函数。题目中的条件含义如下。
定常流动：速度场不显含时间，即 不可压缩流体：密度 为常数。 无旋流体：涡度为零，即 外力是保守力：存在势函数 ，使得
在这些条件下，伯努利量不仅沿流线为常数，而且由于无旋条件，可以进一步说明它在整个连通区域中为常数。
解答
理想流体的 Euler 方程为
由于流动是定常的，所以于是 Euler 方程化为
利用向量恒等式
又因为流体是无旋的，即所以
因此 Euler 方程变为
由题设可知外力是保守力：又因为流体不可压缩，密度 为常数，所以
代入上式，得到
移项整理得
因此，在全空间这一连通区域中，有
其中 为常数，即恒为常值。
题目二
对于方程如果已知间断左侧和右侧流体的速度分别为 和 ，请计算间断的速度 ，并给出 和 满足的 Lax 熵条件。
背景知识
本题属于一维标量守恒律中的 激波理论。 一般的一维标量守恒律形式为
当解出现间断时，间断面不能随意传播，而必须满足 Rankine-Hugoniot 条件：
其中， 表示间断左侧状态， 表示间断右侧状态， 表示间断面的传播速度， 是通量函数。
但是 Rankine-Hugoniot 条件只保证弱解成立，并不能保证该间断是物理上可接受的。为了排除非物理的间断，还需要加入熵条件。对于标量守恒律，Lax 熵条件要求特征线从两侧进入激波。若通量函数满足 严格单调递增，则激波条件等价于这表示左侧状态大于右侧状态，特征线向间断面汇聚。
解答
原方程为
注意到所以原方程可以写成守恒律形式
因此通量函数为根据 Rankine-Hugoniot 条件，间断速度 满足
代入 ，得到
若 ，则由因式分解可得
因此
所以间断速度为
下面给出 Lax 熵条件。由于所以左、右两侧的特征速度分别为
Lax 熵条件要求也就是
将 代入，得到
由于函数关于 严格单调递增，因此上面的 Lax 熵条件等价于因此，Lax 熵条件为
题目三
由单原子分子构成的理想气体，在平衡态时分子的速度满足 Maxwell-Boltzmann 分布
请在宏观速度为 时计算
背景知识
本题属于气体动理论中的 Maxwell-Boltzmann 分布矩计算。 Maxwell-Boltzmann 分布描述的是理想气体在热平衡状态下，分子速度的概率分布。给定分布
其中， 是数密度， 是单个分子的质量， 是 Boltzmann 常数， 是绝对温度， 是分子速度。该分布满足归一化关系
题目要求计算的是速度四阶矩：
这个量反映了速度涨落的高阶统计信息。在气体动理论中，二阶矩与温度和平均动能有关，而四阶矩常出现在热通量、应力涨落以及高阶矩方程中。由于宏观速度为 ，所以这里的 也可以理解为分子相对于宏观平均速度的热运动速度。
解答
要求计算
令由于分布函数只依赖于速度大小 ，因此可在速度空间中使用球坐标。三维速度空间体元为于是
由于所以因此
利用高斯积分公式
这里取 ，得到
代回 ，得到
最终得到
如果用 表示 Boltzmann 常数，则结果为
题目四
设 满足方程组
请找出一组函数 和 ，使得它们满足守恒律方程
并且当 时， 是严格凸的。
背景知识
本题属于一维双曲守恒律中的 熵-熵通量对 问题。对于守恒律系统
除了原始守恒量之外，有时还能找到额外的守恒律
其中， 称为熵函数， 称为熵通量， 称为熵对。
在双曲守恒律理论中，严格凸熵函数非常重要。它可以用于建立能量估计、证明解的稳定性、选择物理可接受的弱解，以及研究系统的对称双曲结构。本题中的系统可以写成守恒律形式：
它具有类似一维等熵气体动力学中 -system 的结构。
解答
由链式法则，
因此
代入
得到
为了使其恒为零，只需令
即
这就是熵函数 和熵通量 需要满足的相容关系。
对第一个式子关于 求偏导，对第二个式子关于 求偏导，可得
由于 ，所以
下面构造一个满足该方程且严格凸的 。取
则
继续求二阶偏导，得到
因此说明该 满足熵函数的相容条件。
下面求对应的 。由得到
对 积分，有
另一方面，由又有
对
关于 求偏导，得到
与
比较可知因此 是常数。取常数为 ，得到
所以一组熵-熵通量对为
最后验证 的严格凸性。计算 Hessian 矩阵：
当 时，所以 Hessian 矩阵正定。因此 在 时严格凸。
参考文献
[1] 李大潜, 秦铁虎. 物理学与偏微分方程(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2005.
[2] 姜礼尚, 孔德兴, 陈志浩. 应用偏微分方程 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2008.