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专题 09 列分式方程解决问题分类练（六大考点）
实战训练
一．行程类---路程一定，可设时间或速度
1．第二实验中学八年级学生去距学校10千米的文化广场参加活动，一部分同学骑自行车先走，过
了25分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的平均速度是骑车同学平均
速度的2倍，求汽车的平均速度．
试题分析：由题意可知：“过了25分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关
20
系为：骑自行车同学所用时间﹣乘车同学所用时间= ，路程已知，骑车同学平均速度是x千
60
米/时，则汽车的平均速度是2x千米，先求出时间，根据时间来列等量关系即可．
答案详解：解：设骑车同学平均速度是x千米/时，则汽车的平均速度是2x千米/时，
10 10 25
依题意， − = ，
x 2x 60
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，
2x＝24．
答：汽车的平均速度是24千米/时．
2．一位沙漠吉普爱好者驾车从甲站到乙站与大部队汇合，出发 2小时后车子出了点故障，修车用去半小时时间，为了弥补耽搁的时间，他将车速增加到原来的1.6倍，结果按时到达，已知甲、
乙两站相距100千米，求他原来的行驶速度．
试题分析：设他原来的行驶速度为x千米/时，则提速后的行驶速度为1.6x千米/时，利用时间＝
路程÷速度，结合提速后按时到达，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
答案详解：解：设他原来的行驶速度为x千米/时，则提速后的行驶速度为1.6x千米/时，
1 100−2x 100
根据题意得：2+ + = ，
2 1.6x x
解得：x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意．
答：他原来的行驶速度为30千米/时．
3．港珠澳大桥作为世界上最长的跨海大桥，是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作，被誉
为“现代世界七大奇迹”的超级工程．大桥开通后，从香港到珠海的车程由原来的 180千米缩
短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米．按现在设计时速
1
行驶完当前全程所用的时间，仅为原来时速行驶完原来全程所需时间的 ．求港珠澳大桥现在的
6
设计时速．
试题分析：设港珠澳大桥现在的设计时速是x千米/时，则原来路程行驶的平均时速为（x﹣40）
千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合“按现在设计时速行驶完当前全程所用的时间，仅为原来
1
时速行驶完原来全程所需时间的 ”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结
6
论．
答案详解：解：设港珠澳大桥现在的设计时速是x千米/时，则原来路程行驶的平均时速为（x
﹣40）千米/时，
50 1 180
根据题意得： = × ，
x 6 x−40
解得：x＝100，
经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意．
答：港珠澳大桥的设计时速是100千米/时．
4．一艘轮船顺水航行 100km 后返回，返回时用同样的时间只航行了 80km，若列方程
100 80
= 表示题中的等量关系，则关于方程中x和25这两个量的描述正确的是（ ）
x+25 x−25A．x表示轮船在静水中的速度为xkm/h
B．x表示水流速度为xkm/h
C．25 表示轮船在静水中的速度为25km/h
D．25 表示轮船顺水航行速度为25km/h
试题分析：根据题意，由“顺水航行100km后返回，返回时用同样的时间只航行了80km”列出
的方程即可得到结论．
100 80
答案详解：解：方程 = 中x和25这两个量分别表示轮船在静水中的速度是xkm/h
x+25 x−25
、水流速度为25km/h，
所以选：A．
5．已知水流速度为3千米/时，轮船顺水航行120千米所需的时间与逆水航行90千米所需的时间相
同，求轮船在静水中的速度，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为（ ）
120 90 120 90
A． = B． =
x+3 x−3 x−3 x+3
120 90 120 90
C． = D． =
x x−3 x+3 x
试题分析：根据水流的速度及轮船在静水中的速度，可得出轮船顺水航行的速度为（x+3）千
米/时，轮船逆水航行的速度为（x﹣3）千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合轮船顺水航行120
千米所需的时间与逆水航行90千米所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
答案详解：解：∵水流速度为3千米/时，轮船在静水中的速度为x千米/时，
∴轮船顺水航行的速度为（x+3）千米/时，轮船逆水航行的速度为（x﹣3）千米/时．
120 90
根据题意得： = ．
x+3 x−3
所以选：A．
二．利润类---利润与成本是好朋友，打折和标价是好朋友
6．新年来临之际，某超市的儿童专柜用3000元购进一批儿童玩具，很快售完；第二次购进时，每
件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次每件的进价为多少元？
（2）若两次购进的玩具售价均为65元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？
试题分析：（1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，根据等量关系，列
出分式方程，即可求解；（2）根据总利润＝总售价﹣总成本，列出算式，即可求解．
答案详解：解：（1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，
3000 3000
根据题意得： − =10，
x (1+20%)x
解得：x＝50，
经检验：x＝50是方程的解，且符合题意，
答：第一次每件的进价为50元；
3000 3000
（2）65×（ + ）﹣3000×2＝1150（元），
50 50×1.2
答：两次的总利润为1150元．
7．在新冠疫情防控形势下，人们外出时都应自觉戴上口罩做好个人防护，这是降低传播风险、防
止疫情扩散蔓延、减少公众交叉感染、保障群众身体健康的最有效措施．为方便市民购买，某
药店用4000元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用7200元钱购进第二批这种口罩，
所购进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.4元，请解答下列
问题：
（1）求购进的第一批一次性医用口罩有多少包？
（2）由于政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，要求售价保持一致，若售完这两批口罩
的总利润不高于3800元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
试题分析：（1）设购进的第一批一次性医用口罩有x包，则购进的第二批一次性医用口罩有
（1+50%）x包，利用数量＝总价÷单价，结合第二批每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价
多0.4元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设药店销售该口罩每包的售价为y元，利用利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，结合
售完这两批口罩的总利润不高于3800元钱，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得
出结论．
答案详解：解：（1）设购进的第一批一次性医用口罩有x包，则购进的第二批一次性医用口罩
有（1+50%）x包，
7200 4000
依题意得： − =0.4，
(1+50%)x x
解得：x＝2000，
经检验，x＝2000是原方程的解，且符合题意．
答：购进的第一批一次性医用口罩有2000包．（2）购进的第二批一次性医用口罩的数量为2000×（1+50%）＝3000（包）．
设药店销售该口罩每包的售价为y元，
依题意得：（2000+3000）y﹣4000﹣7200≤3800，
解得：y≤3，
∴y的最大值为3．
答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元．
三．工程类--工作总量一定
8．某工程队修建一条长1200米的道路，采用新的施工方式，工作效率比原计划增加了20%，结果
提前2天完成任务．
（1）求这个工程队原计划每天修道路多少米？
（2）在这项工程中，如果要求工程队提前4天完成任务，那么实际的工作效率比原计划增加百
分之几？
试题分析：（1）设这个工程队原计划每天修道路x米，由题意：某工程队修建一条长1200米的
道路，采用新的施工方式，工作效率比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．列出分式
方程，解方程即可；
（2）设这个工程队实际每天修道路y米，由题意：要求工程队提前4天完成任务，列出分式方
程，解方程，即可解决问题．
答案详解：解：（1）设这个工程队原计划每天修道路x米，
1200 1200
由题意得： − =2，
x (1+20%)x
解得：x＝100，
经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意，
答：这个工程队原计划每天修道路100米．
（2）设这个工程队实际每天修道路y米，
1200 1200
由题意得： − =4，
100 y
解得：y＝150，
经检验，y＝150是所列方程的解，且符合题意，
则（150﹣100）÷100×100%＝50%，
答：实际的工作效率比原计划增加50%．
9．一项工程，甲、乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工
费少1500元．
（1）甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
试题分析：（1）设甲公司单独完成此项工程需a天，则乙公司单独完成此项工程需1.5a天，根
1 1 1
据合作12天完成可列出方程 + = ，解方程即可得到答案，注意要验根；
x 1.5x 12
（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元，依据共需付施
工费102000元列方程求解，进而分别求得两个公司施工所需费用，比较即可得到结论．
答案详解：解：（1）设甲公司单独完成此项工程需a天，则乙公司单独完成此项工程需1.5a
天．
1 1 1
根据题意，得 + = ，
a 1.5a 12
解得x＝20，
经检验知x＝20是方程的解且符合题意．
1.5x＝30，
答：甲公司单独完成此项工程需20天，乙公司单独完成此项工程需30天；
（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元，
根据题意得12（y+y﹣1500）＝102000，解得y＝5000，
甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000＝100000（元）；
乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000﹣1500）＝105000（元）；
故甲公司的施工费较少．
10．甲、乙两个工程队计划修建一条长15km的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修
路0.5km，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队完成修路任务所需天数的 1.5倍．求
甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
试题分析：设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米；据此可表示出修路所用的时间，
进而列出分式方程求解即可．
答案详解：解：设甲每天修路x千米，乙每天修路（x﹣0.5）千米，
15 15
根据题意，可列方程：1.5× = ，
x x−0.5解得：x＝1.5，
经检验：x＝1.5是原方程的解，且x﹣0.5＝1，
答：甲每天修路1.5千米，乙每天修路1千米．
四．方案设计类---按顺序，不遗漏
11．某社区拟用60m2建A、B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类比B类多
3
2m2．若单独建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的 ．
5
（1）求每个A、B类摊位的占地面积；
（2）已知该社区混合建A类和B类摊位，刚好全部用完60m2．写出建A、B两类摊位个数的所
有方案，并说明理由．
试题分析：（1）设每个B类摊位的占地面积为xm2，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）m2，
由题意：社区拟用60m2建A、B两类摊位以搞活“地摊经济”，若单独建A类或B类摊位，则A
3
类摊位的个数恰好是B类摊位个数的 ．列出分式方程，解方程即可；
5
（2）设建造a个A类摊位，b个B类摊位，由题意：该社区混合建A类和B类摊位，刚好全部
用完60m2．列出二元一次方程，求其正整数解即可．
答案详解：解：（1）设每个 B类摊位的占地面积为 xm2，则每个 A类摊位的占地面积为
（x+2）m2，
60 3 60
依题意得： = × ，
x+2 5 x
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝5．
答：每个A类摊位的占地面积为5m2，每个B类摊位的占地面积为3m2．
（2）有3个方案，理由如下：
设建造a个A类摊位，b个B类摊位，
由题意得：5a+3b＝60，
3
则a＝12− b，
5
∵a、b为正整数，{a=9 {a=6 {a=3
∴ 或 或 ，
b=5 b=10 b=15
∴共有3个方案：
①A类摊位9个，B类摊位5个；
②A类摊位6个，B类摊位10个；
③A类摊位3个，B类摊位15个．
12．某水果商两次去批发市场采购同一种水果，第一次用2000元购进了若干千克，很快卖完．第
二次用3000元所购数量比第一次多100千克，且每千克的进价比第一次提高了20%．
（1）求第一次购买水果的进价；
（2）求第二次购买水果的数量；
（3）该水果商按以下方案卖出第二批的水果：先以a元/千克的价格售出m千克，再以8元/千
克的价格售出剩余的全部水果，共获利1600元．若a，m均为整数，且a不超过第二次进价的2
倍，求a和m的值．
试题分析：（1）设第一次购买水果的进价为x元/千克，则第二次购买水果的进价为（1+20%）
x元/千克，利用数量＝总价÷单价，结合第二次用3000元所购数量比第一次多100千克，即可得
出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价，即可求出第二次购买水果的数量；
（3）利用利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可得出关于m，a的二元二次方程，化简后
600
可得出a= +8，结合a不超过第二次进价的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之
m
即可得出m的取值范围，再结合a，m均为正整数，即可得出结论．
答案详解：解：（1）设第一次购买水果的进价为 x元/千克，则第二次购买水果的进价为
（1+20%）x元/千克，
3000 2000
依题意得： − =100，
(1+20%)x x
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．
答：第一次购买水果的进价为5元/千克．
（2）3000÷[（1+20%）×5]
＝3000÷[1.2×5]
＝3000÷6＝500（千克）．
答：第二次购买水果的数量为500千克．
（3）依题意得：am+8（500﹣m）﹣3000＝1600，
600
∴a= +8．
m
∵a不超过第二次进价的2倍，
600
∴a≤2×（1+20%）×5，即 +8≤12，
m
∴m≥150．
又∵a，m均为正整数，
{ a=12 { a=11 { a=10
∴ 或 或 ．
m=150 m=200 m=300
答：当a的值为12时，m的值为150；当a的值为11时，m的值为200；当a的值为10时，m
的值为300．
13．2021年是中国共产党百年华诞，某电脑公司为了庆祝党的生日，开展回馈顾客活动，在七月
份把甲种型号电脑的售价每台降低1000元，如果在六月份和七月份卖出相同数量的电脑，六月
份销售额为10万元，七月份销售额只有8万元．
请解答下列问题：
（1）七月份甲种型号电脑每台售价多少元？
（2）为了满足不同顾客需要，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为
3500元，乙种型号电脑每台进价为3000元，公司预计用不少于4.8万元的资金购进这两种电脑
共15台，且甲种型号电脑至多8台，有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，如果乙种型号电脑每台售价为3800元，哪种方案对公司更有利？公司
的利润是多少？（请直接写出结果．）
试题分析：（1）设七月份甲种型号电脑每台售价为x元，由题意：七月份把甲种型号电脑的售
价每台降低1000元，六月份和七月份卖出相同数量的电脑，六月份销售额为10万元，七月份销
售额只有8万元．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种型号电脑m台，则乙种型号电脑是（15﹣m）台，由题意：公司预计用不少于
4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题；
（3）分别求出三种方案的利润，再比较即可．
答案详解：解：（1）设七月份甲种型号电脑每台售价为x元，100000 80000
由题意得： = ，
x+1000 x
解得：x＝4000，
经检验：x＝4000是原方程的解，且符合题意，
答：七月份甲种型号电脑每台售价4000元．
（2）设购进甲种型号电脑m台，则乙种型号电脑是（15﹣m）台，
由题意得：3500m+3000（15﹣m）≥48000．
解得：m≥6，
∵甲种型号电脑至多8台，
∴6≤m≤8，
∴m的正整数解为6，7，8，
∴有3种进货方案：
方案一：购进甲种型号电脑6台、乙种型号电脑9台；
方案二：购进甲种型号电脑7台、乙种型号电脑8台；
方案三：购进甲种型号电脑8台、乙种型号电脑7台；
（3）方案一对公司更有利，公司的利润是10200元．理由如下：
方案一的利润为：（4000﹣3500）×6+（3800﹣3000）×9＝10200（元），
方案二的利润为：（4000﹣3500）×7+（3800﹣3000）×8＝9900（元），
方案三的利润为：（4000﹣3500）×8+（3800﹣3000）×7＝9600（元），
∵10200＞9900＞9600，
∴方案一对公司更有利，公司的利润是10200元．
14．某市教育部门为了落实中共中央《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，确定初
中生的体育考试成绩计入毕业升学成绩，考试项目可由学生自行选择．据统计：市内某校九年
级选考篮球的学生有350人，选考足球的学生有480人．学校为了保证九年级毕业生有足够的训
练器材，计划选购一批篮球与足球，保证每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球．已
知每个篮球的价格比每个足球的价格高20元，用480元单独购进篮球的个数与320元单独购进
足球的个数相同．
（1）足球与篮球的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这种足球与篮球共40个，且投入的经费不超过2100元，则共有几种购买
方案？
试题分析：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，利用数量＝总价÷单价，结合用480元单独购进篮球的个数与320元单独购进足球的个数相同，即可得出关于x的分式方
程，解之经检验后即可求出足球的单价，再将其代入（x+20）中即可求出篮球的单价；
（2）设购买足球y个，则购买篮球（40﹣y）个，根据“每30人不少于一个足球，每15人不少
于一个篮球，且投入的经费不超过2100元”，即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可
得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出购买方案．
答案详解：解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，
480 320
依题意得： = ，
x+20 x
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝40+20＝60．
答：足球的单价为40元，篮球的单价为60元．
（2）设购买足球y个，则购买篮球（40﹣y）个，
{ 30 y≥480
依题意得： ，
15(40−y)≥350
40 y+60(40−y)≤2100
50
解得：16≤ y≤ ．
3
又∵y为正整数，
∴y＝16，
∴共1个购买方案，购买足球16个，篮球24个．
五．捐款类--总额与人数是钥匙
15．在预防新型冠状病毒性肺炎期间，市民对医用口罩的需求越来越大，某药店第一次用 30000元
购进口罩若干个，第二次又用30000元购进该款口罩．但第二次每个口罩的进价是第一次进价
的1.25倍，购进的数量比第一次少了2000个．
（1）求第一次和第二次分别购进医用口罩多少个？
（2）药店第一次购进口罩后，先以每个4元价格出售，由于第二批同款口罩进价提高了，药店
又将第二批口罩提升至4.5元出售，由于当地医院医疗物资紧张，药店将两次销售口罩的收入全
部捐给了医院购买医疗物资，问该药店捐款多少元？
试题分析：（1）设第一次购进医用口罩x个，则第二次购进医用口罩（x﹣2000）个，由题意：某药店第一次用30000元购进口罩若干个，第二次又用30000元购进该款口罩．但第二次每个口
罩的进价是第一次进价的1.25倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）列式计算两次销售口罩的收入和即可．
答案详解：解：（1）设第一次购进医用口罩x个，则第二次购进医用口罩（x﹣2000）个，
30000 30000
由题意得： =1.25× ，
x−2000 x
解得：x＝10000，
经检验，x＝10000是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣2000＝8000，
答：第一次购进医用口罩10000个，第二次购进医用口罩8000个；
30000 30000
（2）两次销售口罩的收入为：（4− ）×10000+（4.5− ）×8000
10000 10000−2000
＝10000+6000
＝16000（元），
答：该药店捐款16000元．
16．冠状病毒病感染的疫情牵动着全国人民的心，病毒无情，人间有爱．疫情暴发初期，国昌实验
中学学生会号召同学们用自己的压岁钱捐献爱心．已知七年级捐款总额为 14000元，八年级捐
款总额为12000元，七年级捐款人数比八年级多20人，而且两个年级人均捐款额相等，请问七、
八年级捐款的人数分别为多少？
试题分析：设八年级捐款的人数为x人，则七年级捐款的人数为（x+20）人，根据题意给出的等
量关系列出方程，解方程即可求出答案．
答案详解：解：设八年级捐款的人数为x人，则七年级捐款的人数为（x+20）人，
12000 14000
由题意得： = ，
x x+20
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原分式方程的解，
x+20＝140（人），
答：七年级捐款的人数为140人，八年级捐款的人数为120人．
17．列方程解应用题：
2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款 4800元，第二
天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天
共参加捐款的人数是多少？试题分析：设第一天捐款x人，根据已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款
人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，可列出方程求解．
答案详解：解：设第一天捐款x人，则第二天捐款（x+50）人，
4800 6000
由题意列方程 = ，
x x+50
解得x＝200，
检验：当x＝200时，x（x+50）≠0，
即x＝200是原方程的解．
两天捐款人数x+（x+50）＝450，
答：两天共参加捐款的人数是450人．
六．数字类
18．一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得
4
到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为 ，则这个二位数是
7
84 ．
试题分析：设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），根据“如果交换十位数字
与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数
4
约分为 ”，即可得出关于x的分式方程，经检验后即可得出结论．
7
答案详解：解：设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），
10(12−x)+x 4
根据题意得： = ，
10x+(12−x) 7
解得：x＝8，
经检验，x＝8是所列分式方程的解，且符合题意，
∴12﹣x＝4．
所以答案是：84．
