解析+几何在强基试题中的应用

今年清华、科大的强基中的解析几何题目，出现了有趣的“撞车”，二者都以椭圆离心率范围为结论，连答案都像是孪生兄弟，几乎一模一样。

前些日子，我们说过，解析加上几何，才是真正的解析几何。也用今年高考解析几何大题作为例证（几何定方向，解析算结果——以高考解析大题为例）。现在看强基中的试题，仍然可以应用这样的解题思路。

这两道题，如果一上手就列方程暴算，计算量都不小。如果先采用几何直观的方式做定性判断，再进行解析计算，会容易很多。

先看科大的题：

这题初看难以入手，设直线k值，求C点坐标，再将它代入椭圆求a,b的关系。思路直接，但很难算出来。如果我们先做几何直观判断，由椭圆对称性找到离心率的临界状态，可以简化一部分计算：

这种解法在求坐标时计算量还是不小，用仿射的思路会简单许多：

当然，这道题还可以用极坐标的思路，三角函数的思路进行解题，在此不多赘述。

看一下清华的题：

同样，设直线k值，解出交点的具体坐标，再求出两段弦长，用等腰的关系列方程，用差别式判断k的解的个数，这是很直白的思路，问题还是计算量。

我们可以先做几何判断，找到临界状态。再求此状态下的离心率，计算量小多了：

总结：感觉这两道强基的题目和今年高考命题趋势相通，重点并不是考察学生的计算能力。实际上，如果把这道清华试题放到高考卷里作为解析大题，也是合辙押韵的。