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今天题目来自清华大学求真预科班的一个测试题的压轴题, 是一个不错的渐近估计问题.(完整试题见文末).
题目
设满足. 证明: 存在与无关的使得
若把改成, 结论是否还成立?
证明
由Taylor公式容易得到
从而
注意到
即取
为所求.
接下来考虑
我们来严格证明
对任何, 当自然数, 我们有
从而
即由控制收敛定理得
求导得
即在递减, 在递增. 因此由第二积分中值定理, 我们有
于是就有
即由任意性得
现在我们证明了不存在.
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完整试题
