夜雨聆风
东南大学大学考试试卷（A卷）
课程名称：线性代数 考试学期：2022-2023-1适用专业：理工科各专业考试形式：闭卷 考试时长：120分钟
一、(30%)填空题
设 2 阶方阵，。若的行列式，则行列式 ______。
设为一个标准正交向量组，则向量的长度 ______。
设向量空间，其中向量。若的维数等于 2，则 ______。
设是向量空间的一组基，中的向量和在这组基下的坐标依次为和，则从基到的过渡矩阵为 ______。
已知线性方程组的增广矩阵行最简形矩阵，其行数等于 2，的通解为，其中为任意数，则 ______。
矩阵的若尔当标准形为 ______（或 ______）。
下列矩阵中， ______ 与相似但不同。
设，其中为 2 阶零矩阵，为 2 阶单位矩阵，则 ______。的伴随矩阵 ______
设 2 阶方阵的特征多项式，多项式，则 ______。
二、(10%)
设矩阵
参数满足什么条件时，不存在矩阵使得？ 参数满足什么条件时，存在无穷多个矩阵使得？此时求出所有满足的矩阵。
三、(10%)
已知列向量组线性无关，，，线性相关. 求参数的值以及的一个极大无关组.
四、(10%)
线性方程组是否有解？如果有解，求它的解；如果无解，求它的最小二乘解.
五、(15%)
已知矩阵与满足，并且。
1、 求的值。2、与是否相似？若相似，求可逆矩阵使得；若不相似，请说明理由。
六、(13%)
已知实二次型经过一个可逆线性变换化为标准形。
1、 二次型的矩阵 ______， ______， ______， ______， ______。
2、 求一个正交变换把化为标准形。
七、(12%) 证明题
1、 已知实矩阵的秩等于，其中为维行向量，为齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基，
证明：线性无关。
2、 设实向量均非零，而且矩阵是对称矩阵。
(1) 证明：都是的特征向量。(2) 设为阶单位矩阵，证明：为正交矩阵当且仅当与的内积大于 -1。
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参考解答
一、(30%)填空题
设 2 阶方阵，。若的行列式，则行列式12。
设为一个标准正交向量组，则向量的长度3。
设向量空间，其中向量。若的维数等于 2，则-17。
设是向量空间的一组基，中的向量和在这组基下的坐标依次为和，则从基到的过渡矩阵为。
已知线性方程组的增广矩阵行最简形矩阵，其行数等于 2，的通解为，其中为任意数，则。
矩阵的若尔当标准形为（或）。
下列矩阵中，C 与相似但不同。
设，其中为 2 阶零矩阵，为 2 阶单位矩阵，则1。的伴随矩阵
设 2 阶方阵的特征多项式，多项式，则。
二、(10%)
设矩阵
参数满足什么条件时，不存在矩阵使得？ 参数满足什么条件时，存在无穷多个矩阵使得？此时求出所有满足的矩阵。
解：，
由此可见，当时，不存在矩阵使得.
当时，存在无穷多个矩阵使得.
此时令，
则的通解为，其中为任意数；
的通解为，其中为任意数.
于是所有满足的矩阵
，其中为任意数.
三、(10%)
已知列向量组线性无关，，，线性相关. 求参数的值以及的一个极大无关组.
解：记.
则. 由可得.
因为向量组线性无关，所以.
当时，可逆. 因而，此时线性无关；
当时，，因而，此时线性相关.
综上所述，当且仅当时，线性相关.
或者由可知.
于是线性相关.
此时
.
由此可见为的一个极大无关组.
注：也是的一个极大无关组，也是的一个极大无关组.
四、(10%)
线性方程组是否有解？如果有解，求它的解；如果无解，求它的最小二乘解.
解：该线性方程组的增广矩阵.
可见，因而原方程组无解.
.
于是可得的解，即的最小二乘解为
.
注：也可以利用克拉默法则求得的解.
五、(15%)
已知矩阵与满足，并且。 1、 求的值。
解: 由可得 ****。
由可得 ****。
2、与是否相似？若相似，求可逆矩阵使得；若不相似，请说明理由。
解： 由上题知。
的一个基础解系为,
的一个基础解系为.
可见 与相似。
令，则可逆且。
六、(13%)
已知实二次型经过一个可逆线性变换化为标准形。
1、 二次型的矩阵，，1，1，2。
2、 求一个正交变换把化为标准形。
解： 由和可知的特征值为
。
也可以直接计算，从而得到的特征值为。
的一个基础解系为,
的一个基础解系为。
这里为正交向量组，单位化得
。
于是令，则为正交矩阵，
。
因而经过正交变换化为标准形 ****。
七、(12%) 证明题
1、 已知实矩阵的秩等于，其中为维行向量，为齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基，证明：线性无关。
证明：若，
则，因而
于是可得。
又因为，故线性无关，
因而线性无关，
从而由
可得。
可见线性无关。
2、 设实向量均非零，而且矩阵是对称矩阵。
(1) 证明：都是的特征向量。
证明： 因为矩阵是对称矩阵，所以
。
令，
则。
其中均非零，可见都是的对应于特征值的特征向量。
(2) 设为阶单位矩阵，证明：为正交矩阵当且仅当与的内积大于 -1。
证明： 因为矩阵是对称矩阵，
所以对于任意的，有。
可见，因而线性相关。
又因为实向量均非零，所以存在非零的实数使得，
因而，
并且由可得，
进而由(1)可知存在正交矩阵使得
，
于是。
故为正定矩阵与的内积大于 -1。
