求a、b、c、d、e满足

写在前面

请先想下：①能否找到答案？②能找到几个答案？③能否做更透彻更进一步的分析？

若有困难，对比看看是否哪里思考存在薄弱；以及同时，对比发现文中有考虑不足之处，也敬请留言！

先奉上答案（本文较长，且第一次用latex公式）：

解答1

5. 故：
6. 即：

解答2

解答3

注：当算完336只有，用了2个方法检查，

其一：336=112×3；其二：336=168×2。

如此，几乎确保112、168、336三个计算都正确。👉[[检查的方法]]

写在分析之前

以下，“👉____”都是数学里一个基础的认知、基础能力、思维、思想等。

涉及：[[思考，数学学习的唯一支点、高效路径和永恒追求]]、[[检查的方法]]、[[这是一道好题吗？]]、[[有迹可循]]、[[原生思考]]、[[向下思考之逻辑截短]]、[[向下思考，向上抽象]]、[[枚举]]、[[特征思想]]、[[代数式中的特征信息]]、[[规则化公式化]]、[[守正出奇]]、[[对偶思想]]、[[一般化]]、[[代数式整除]]、[[中间结果不计算]]、[[学习方法·系统化]]、[[学习方法·结构化]]、[[同构思想]] 

一方面，不是学方法，而是看看方法是怎么思考来的；以及，进一步，一道题的深入分析学习意味着什么？

👉[[有迹可循]]

解题，不能迷于“厉害的、有趣的、神奇的方法”，不能沉迷于方法，不能迷失于方法。 方法，是“思维+知识”积累之后的输出，是他人想好的结果； 更多关注：思考的痕迹，如何自己可以一步一步思考出想要的方法；增强 👉[[原生思考]]的能力

👉[[原生思考]]

这道题作为5年级的奥数题目，对小学生有很大压力。 除了直接告知解题方法外——后面给出简洁的解题规则——对于小学生，依然有依赖于不超纲的能力去原生解决问题的途径。 解下来，我们看看，怎样的思维，能让小学生有机会自己找到解题方法。（放弃关注方法，思考如何找到方法）

👉[[向下思考之逻辑截短]]

这道题，是要解决： 那我们，先解决： 这是一个常用的思维方式。若一个复杂的逻辑体现为单个逻辑的重复，那么不妨从单个逻辑入手。相当于，如果“＋”法不会，就无法做“连＋”；相当于，把火车简化成一节，简化成汽车。 这是问题的第1步。

👉[[向下思考，向上抽象]] 之 向下思考

第2步，怎么完成对 的分解？ 对于大部分小学生，以及部分中学生，甚至大人、老师，都有一些难度。特别是享有一个稳定的方案的时候。（或许你有方法，但请回顾下，这个方法是自己想出来的吗？） 这个情况，解题中常见。此时，有应对策略，就是==“向下思考”==。所谓向下，即用更初级、更原始、更辛苦的方法去应对。比如这里，我们不妨：枚举！ 经过一番辛苦，是可以找到： 不要对“枚举”不屑一顾，原因如下：

👉[[枚举]]

孜孜不倦的枚举、尝试...终将成功。 这个方法不理想，但有其价值。题目越难这个方法价值越大——因为难常意味着没有相近的经验、知识、方法、思维可借鉴，此时，不得已要 ，从基础的工作开始，以期解决问题，以期找到好方法的启示。 简单说，这个方法，可以是起点，但不能不会是终点。这就是认可“枚举”的原因。 那后续，是什么？

👉[[特征思想]]、[[代数式中的特征信息]]

我们，已经千辛万苦的尝试出： 你发现什么了吗？不，如果不提示，你会去尝试发现什么吗？即便这里特征已然非常明显，但不做提醒，还是很多人都忽视，然后进入下一步挣扎。 特征，即信息——在太多数学问题中都有所体现。这里三个数字7、8、56，具有太明显的关联。因此，我们有机会总结出：对于小学生，不会写出上面的式子，但不妨碍内心对这个道理的理解。这就够了，形式不重要。

👉[[向下思考，向上抽象]] 之 向上抽象

基于上面的思考，问题接近完成

3. ... 依次进行下去，答案呼之欲出

至此，多少有点辛苦，但做出来了。且没有用高深的知识，没有用高级的思维。几个关键点仅仅是：①简化为两个单位分数的和；②勇于枚举，以图进展；③观察总结； 客观上，依然不完美，比如如果问题是 ，枚举的缺点极大暴露，需更进一步的方法应对。

👉[[规则化公式化]]

👉[[守正出奇]] 👉[[对偶思想]]

补充，这里有另一个思维方式，有利于解决  即：加法的对偶问题是减法 故：问题变为  即： 故：只需要让m-7=1，即可满足条件 即：m=8，n=56

对偶思想，对于中小学，特别是小学，是陌生的思维方式。故，算作“奇特”方法——正统思想守的扎实，奇特想法自然出现。所谓奇，是另外思维下的正。

至此，小学阶段能做的事情，基本完成； 继续，用中学的能力继续思考——漂亮的解题，此时方开始...

👉[[一般化]]、👉[[代数式整除]]

针对 针对 任意的 针对以上情况，怎么求解？

4. 以上，任意x都通用的3种情况，实际算是2个方案。
5. 若x已知，还能找到之外的更多因子，即更多方案。

注：

1. 以上，利用 代数式整除 分析的能力 （👉[[代数式整除]]）
2. 参考手稿 
   
3. ==这是一个质的进步，有了一个行之有效的方法——随便给一个分数，都可以找到分解的方法，且能找到所有理论上的分解方法。==

👉 [[学习方法·系统化]] - 做扎实

进一步，明确“==所有的分解方法==”是什么样子？若  ：

3.  —— ——
4. 以上18个因数，对应的18个分解方法  ... 依此类推 

注：

1. 检查：
2. OK，以上计算应该正确。👉[[数学检验的必要性（主观和客观原因）]]
3. 另，关于 👉[[中间结果不计算]] 
   以上检查中，通分的分母，76×72×19不要计算 
   以上检查中，不需要约分，纪要计算76×19和1444相等即可

👉[[学习方法·结构化]]

从两项分解  到多项分解 

1. 两项分解，是多项分解的基础
2. 两项分解，第一个通用情况是： 由此衍生的多项分解是：
3. 两项分解，第二个通用情况是 由此衍生的多项分解是：
4. 混合使用以上两个方法 得到这样的分解：
5. 混合方法还有很多种 比如，还可以这样分解：

注

1. 第一个分解，分母是最大的情况吗（好像是）？
2. 第二个分解，分母是最小的情况吗（好像不是）？
3. 如果不是，怎么找到“分母最小”分解？
4. 怎么求证 所有的分解方法，一共有多少个？
5. 文章很长了，此分支延申不动

👉[[学习方法·系统化]] - 不同的理解角度

1. 针对x=1，有  故： 故： 故： 有意思，继续
2. 针对x=1，有  故：
3. 针对x=1，有 
4. 针对x=1，有 
5. 针对x=1，还有  等等
6. ...
7. 以上，拿来可以分解任意分数
8. 以上，提供了一个针对大数的快速分解方法

👉[[同构思想]]

以上， 与等差数列， 逻辑结构上，有异曲同工之妙

👉[[这是一道好题吗？]]

网上看到的一道题，网上常见这类题目。在5年的小学奥数中有，6年级的数学里也有（《市北》一套书有相应章节）。

对于5、6年级学生，算不上一道好题。参考解答，方法容易看明白；但大部分止步于此，这样什么也学不到。所以，这不是一道好的小学奥数题目。带有明显“强方法”的意味，学生自己很难原生的思考出理想的方法。绝大多数是被告知方法，然后掌握了方法，过多这类题目，会导致重视“奇淫巧计”的误区。当然，可通过方法反向验证思维和能力，但这个年龄端做到这一点很少。因此，算是有趣的辅助问题，不是主流的性价比高的好题目。

对于5、6年级学生，高要求学生，是好题目。什么算高要求，严谨的竞赛方向，算；以升学为目的的竞赛参与，不太算；不参加竞赛，但看重能力，算。简单一点：对有想法看完这一篇解析的，那算是好题目；如果只看到答案，掌握方法就停止，这就不是好题目。

对于7、8年级学生，学习过“代数式、分式、分式整除”等知识点，这是一道非常好的题目。充分利用相关知识、思维，去解决问题。且是典型的应用，即不用相关知识还不好做，是个初中的好题目。

写在最后

1. 你还能做更多思考吗？ 
2. 欢迎阅读 [[思考，数学学习的唯一支点、高效路径和永恒追求]]
3. 自由而无用的思考，永无止境的思考。此题，期待您的补充指正！

谨以以上分析，献给数学思维的有趣！