对一道模拟题的改编与思考

第一问是基本操作，利用待定系数法，代入点（0，6）（1，12）即可求得当0≤t≤1时，P与t的关系式是P=6t+6。（4分）

第二问，有学生这样写过程：

两小时内，进料为7×9×2=126（吨），出料9×7×2=126（吨），进、出料总量相等，库中产品存量不变，符合图像特征，所以嘉嘉所想是正确的。

这个解答只考虑到嘉嘉的猜想是合理的，但并不能排除进出料输送线的条数还有其他情况，失于严密，我们只给了结论的1分。

正确解答：

设同步运行m条进料线、n条出料线，根据题意两小时内进、出料重量相等，可得方程7m×2=9n×2。由于m、n均为不大于10的正整数，等式成立只有一种可能，m=9，n=7，也即1≤t≤3时，同步运行9条进料线、7条出料线，所以嘉嘉所想正确且唯一（3分）。

第三问，3≤t≤5时，库存在两小时内从12吨减少到0，所以等量关系为“出料量=进料量+12”，仍设这一段同步运行m条进料线、n条出料线，则可得方程7m×2+12=9n×2，整理得9n=7m+6，因m、n均为不大于10的正整数，等式成立只有一种可能，m=n=3，即进、出料线均为3条（1分）；

至于5小时加工的产品总量，应遵循以下关系式：总量=速度×输送线条数×时间，进料总量+设备运行前未加工的6吨=出料总量。

从进料角度，这5小时加工产品总量=7（6×1+9×2+3×2）+6=216（吨）；

从出料角度，这5小时加工产品总量=9（4×1+7×2+3×2）=216（吨），两种做法都对（1分）。

综上，第一问入口宽大，让大多数学生拿下4分。

第二问属于代数推理，要注意逻辑的严密性，推导满足题意的一般性结论，不能用特殊情况一以泛之。所谓猜想正确，要存在且唯一，是全部而不是局部。

第三问是前一问的拓展和延伸。如果依照图像进出料全算出来，未免失于机械呆板，费时又易错。抛开细节放眼全局，存量最终为零，说明所有产品均得到加工。那么，这5个小时输出的产品总量就是加工的产品总量。

抓住进、出两条主线，无论从哪条主线入手，都能使计算变得简单和纯粹，还可相互印证结论的正确性。可惜对大多数学生来说，此虽不为也，实不能也。

题目满分9分，难度中等，但试卷反馈差强人意。绝大多数学生都拿到了第一问的3分，第二问心知正确但不会说理，第三问因为是直接写出，一小撮学生写对了进、出料条数，而加工总量五花八门，正确者寥寥无几。

这道题考查的是一次函数的图象应用之工效问题。以冷库农产品存量变化为背景，结合分段函数、实际生产中的运输量计算等知识点，考查学生的数学建模能力、分段函数分析能力和实际问题的数学转化能力，覆盖了函数表达式求解、逻辑推理验证、实际应用计算等核心考点，元素多、数据多。

学生对于工效问题并不陌生，知道其等量关系是“工效×工作时间=总工作量”，属于扁平的二维问题。但这道题在原数量上又增加了进、出料输送线的条数以及三个时间分段，数量关系变成“总工作量=工效×工作时间×输送线条数”，题目维度从二维平面关系升格为四维立体模型，跳出了学生原有的知识经验储备和心理预期。

进、出料输送线是两个未知数，等量关系却只有一个，只能得到一个不定方程，学生顿时傻眼。他们只看到了那些摆在明面上的条件，却没有想到实际问题中的一些数量是有条件限制的，比如面积、天数都是正数，人数、物品的个数必须是正整数。加上这些隐含条件，不定方程的解便会锁定在有限范围内，即方程是可解的。

最后一问求加工产品总量，由于时间分为三段，每段的进、出料线条数又不同，学生在列式时不免顾此失彼，算出若干不同的结果。于是越算越乱，不知哪个是对的，蒙着写一个，正确率可想而知。都是数量太多惹的祸。

其实这道题对标的是2025年河北中考第21题。对于这种多元素问题，要想清晰梳理各量关系，列表不失为一条捷径（见下表👇）。

讲解完毕，为检验课堂听讲效果，我将本题做了一些小改动，改编后题目如下——

某冷库有10条进料输送线和10条出料输送线，每条进料输送线每小时输送量6吨，每条出料输送线每小时输送量8吨。设备运行前，冷库中有未加工的农产品6吨，设备启动后，同步运行5条进料输送线和3条出料输送线1个小时，之后两次调整进、出料的条数（每次调整都有进、出料输送线运行），冷库中农产品的存量P(吨)与进、出料输送线的运行时间t（小时）之间的关系如图所示，农产品加工前后重量保持不变。

（1）当0≤t≤1时，求P与t的函数表达式；

（2）嘉嘉认为，当1≤t≤3时，肯定是同步运行8条进料输送线和6条出料输送线。请推断嘉嘉所想是否正确；

（3）若上一问中嘉嘉所想是正确的，请求出3≤t≤5时进、出料输送线的条数和这5小时加工的农产品总量。

（注：标红部分是改动内容，图像未做丝毫变动，满分提至12分）也请大家先做一做，看结果有何不同。

第一问答案不变，仍是P=6t+6。

第二问，设同步运行m条进料线、n条出料线，根据题意可得方程

6m×2=8n×2，化简得3m=4n，在“m、n均为不大于10的正整数”这个条件下，等式成立有两种可能：m=8，n=6或m=4，n=3，也即1≤t≤3时，可能是同步运行8条进料线、6条出料线，也可能是同步运行4条进料线、3条出料线，所以嘉嘉的想法是片面的、不正确的。

第三问，仍设3≤t≤5这一段同步运行m条进料线、n条出料线，则可得方程6m×2+12=8n×2，整理得4n=3m+3。因m、n均为不大于10的正整数，等式成立有两种可能，m=n=3或m=7，n=6，即进、出料线均为3条，或7条进料线、6条出料线。因此问前提是“上一问中嘉嘉所想是正确的”，即1≤t≤3时同步运行8条进料线和6条出料线，加工总量有两种情况（均从出料角度来求）——

当进、出料线均为3条时，这5小时加工产品总量=8（3×1+6×2+3×2）=168（吨），

当进料线为7条、出料线为6条时，5小时加工产品总量=8（3×1+6×2+6×2）=216（吨）.

这次的答题效果反馈，第二问做对的学生比原来增加了四分之一，第三问不少人写对了168吨而忽略了216吨的情况，这也符合我们的预期，毕竟能力的形成与巩固是一个长期的过程。

1、函数的实际应用要立足于函数本身，一定要牢牢把握所学函数的解析式求解、图像特征、几何意义，不能光是“会”，要做到“熟”，能信手拈来；

2、解不定方程或实际问题时，要着眼全局，跳出题目表面赋予的条件，留意各量的实际意义及其所满足的隐性条件，它们往往是最后致胜的关键；

3、题目中元素（维度）较多时可列表梳理各元素间关系、已知或未知，抓住答题线头，一撸到底。

学而时习之，不亦乐乎。做题、讲题不如析题、编题。与其灌学生，不如逼自己。

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