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小昊，我们学完了5.2三角的概念，现在来做复习巩固题啦！我看了一下，这六道题涵盖了定义法求值、终边点求值、特殊角计算、化简、符号判断和知一求二，挺全的。
没错，这些都是三角部分最基础的计算能力。咱们一道一道来过，先把基础打扎实。第1题是用定义法和公式一来求三角函数值。
第1题有4个小题——负的17派除以3、4分之21派、负的6分之23派，还有1500度。这几个角都挺大的，怎么处理？
关键就是先把角化到0到2派之间。公式一告诉我们，终边相同的角，三角函数值相等。所以第一步，看每个角和哪个0到2派之间的角是同终边的。
那先看第一小题，负的17派除以3。
负的3分之17派，这个角在负方向。我们加上2派的整数倍，让它变成0到2派之间的正角。2派等于3分之6派，加3个2派就是加3分之18派。负的3分之17派加3分之18派等于3分之派。所以它和3分之派是同终边的角。
3分之派就是60度。正弦60度等于2分之根号3，阔斯60度等于2分之1，坦特60度等于根号3。
完全正确。第二小题，4分之21派。21除以4等于5点2 5，也就是5又4分之1。减去5个2派看看……2派等于4分之8派，5个2派是4分之40派。4分之21派减去4分之40派等于负的4分之19派，那还得再加一个2派。快捷的方法，21派除以4，取余数。21除以4的余数是1，所以4分之21派相当于转了5圈后再加4分之1派。所以它的三角函数值和4分之派相同。
4分之派就是45度。正弦45度等于2分之根号2，阔斯45度等于2分之根号2，坦特45度等于1。
对。第三小题，负的6分之23派。加上4个派试试。4个派是6分之24派。负的6分之23派加6分之24派等于6分之派。所以它和6分之派同终边。6分之派是30度，正弦30度等于2分之1，阔斯30度等于2分之根号3，坦特30度等于3分之根号3。
第四小题是1500度，这个角度有点大。1500除以360等于4余60，所以1500度等于4乘以360度再加上60度。
没错，它和60度同终边。所以正弦1500度等于2分之根号3，阔斯1500度等于2分之1，坦特1500度等于根号3。所以这第1题练的就是用公式一先把大角化小，再求值。
我明白了。第2题给了一个条件——角阿尔法的终边上有一点皮，坐标是3倍的诶、4倍的诶，其中诶不等于0，求正弦阿尔法、阔斯阿尔法、坦特阿尔法的值。
这题考的是利用终边上的点来定义三角函数。注意有一个关键点，这里给的是3倍的诶和4倍的诶，诶是一个非零参数。第一步，先求点到原点的距离，也就是半径r。r等于根号下横坐标的平方加纵坐标的平方，也就是根号下3倍的诶的平方加上4倍的诶的平方，等于根号下9倍的诶方加16倍的诶方，等于根号下25倍的诶方，等于5倍的绝对值诶。
为什么出来的是绝对值诶，而不是直接5倍的诶？
因为距离必须是非负数，而3倍的诶和4倍的诶里，诶可以是负数，所以r得用5倍的绝对值诶来表示。然后正弦阿尔法等于纵坐标除以r，也就是5倍的绝对值诶分之4倍的诶。同样，阔斯阿尔法等于横坐标除以r，也就是5倍的绝对值诶分之3倍的诶。坦特阿尔法等于纵坐标除以横坐标，也就是3倍的诶分之4倍的诶，化简为3分之4。
也就是说，坦特阿尔法和诶的正负没关系，但正弦阿尔法和阔斯阿尔法的正负和诶的正负有关系？
没错！当诶大于0时，绝对值诶等于诶，正弦阿尔法就等于5分之4，阔斯阿尔法等于5分之3。当诶小于0时，绝对值诶等于负诶，正弦阿尔法就等于负的5分之4，阔斯阿尔法等于负的5分之3。坦特阿尔法始终是3分之4。这就是用终边上的点求三角函数值的完整方法。
好的！第3题是计算题，4个小题，全都是特殊角的三角函数值。
没错，这题考的就是对0度、90度、180度、270度、360度这些特殊角的三角函数值是否熟记于心。我们先看第一小题。
第一小题：6倍的正弦负90度加上3倍的正弦0度减去8倍的正弦270度加上12倍的阔斯180度。
我们一个个来。正弦负90度等于负1，所以6倍的负1等于负6。正弦0度等于0。正弦270度等于负1，所以8倍的负1是负8，但前面是减号，减去8倍的正弦270度就变成减去负8，也就是加8。阔斯180度等于负1，所以12倍的负1等于负12。合起来：负6加0加8减12，等于负10。
嗯，负6加8等于2，2减12等于负10。第二小题：10倍的阔斯270度加4倍的正弦0度加9倍的坦特0度加15倍的阔斯360度。
阔斯270度等于0，10乘以0是0。正弦0度是0，4乘以0是0。坦特0度是0，9乘以0是0。阔斯360度等于1，15乘以1等于15。所以结果是15。
全部是0加0加0加15等于15。第三小题有点长：2倍的阔斯2分之派减去坦特4分之派加上4分之3倍的坦特方6分之派减去正弦6分之派加上阔斯方6分之派加上正弦2分之3派。
别怕，逐个击破。阔斯2分之派等于0，所以2乘以0是0。坦特4分之派等于1，所以前面是减1。坦特6分之派等于3分之根号3，它的平方是3分之1，再乘以4分之3，得4分之1。正弦6分之派等于2分之1。阔斯方6分之派，阔斯6分之派是2分之根号3，平方是4分之3。正弦2分之3派等于负1。现在加总：0减1加4分之1减2分之1加4分之3减1。
我们来合并。4分之1加4分之3等于1。负1减1等于负2。减2分之1。所以是1减2减2分之1……
等于负的2分之3，也就是负1点5。
第四小题：正弦方3分之派加上阔斯的4次方2分之3派减去坦特方3分之派。
正弦3分之派等于2分之根号3，平方是4分之3。阔斯2分之3派等于0，0的4次方还是0。坦特3分之派等于根号3，平方是3，前面是减号，所以减去3。结果是4分之3加0减3，等于负的4分之9，也就是负2点2 5。
所以做这类题，关键是准确记住每个特殊角的三角函数值，然后一步一步代入计算。
对，千万不要跳步，把每一步的值写清楚，计算时细心，就不会出错。
第4题是化简题，也是4个小题。不过这道题里带着参数。
第4题也是特殊角三角函数值的直接应用，只不过参数作为系数跟着一起算。先看第一小题：a倍的正弦0度加上b倍的阔斯90度加上c倍的坦特180度。正弦0度是0，所以第一项是0。阔斯90度是0，第二项也是0。坦特180度是0，第三项也是0。所以整个式子化简结果就是0。这就是不管参数是谁，乘以0都得0。
第二小题：负的p方倍的阔斯180度加上q方倍的正弦90度减去2倍的p q倍的阔斯0度。
阔斯180度等于负1，所以负的p方乘以负1等于p方。正弦90度等于1，所以第二项是q方乘以1等于q方。阔斯0度等于1，所以减去2倍的p q乘以1等于减2倍的p q。最后结果是p方加q方减2倍的p q，合起来就是p减q的平方。
哎，化简完还能因式分解成完全平方，很巧妙。第三小题：a方倍的阔斯2派减去b方倍的正弦2分之3派加上a b倍的阔斯派减去a b倍的正弦2分之派。
阔斯2派等于1，所以第一项是a方。正弦2分之3派等于负1，减去b方乘以负1等于加b方。阔斯派等于负1，a b乘以负1等于负的a b。正弦2分之派等于1，减去a b乘以1等于减去a b，也就是减a b。所以负的a b再减a b等于负2倍的a b。结果是a方加b方减2倍的a b，也就是a减b的平方。
又是完全平方！第四小题：m倍的坦特0加上n倍的阔斯2分之派减去p倍的正弦派减去q倍的阔斯2分之3派减去r倍的正弦2派。
坦特0等于0，第一项是0。阔斯2分之派等于0，第二项是0。正弦派等于0，第三项是0。阔斯2分之3派等于0，第四项是0。正弦2派等于0，第五项是0。全部都是0，所以结果是0。
看来化简题的关键也是先代入特殊角的三角函数值，再把系数运算合并。第5题是判断符号，6个小题。
判断三角函数值的符号，关键看角的终边在第几象限。还记得那句口诀吧？一全正，二正弦正，三正切正，四余弦正。也就是第一象限全都正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。
那看第一小题，正弦186度。
186度比180度大，比270度小，所以在第三象限。第三象限只有正切为正，所以正弦186度是负数。
第二小题，坦特505度。505度减360度等于145度，145度在第二象限，第二象限只有正弦为正，所以坦特505度是负数。
没错。第三小题，正弦7点6派。一个2派是2派，7点6派除以2派等于3点8。也就是先减去3个2派，等于7点6派减6派等于1点6派。1点6派在派和2分之3派之间，属于第四象限。第四象限只有阔斯为正，所以正弦7点6派是负数。
第四小题，坦特负的4分之23派。这个要先化简。负的4分之23派加上几个2派……2派等于4分之8派，加3个就是4分之24派。负的4分之23派加4分之24派等于4分之派。4分之派在第一象限，第一象限全部为正，所以坦特负的4分之23派是正数。
注意，这里其实是负的4分之23派加上3个2派，但因为负的4分之23派本身很小，加上4分之24派正好到4分之派，和4分之派同终边。第一象限，坦特为正。第五小题，阔斯940度。940度减去2个360度等于220度。220度在第三象限，阔斯为负。
第六小题，阔斯负的17分之59派。
负的17分之59派是个负角，先把它变成正角。加4个派试试。4个派是17分之68派。负的17分之59派加17分之68派等于17分之9派。17分之9派，17分之9约等于0点5 3派，在0到2分之派之间，属于第一象限。第一象限阔斯为正。所以答案是正数。
所以判断符号的核心就是两步——先把角转化成0到2派之间的标准位置角，再判断它在第几象限，最后根据口诀确定符号。
没错。最后一题，第6题，也是4个小题，是已知一个三角函数值求另外两个，用平方关系和商数关系。
第一小题：已知正弦阿尔法等于负的2分之根号3，且阿尔法为第四象限角，求阔斯阿尔法和坦特阿尔法。
用平方关系，正弦方阿尔法加阔斯方阿尔法等于1。正弦阿尔法是负的2分之根号3，平方是4分之3。所以阔斯方阿尔法等于1减4分之3等于4分之1。阔斯阿尔法等于正负2分之1。因为阿尔法是第四象限角，第四象限阔斯为正，所以阔斯阿尔法等于正的2分之1。坦特阿尔法等于正弦阿尔法除以阔斯阿尔法，等于负的2分之根号3除以2分之1，等于负的根号3。
第二小题：已知阔斯阿尔法等于负的13分之5，且阿尔法为第二象限角，求正弦阿尔法和坦特阿尔法。
阔斯方阿尔法等于169分之25。正弦方阿尔法等于1减去169分之25等于169分之144。正弦阿尔法等于正负13分之12。因为第二象限正弦为正，所以正弦阿尔法等于正的13分之12。坦特阿尔法等于正弦除以阔斯，等于13分之12除以负的13分之5，等于负的5分之12。
第三小题换了一下——已知坦特阿尔法等于负的4分之3，求正弦阿尔法和阔斯阿尔法的值。这个没有直接给象限诶。
注意，坦特阿尔法为负，说明阿尔法在第二象限或者第四象限。因为坦特在第二象限为负，第四象限也为负。所以这道题需要分情况讨论。我们用方程组来做。由坦特阿尔法等于正弦阿尔法除以阔斯阿尔法等于负的4分之3，可得正弦阿尔法等于负的4分之3倍的阔斯阿尔法。再代入平方关系，正弦方阿尔法加阔斯方阿尔法等于1。
代入后得到，16分之9倍的阔斯方阿尔法加上阔斯方阿尔法等于1，合并得16分之25倍的阔斯方阿尔法等于1，所以阔斯方阿尔法等于25分之16。
阔斯阿尔法等于正负5分之4。当阔斯阿尔法等于5分之4时，阿尔法在第四象限，正弦阿尔法等于负的4分之3乘以5分之4，等于负的5分之3。当阔斯阿尔法等于负的5分之4时，阿尔法在第二象限，正弦阿尔法等于负的4分之3乘以负的5分之4，等于正的5分之3。
所以这道题有两组解，对应两种可能——第二象限一组，第四象限一组。
最后一小题，已知阔斯阿尔法等于0点6 8，求正弦阿尔法和坦特阿尔法，精确到0点0 1。
先算正弦方阿尔法等于1减去0点6 8的平方。0点6 8的平方是0点4 6 2 4。1减0点4 6 2 4等于0点5 3 7 6。开根号的正弦阿尔法约等于正负0点7 3。因为只知道余弦是0点6 8，是正数，阿尔法可能在第一或第四象限，所以正弦有两种可能。坦特阿尔法等于正弦除以余弦，约等于正负0点7 3除以0点6 8，约为正负1点0 7。
这道题虽然没有明确给象限，但余弦为正说明阿尔法在第一或第四象限，对应正弦的正负两种情况，所以有两组答案。
好，六道题全部过了一遍。我来总结一下这组复习巩固题的核心方法。第一，用公式一将大角化到0到2派之间再求值。第二，利用终边上点求三角函数值时，注意r要用绝对值，并且要根据参数正负和象限讨论符号。第三，要熟记0度、30度、45度、60度、90度等特殊角的三角函数值。第四，判断符号记住口诀"一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正"。第五，知一求二要用好平方关系和商数关系，并且注意象限对符号的约束。
总结得非常到位！这些方法之间是环环相扣的，把基础打牢了，后面更复杂的三角恒等变换才能学得顺。希望大家把这六道题好好消化，有问题随时讨论！
