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小昊，复习巩固题和综合运用题我们都做完了，现在到最后的"拓广探索"篇了！这部分虽然只有3道题，但听名字就知道，肯定要动脑筋了。
没错。"拓广探索"的要求比综合运用更高一层，不光要会算，还要会推理、会探究、会证明。第16到第18题，我们来逐个击破。
好！先看第16题，化简根号下1加赛因阿尔法除以1减赛因阿尔法，减去根号下1减赛因阿尔法除以1加赛因阿尔法，其中阿尔法是第二象限角。这个形式看着有点复杂啊。
确实，两层根号里面还有分式，不过别怕，我们一步一步来。先看第一个根号里面的分式：1减赛因阿尔法分之1加赛因阿尔法。遇到这种形式，我们通常的做法是分子分母同乘以1加赛因阿尔法。分母变成括号1减赛因阿尔法括号乘括号1加赛因阿尔法括号，也就是1减赛因阿尔法的平方。而赛因阿尔法的平方等于1减扣赛因阿尔法的平方，所以分母等于扣赛因阿尔法的平方。分子是括号1加赛因阿尔法括号的平方。所以第一个根号就等于根号下扣赛因阿尔法的平方分之括号1加赛因阿尔法括号的平方。
根号下平方，可以直接开出来吗？要注意符号吧？
提醒得好！根号下a的平方等于a的绝对值，所以第一个根号等于扣赛因阿尔法的绝对值分之1加赛因阿尔法的绝对值。第二个根号呢，分子分母同乘以1减赛因阿尔法，会得到扣赛因阿尔法的平方分之括号1减赛因阿尔法括号的平方，开根号就是扣赛因阿尔法的绝对值分之1减赛因阿尔法的绝对值。
所以整个式子等于扣赛因阿尔法绝对值分之括号1加赛因阿尔法的绝对值减去1减赛因阿尔法的绝对值括号。那赛因阿尔法在第二象限是正的，所以1加赛因阿尔法和1减赛因阿尔法……等等，1减赛因阿尔法，赛因阿尔法小于1，所以1减赛因阿尔法也是正的！所以两个绝对值都可以去掉。
对！第二象限赛因阿尔法大于0，而且最大是1，所以1加赛因阿尔法大于0，1减赛因阿尔法也大于0。那么分子就是1加赛因阿尔法减括号1减赛因阿尔法括号，等于1加赛因阿尔法减1加赛因阿尔法，等于2倍赛因阿尔法。
那分母呢？扣赛因阿尔法的绝对值，第二象限扣赛因阿尔法是负的，所以绝对值等于负扣赛因阿尔法。
非常正确！所以整个式子等于负扣赛因阿尔法分之2倍赛因阿尔法，也就等于负2倍扣赛因阿尔法分之赛因阿尔法，等于负2倍谭俊特阿尔法。这就是化简结果。
所以最终答案是负2倍谭俊特阿尔法。这道题告诉我们，化简时不仅要会用分母有理化，还要时刻关注角所在象限，决定绝对值怎么去。第17题呢？它说从例7可以看出，扣赛因埃克斯除以1减赛因埃克斯等于1加赛因埃克斯除以扣赛因埃克斯，就是赛因埃克斯的平方加扣赛因埃克斯的平方等于1的一个变形。问我们能推导出更多的关系式吗？
这是一个开放式的探究题。已知赛因平方加扣赛因平方等于1，我们可以怎么变形呢？最直接的就是移项：赛因平方等于1减扣赛因平方，扣赛因平方等于1减赛因平方。
嗯，这看起来好像没什么特别的。还有别的变形吗？
当然有！比如把1写成赛因平方加扣赛因平方，然后代入到一些表达式里。像例7那样，把1减赛因埃克斯分之扣赛因埃克斯，通过分子分母同乘以1加赛因埃克斯，变成了1加赛因埃克斯分之扣赛因埃克斯。反过来也一样。其实我们可以把赛因平方加扣赛因平方等于1这个式子两边同时除以扣赛因平方，得到1加谭俊特平方等于西肯特平方。两边同时除以赛因平方，得到1加扣谭俊特平方等于扣西肯特平方。
哦！这两个关系式是新知识吧？书上好像还没学到。
对，它们是同角关系式的延伸。虽然我们课本上目前只讲了三个基本关系式——赛因平方加扣赛因平方等于1、谭俊特等于赛因除以扣赛因、还有扣谭俊特等于扣赛因除以赛因——但实际上通过简单的代数变形，可以得到无穷多种形式。比如还可以推导出扣赛因埃克斯除以1加赛因埃克斯等于1减赛因埃克斯除以扣赛因埃克斯等等。所以这道题的核心就是：不要死记硬背公式，要理解公式是怎么来的，能怎么变。
明白了，同一个基本关系式可以变形出很多不同的形式。第18题呢？第一小题要求分别计算赛因3分之派的4次方减扣赛因3分之派的4次方，和赛因3分之派的平方减扣赛因3分之派的平方，看看有什么发现。
3分之派是60度，赛因60度等于2分之根号3，扣赛因60度等于2分之1。先算第一个：赛因3分之派的4次方减扣赛因3分之派的4次方，等于括号2分之根号3的4次方减括号2分之1的4次方。2分之根号3的平方是4分之3，再平方是16分之9。2分之1的平方是4分之1，再平方是16分之1。所以第一个式子是16分之9减16分之1等于16分之8等于2分之1。再算第二个：赛因3分之派的平方减扣赛因3分之派的平方等于4分之3减4分之1等于4分之2等于2分之1。
两个结果都是2分之1！那它们是相等的？
对！所以第一小题的发现就是：对于3分之派这个角，赛因的4次方减扣赛因的4次方等于赛因的平方减扣赛因的平方。
那第二小题呢？任意取一个阿尔法的值，分别计算赛因阿尔法的4次方减扣赛因阿尔法的4次方，和赛因阿尔法的平方减扣赛因阿尔法的平方，看有什么发现。
我们来试一个，比如取阿尔法等于4分之派。赛因4分之派等于2分之根号2，扣赛因4分之派也等于2分之根号2。赛因4次方减扣赛因4次方，都是16分之4等于4分之1，所以相减等于0。赛因平方减扣赛因平方，都是2分之1，相减也等于0。又相等！再试一个取阿尔法等于6分之派，赛因等于2分之1，扣赛因等于2分之根号3。赛因4次方等于16分之1，扣赛因4次方等于16分之9，相减等于负16分之8等于负2分之1。赛因平方等于4分之1，扣赛因平方等于4分之3，相减等于负4分之2等于负2分之1。还是相等！
看起来对任意阿尔法，这两个式子都相等？那第三小题就是让我们证明这个结论了。
没错！第三小题要证明：对任意埃克斯属于实数，赛因埃克斯的平方减扣赛因埃克斯的平方等于赛因埃克斯的4次方减扣赛因埃克斯的4次方。我们可以从右边证到左边。赛因埃克斯的4次方减扣赛因埃克斯的4次方，用平方差公式，等于括号赛因埃克斯的平方加扣赛因埃克斯的平方括号，乘括号赛因埃克斯的平方减扣赛因埃克斯的平方括号。而赛因埃克斯的平方加扣赛因埃克斯的平方等于1，所以右边就等于1乘括号赛因埃克斯的平方减扣赛因埃克斯的平方括号，也就是赛因埃克斯的平方减扣赛因埃克斯的平方。左边右边相等，证毕。
原来这么简单！用平方差公式一步就出来了。这道题的启示是，在做题时如果发现一些看起来很巧合的相等关系，不妨试试能不能证明它对所有情况都成立。说不定就发现了一个恒等式！
总结得非常到位！今天我们做完了拓广探索的三道题。第16题通过分母有理化和象限分析化简三角根式；第17题通过同角关系式的基本变形，推导更多恒等式；第18题通过计算发现并证明了一个重要的恒等式——赛因平方减扣赛因平方等于赛因4次方减扣赛因4次方。这三道题都要求我们不能只会机械计算，还要会思考、会推理、会发现。
好的！至此，习题5.2三角的概念全部完成了——从复习巩固到综合运用再到拓广探索，内容非常丰富！沈老师布置的这套题，我们彻底搞定了！
是的，希望同学们也能跟着我们一起，把三角函数的定义、同角关系式、诱导公式、象限符号判断这些基础知识都掌握扎实。下次再见！
