笔记《可视化微分几何和形式》-序幕的习题-2026.8.16

序幕的习题

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习题1：

画一个边长为x的立方体，其体积为V=x³。

然后，保持这个立方体的一个顶点不变，将立方体画得稍大一些，使得边长为 x+δx。

记这样引起的体积增量为δV，用这个图推导：(x³)'=dV/dx=3x²。

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证明。

先画一个立方体。

立方体的每条边的长度为x。

立方体的体积 V=x³。

再固定一个顶点。

与这个顶点相交的三条边，长度都增加δx。

新的立方体的体积为 V'=(x+δx)³。

δV=V'-V=(x+δx)³-x³。

画在图中如下：

红色的立方体，是原来的边长为x的立方体。

固定左下方的顶点不变。

将三条边都延长δx，得到新的边长为(x+δx)的立方体。

从图中可以看出：

V'=V+蓝色的三个长方体+绿色的三个长方体+黄色的一个小立方体。

蓝色的长方体的体积=x*x*δx。

绿色的长方体的体积=x*δx*δx。

黄色的小立方体的体积=δx*δx*δx。

所以，δV=V'-V=3*(x*x*δx)+3*(x*δx*δx)+δx*δx*δx。

所以，δV/δx=3x²+3x*δx+δx*δx。

当δx→0时，δV/δx≍3x²。

相当于去掉了：绿色的三个长方体+黄色的一个小立方体。

即 当δx→0时，立方体增加的体积，最终等于：蓝色的三个长方体。

所以有 dV/dx=3x²。

V=x³。

所以，(x³)'=3x²。