CPA | 财管真题 二叉树期权定价+套利+多头对敲

各位备考CPA财管的同学们，大家好！今天咱们来看一道2024年计算分析题，整整9分，把「二叉树模型、风险中性原理、看涨看跌期权平价定理、复制原理套利、多头对敲（买入跨式组合）不亏损区间」五大期权核心考点全打包了。

很多同学要么在算上行概率时忘了把无风险利率折半，要么搞反了套利方向（到底是该卖期权还是买期权），要么在计算组合不亏损区间时漏了分段讨论。

甲公司是一家上市公司，目前股票每股市价为50元。6个月以后股价有两种可能：上升25%或下降20%。

市场上有两种以该股票为标的资产的期权：看涨期权和看跌期权。每份看涨期权可买入1股股票，每份看跌期权可以卖出1股股票。两种期权执行价格均为51.25元，到期时间均为6个月。期权到期前，甲公司不派发现金股利，无风险利率为每年4%。

注：计算股票价格区间和组合净损益时，均不考虑货币时间价值。

要求（共3小问，9分）

(1) 利用风险中性原理，计算看涨期权股价上行时到期日价值、上行概率及期权价值；利用看涨期权-看跌期权平价定理，计算看跌期权的期权价值。

(2) 假设目前市场上每份看涨期权的价格为6元，分析是否存在套利空间；如果存在，指出应当如何进行套利。

(3) 假设目前市场上每份看涨期权的价格为6元，每份看跌期权的价格为4元，投资者同时买入1份看涨期权和1份看跌期权，计算确保该组合不亏损的股票价格区间。

(1) 风险中性原理+看涨看跌期权平价定理

· 风险中性原理核心公式：期望报酬率 = 无风险利率 = 上行概率×股价上升百分比 + 下行概率×(-股价下降百分比)。注意：无风险利率要与期权到期时间匹配，本题是6个月，需用半年利率（4%÷2=2%）。

· 看涨期权-看跌期权平价定理：标的资产价格S + 看跌期权价格P = 看涨期权价格C + 执行价格现值PV(X)。

先算上行和下行股价，再算期权到期日价值，接着解方程求概率，最后算期权价值。看跌期权价值直接用平价定理倒推，比用风险中性算看跌再折现更快。

【答案】

· 股价上行时到期日股价 = 50 × (1 + 25%) = 62.5（元）

· 股价下行时到期日股价 = 50 × (1 - 20%) = 40（元）

· 股价上行时看涨期权的到期日价值 = 62.5 - 51.25 = 11.25（元）

· 股价下行时看涨期权的到期日价值 = Max(0, 40 - 51.25) = 0（元）

· 半年期无风险利率 = 4% ÷ 2 = 2%

· 设上行概率为 Pu，则：2%=Pu×25%+(1−Pu)×(−20%)

解得：上行概率 = 0.4889（★0.5分），下行概率 = 1 - 0.4889 = 0.5111

· 看涨期权价值 C0 = (11.25 × 0.4889 + 0.5111 × 0) ÷ (1 + 2%) = 5.39（元）

· 看跌期权价值 P = C+PV(X)−S = 5.39 + 51.25 ÷ (1 + 2%) - 50 = 5.64（元）

(2) 套利空间分析与套利策略

· 套利核心逻辑：期权价格 > 期权价值 → 卖出期权 + 买入复制组合（借款买股票）；期权价格 < 期权价值 → 买入期权 + 卖出复制组合。

· 复制原理公式：

· 购买股票股数 H=(Cu−Cd)÷(Su−Sd)

· 借款金额 B=(H×Sd−Cd)÷(1+r)

本题看涨期权市价6元 > 价值5.39元，价格被高估，应卖出看涨期权，同时买入复制组合（即借款买股票），实现无风险套利。

【答案】

· 由于该看涨期权价值5.39元与期权价格6元不相等，存在套利空间。

· 购买股票的股数 H = (11.25 - 0) ÷ [50 × (1 + 25%) - 50 × (1 - 20%)] = 0.5（股）

· 借款金额 B = (0.5 × 40 - 0) ÷ (1 + 2%) = 19.61（元）

· 套利策略：通过借款19.61元，购买0.5股股票，并卖出1份看涨期权，即可实现套利，每份套利金额 = 6 - 5.39 = 0.61（元）。

(3) 多头对敲（买入跨式组合）不亏损区间

· 多头对敲 = 同时买入一份看涨期权 + 一份看跌期权。

· 组合净损益 = 看涨期权净损益 + 看跌期权净损益 = Max(股票市价 - 执行价格, 0) - 看涨期权价格 + Max(执行价格 - 股票市价, 0) - 看跌期权价格

· 计算不亏损区间，需分股价大于执行价和小于执行价两种情况讨论。

本题执行价格51.25元，看涨期权成本6元，看跌期权成本4元，总成本10元。股价大涨时靠看涨赚钱，股价大跌时靠看跌赚钱，不亏的关键是涨跌幅能覆盖10元的总成本。

【答案】

· 买入看涨期权的净损益 = Max(股票市价 - 51.25, 0) - 6

· 买入看跌期权的净损益 = Max(51.25 - 股票市价, 0) - 4

· 组合净损益 = Max(股票市价 - 51.25, 0) + Max(51.25 - 股票市价, 0) - 10

当股价 > 执行价格（51.25元）时：

组合净损益 = (股票市价 - 51.25) - 10 ≥ 0

解得：股票市价 ≥ 61.25（元）

当股价 < 执行价格（51.25元）时：

组合净损益 = (51.25 - 股票市价) - 10 ≥ 0

解得：股票市价 ≤ 41.25（元）

所以，确保该组合不亏损的股票价格区间为：0 ~ 41.25元 和 61.25元以上。

做完这道题你会发现，期权定价的考点逻辑极其清晰，记牢这四句话，同类题直接秒杀：

✅ 风险中性求概率：期望报酬率=无风险利率，半年利率要折半

✅ 期权价值看折现：上行下行价值乘概率，除以（1+无风险利率）

✅ 套利方向看价格：价高卖期权买组合，价低买期权卖组合

✅ 多头对敲看两头：大涨看涨跌，大跌看跌涨，不亏区间分两段算

祝大家2026年财管必过！如果觉得这篇解析有用，记得点赞、在看、转发三连～咱们下期见！