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广东省广州二中 2021-2022 学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在以下绿色包装、可回收、节水、低碳四个环保图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那
么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（3分）下列函数一定是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x2
C．y＝x2+ D．y＝（x+1）2﹣x2
【分析】根据一元二次函数的定义求解即可．
【解答】解：A、a＝0是一次函数，故A不符合题意；
B、是二次函数，故B符合题意；
C、不是整式，不是二次函数，故C不符合题意；
D、整理后是一次函数，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：B．
3．（3分）二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
第1页（共21页）A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴二次函数图象的顶点坐标是（1，2）．
故选：A．
4．（3分）抛物线y＝x2+2x﹣4的对称轴是（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
【分析】把二次函数解析式配方成顶点式的形式，然后即可写出对称轴．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，
故对称轴是直线x＝﹣1，
故选：D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点是（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（3，2）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，2），
故选：A．
6．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣3，先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+5）2﹣1 B．y＝（x+5）2﹣5 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣5
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝（x+2）2﹣3，先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单
位长度后所得抛物线的解析式为：y＝（x+2﹣3）2﹣3+2，即y＝（x﹣1）2﹣1；
故选：C．
7．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝5 B．（x﹣2）2＝0 C．（x+1）2＝5 D．（x﹣1）2＝4
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程移项得：x2﹣2x＝4，
配方得：x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，
故选：A．
第2页（共21页）8．（3分）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣5m﹣6的图象经过原点，则m的值必为（ ）
A．﹣1和6 B．﹣1 C．6 D．无法确定
【分析】将原点坐标代入二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣5m﹣6中即可求出m的值，注意
二次函数的二次项系数不为零．
【解答】解：根据题意得m2﹣5m﹣6＝0，
所以m＝﹣1或m＝6，
又因为二次函数的二次项系数不为零，即m+1≠0，
所以m＝6．
故选：C．
9．（3分）如图，圆O的直径为10，弦AB的长为6，P为弦AB上的动点，则线段OP长
的取值范围是（ ）
A．3＜OP＜5 B．3≤OP≤5 C．4＜OP＜5 D．4≤OP≤5
【分析】连接OA，过点O作OH⊥AB于H，根据垂径定理求出AH，再根据勾股定理求
出OH，然后根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：连接OA，过点O作OH⊥AB于H
则AH＝HB＝ AB＝3，
∵圆O的直径为10，
∴OA＝5，
由勾股定理得，OH＝ ＝ ＝4，
当点P与点A（或点B）重合时，OP最大，当点P与点H重合时，OP最小，
∴线段OP长的取值范围是4≤OP≤5，
故选：D．
第3页（共21页）10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc
＜0；②2a+b＝0；③a+b+c＜0；④3a+c＞0．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，利
用抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对①进行判断；利用x＝﹣1得到y
＝a﹣b+c＞0，然后把b＝﹣2a代入后可对②进行判断；根据二次函数的性质得x＝1时，
y有最小值a+b+c＜0，则可对③进行判断．由于a﹣b+c＞0和a+b+c＜0，而（a+c）2
﹣b2可分解为（a+c﹣b）（a+b+c），则可对④进行判断．
【解答】解：∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，﹣ ＝1，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，结论①正确；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论②正确；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，结论③正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
即a+2a+c＝3a+c＞0，所以④正确；
综上所述：正确的结论有①②③④．
第4页（共21页）故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）方程x（2﹣x）＝0的解为 x1 ＝0，x2 ＝2 ．
【分析】根据已知方程得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：∵x（2﹣x）＝0，
∴x＝0或2﹣x＝0，
解得x1 ＝0，x2 ＝2，
故答案为：x1 ＝0，x2 ＝2．
12．（3分）如图，MN为圆O的弦，∠OMN＝35°，那么∠MON为 110° ．
【分析】根据圆的性质及等腰三角形的内角和为180°可得答案．
【解答】解：∵MN为圆O的弦，
∴OM＝ON，
∴∠OMN＝∠ONM＝35°，
∴∠MON＝180°﹣2∠OMN＝180°﹣2×35°＝110°．
故答案为：110°．
13．（3分）已知A（﹣2，y1 ），B（5，y2 ）为函数y＝x2+a图象上的两点，比较y1 与y2 的
大小：y1 ＜ y2 （填＞，＜或＝）．
【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为y轴，再根据二次函数的增减性解答．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+a，
∴图象开口向上，对称轴为y轴，
∴A（﹣2，y1 ）与（2，y1 ）关于y轴对称，
∵当x＞0时，y随x的增大而增大，且5＞2，
∴y1 ＜y2 ．
故答案为＜．
14．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对
第5页（共21页）应点D恰好落在BC边上．若AB＝1，∠B＝60°，则CD的长为 1 ．
【分析】易证△ABD是等边三角形，再通过证明∠C＝∠CAD＝30°，从而有AD＝CD
＝1，
【解答】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，
∴AD＝AB，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝1，∠ADB＝60°，
∵∠CAB＝90°，∠B＝60°，
∴∠C＝30°，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴AD＝CD＝1，
故答案为：1．
15．（3分）某商店以30元的价格购进了一批服装，若按每件50元出售，一个月内可销售
100件；当售价每提价1元时，其月销售量就减少5件．当利润达到1875元时，设售价
提价x元，则可列方程为 （50﹣30+x）（100﹣5x）＝1875 ．
【分析】直接利用“每件利润×销量＝总利润”，进而得出等式得出答案．
【解答】解：设售价提价x元，则可列方程为：（50﹣30+x）（100﹣5x）＝1875．
故答案为：（50﹣30+x）（100﹣5x）＝1875．
16．（3分）如图，等边△ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O
旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD
＝OE；②四边形ODBE的面积始终等于 ；③S
△ODE
＝S
△BDE
；④△BDE周长的最小
值为3．其中正确的结论是 ①②④ （填序号）．
第6页（共21页）【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30
°，再证明∠BOD＝∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则
可对①进行判断；利用S △BOD ＝S △COE 得到四边形ODBE的面积＝ S △ABC ＝ ，则可
对②进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，计算出S
△ODE
＝ OE2，利用S
△ODE
随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对③进行判断；由于△BDE的周长
＝BC+DE＝2+DE＝2+ OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周
长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；
∴S
△BOD
＝S
△COE
，
∴四边形ODBE的面积＝S △OBC ＝ S △ABC ＝ × ×22＝ ，所以②正确；
第7页（共21页）作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝ OE，HE＝ OH＝ OE，
∴DE＝ OE，
∴S
△ODE
＝ OE• OE＝ OE2，
即S
△ODE
随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S
△ODE
≠S
△BDE
；所以③错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝2+DE＝2+ OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝ ，
∴△BDE周长的最小值＝2+1＝3，所以④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6分）解方程．
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次
方程，再进一步求解即可；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再
进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣8＝0，
第8页（共21页）∴（x+2）（x﹣4）＝0，
则x+2＝0或x﹣4＝0，
解得x1 ＝﹣2，x2 ＝4；
（2）∵x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
则x﹣1＝0或x+2＝0，
解得x1 ＝1，x2 ＝﹣2．
18．（4分）若二次函数图象的对称轴方程是直线x＝ ，并且图象过A（0，﹣4）和B（4，
0），求此二次函数的解析式．
【分析】设二次函数表达式为y＝a（x﹣ ）2+k，将点A（0，﹣4）和B（4，0）代入求
得a、k的值即可得．
【解答】解：根据题意，设二次函数表达式为y＝a（x﹣ ）2+k，
将点A（0，﹣4）和B（4，0）代入，得： ，
解得： ，
∴二次函数表达式为y＝（x﹣ ）2﹣ ．
19．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（2，4）、B（1，0）、C（3，1）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°的△A1BC1 ；
（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2 ；
（3）△A1BC1 可由△A2B2C2 绕点M旋转得，请写出点M的坐标： （0，﹣1） ．
第9页（共21页）【分析】（1）将点A、C分别绕点B逆时针旋转90°得到其对应点，再首尾顺次连接即
可；
（2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）作C1C2 、BB1 中垂线，交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1BC1 即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2 即为所求．
（3）如图所示，点M即为所求，其坐标为（0，﹣1）．
20．（6分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋
转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）求∠AFC的度数．
第10页（共21页）【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD＝∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE
全等．
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，
∴∠ABC＝∠DBE＝40°，
∴∠ABD＝∠CBE＝100°，
又∵BA＝BC，
∴AB＝BC＝BD＝BE，
在△ABD与△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
（2）解：∵∠ABD＝∠CBE＝100°，BA＝BC＝BD＝BE，
∴∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝40°．
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝140°，
∴∠AFE＝360°﹣∠ABE﹣∠BAD﹣∠BEC＝140°，
∴∠AFC＝180°﹣AFE＝40°．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个实数根．
（1）求c的取值范围；
（2）若方程x2+6x+c＝0的两个根的差为2，求c的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝62﹣4c≥0，然后解不等式即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，根据方程x2+6x+c
第11页（共21页）＝0的两个根的差为2，则（x1 ﹣x2 ）2＝（x1+x2 ）2﹣4x1 •x2 ＝4，代入两根之和与两根之
积，即可求得c的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝62﹣4c≥0，
解得c≤9；
故c的取值范围是c≤9；
（2）由根与系数的关系关系可得：x1+x2 ＝﹣6，x1 •x2 ＝c，
∵方程x2+6x+c＝0的两个根的差为2，
∴（x1 ﹣x2 ）2＝（x1+x2 ）2﹣4x1 •x2 ＝4，
即36﹣4c＝4，
解得：c＝8．
故c的值为8．
22．（8分）如图，某公路隧道横截面为抛物线形，其最大高度为6米，底部宽度OM为12
米，现以点O为原点，OM所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若要搭建一个由矩形ABCD的三条边AD﹣DC﹣CB组成的“支撑架”，使C、D两
点在抛物线上，A、B两点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
【分析】（1）先根据所建坐标系求出顶点P的坐标，再设解析式为顶点式，把M（12，0）
代入，运用待定系数即可求出解析式；
（2）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为（m，0），用含m的式子
表示三段的长，再求其和的表达式，然后运用函数的性质求解．
【解答】解：（1）∵最大高度为6米，底部宽度OM为12米，
∴抛物线顶点P（6，6），M（12，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+6，将M（12，0）代入得：
第12页（共21页）0＝36a+6，解得a＝﹣ ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ （x﹣6）2+6，即y＝﹣ x2+2x；
（2）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，﹣ m2+2m），D（m，﹣ m2+2m）．
则“支撑架”总长：AD+DC+CB＝（﹣ m2+2m）+（12﹣2m）+（﹣ m2+2m）
＝﹣ m2+2m+12
＝﹣ （m﹣3）2+15，
∵此二次函数的图象开口向下，
∴当m＝3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．
23．（10分）已知抛物线y＝x2+2ax+a2﹣2（a为常数）．
（1）求证：无论a取任何实数，此抛物线与x轴总有两个不相同的交点；
（2）抛物线与x轴的两个交点为A（x1 ，0），B（x2 ，0），x1 ＜x2 ，抛物线顶点为点D．
①若x1 ，x2 是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为4，求a的值；
②点E在抛物线对称轴上，△BDE是等腰三角形，求出点E的纵坐标．
【分析】（1）令y＝0，则x2+2ax+a2﹣2＝0，由一元二次方程根的判别式得Δ＝（2a）2
﹣4×1×（a2﹣2）＝8＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可证明无论
a取任何实数，此抛物线与x轴总有两个不相同的交点．
（2）①由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2 ＝﹣2a，x1x2 ＝a2﹣2，再由x1 ，x2 是
直角三角形两条直角边的长且该直角三角形斜边长为4，得x1 2+x2 2＝42，可变形为（x1+x2 ）
2﹣2x1x2 ＝16，则有（﹣2a）2﹣2（a2﹣2）＝16，解方程求出a的值即可；
②设抛物线的对称轴交x轴于点Q，当y＝0时，则x2+2ax+a2﹣2＝0，解关于x的方程
得x1 ＝﹣a﹣ ，x2 ＝﹣a+ ，则AB＝（﹣a+ ）﹣（﹣a﹣ ）＝2 ，则QB＝ ，
根据勾股定理求得BD＝ ，△BDE是等腰三角形分三种情况，即BD＝BE或BE＝DE
或ED＝BD，分别求出相应的点E的纵坐标即可．
【解答】（1）证明：y＝x2+2ax+a2﹣2，令y＝0，则x2+2ax+a2﹣2＝0，
∴Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣2）＝4a2﹣4a2+8＝8＞0，
∴无论a取任何实数，一元二次方程x2+2ax+a2﹣2＝0总有两个不相等的实数根，
∴无论a取任何实数，此抛物线与x轴总有两个不相同的交点．
第13页（共21页）（2）解：①∵抛物线与x轴的两个交点为A（x1 ，0），B（x2 ，0），
∴x1 ，x2 是方程x2+2ax+a2﹣2＝0的两根，
∴x1+x2 ＝﹣2a，x1x2 ＝a2﹣2，
∵x1 ，x2 是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为4，
∴x1 2+x2 2＝42，
∴（x1+x2 ）2﹣2x1x2 ＝16，
∴（﹣2a）2﹣2（a2﹣2）＝16，
解得a1 ＝ ，a2 ＝﹣ ，
∴a的值为 或﹣ ．
②设抛物线的对称轴交x轴于点Q，
当y＝0时，则x2+2ax+a2﹣2＝0，
解得x1 ＝﹣a﹣ ，x2 ＝﹣a+ ，
∴A（﹣a﹣ ，0），B（﹣a+ ，0），
∴AB＝（﹣a+ ）﹣（﹣a﹣ ）＝2 ，
∴QB＝ AB＝ ×2 ＝ ；
∵y＝x2+2ax+a2﹣2＝（x+a）2﹣2，
∴抛物线的顶点D的坐标为（﹣a，﹣2），
∴QD＝2，
如图1，BD＝BE，
∵BQ⊥DE，
∴QE＝QD＝2，
∴E（﹣a，2），
此时点E的纵坐标为2；
如图2，BE＝DE，
∵BE＝DE＝2﹣QE，∠BQE＝90°，
∴QE2+（ ）2＝（2﹣QE）2，
解得QE＝ ，
∴E（﹣a，﹣ ），
第14页（共21页）此时点E的纵坐标为﹣ ；
如图3，ED＝BD＝或E′D＝BD，
∵BD＝ ＝ ，
∴DE＝DE′＝ ，
∴QE＝ ﹣2或QE′＝ +2，
∴E（﹣a， ﹣2）或E′（﹣a，﹣ ﹣2），
此时点E的纵坐标为 ﹣2或点E′的纵坐标为﹣ ﹣2，
综上所述，点E的纵坐标为2或﹣ 或 ﹣2或﹣ ﹣2．
第15页（共21页）24．（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，且AD⊥BD于点D．
（1）判断△ABD的形状；
（2）如图2，在（1）的结论下，若BQ＝2 ，DQ＝3，∠BQD＝75°，求AQ的长；
（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转 （0°＜ ＜90°）得到
DP，连接BP，作DE⊥BP交AP于点F．试探究AF与DE的数α量关系，α并说明理由．
【分析】（1）由∠ACB+∠ADB＝90°+90°＝180°，知点A、C、B、D上四点共圆，则
∠ACD＝∠ABD＝45°，即可得出结论；
（2）将△ADQ绕点D顺时针旋转90°得△BDE，连接EQ，过点B作EQ的垂线，交
EQ的延长线于H，得△QDE是等腰直角三角形，从而可解直角三角形BQH，在Rt△BEH
中，利用勾股定理得可求出BE的长度，从而解决问题；
（3）在AF上截取AM＝PF，利用SAS证明△ADM≌△PDF，得∠ADM＝∠PDE，DM
＝DF，可证明△MDF、△PEF是等腰直角三角形，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，
∵∠ACB+∠ADB＝90°+90°＝180°，
∴点A、C、B、D上四点共圆，
∴∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）将△ADQ绕点D顺时针旋转90°得△BDE，连接EQ，过点B作EQ的垂线，交
EQ的延长线于H，
第16页（共21页）∴DQ＝DE，∠QDE＝90°，AQ＝BE，
∴△QDE是等腰直角三角形，
∴∠DQE＝45°，
∴QE＝ DQ＝3 ，
∵∠BQD＝75°，
∴∠BQE＝∠BQD+∠DQE＝120°，
∴∠BQH＝60°，
∴QH＝ BQ＝ ，BH＝ ，
在Rt△BEH中，由勾股定理得BE＝ ＝ ，
∴AQ＝BE＝ ；
（3）AF＝ DE．，理由如下：如图，在AF上截取AM＝PF，
∵DA＝DP，
∴∠DAM＝∠DPF，
∴△ADM≌△PDF（SAS），
∴∠ADM＝∠PDE，DM＝DF，
∵BD＝DP，DE⊥BP，
∴∠BDE＝∠PDE，
第17页（共21页）∴∠ADM＝∠BDE，
∴∠MDE＝90°，
∴△MDF是等腰直角三角形，
∴∠MFD＝45°，MF＝ DF，
∴∠EFP＝45°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝ EF，
∴AF＝ DE．
25．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与坐标轴分别交于点
A（﹣3，0），B（1，0）和点C．
（1）求出a与c的数量关系式；
（2）如图2，点D是△AOC内的一点，当AD+CD+OD取得最小值 时，求出
此时该抛物线的解析式；
（3）如图3，在（2）中的抛物线与直线y＝（2k1 ﹣2）x交于E，F两点，与直线y＝（2k2
﹣2）x交于M，N两点，且k1k2 ＝﹣1，点P，Q分别是EF、MN 的中点，求证：直线
PQ必定经过一个定点，并求出该定点坐标．
【分析】（1）可将函数解析式设为交点式，进而展开求得结果，或将A、B两点代入求得
a，c关系；
（2）将△ADO绕点O逆时针旋转60°至△A′OD′，可推出AD+OD+CD＝AD′+DD
′+CD，故当A、D、A′共线时，AD+OD+CD的值最小，然后解斜△COA′（OC＝﹣
3a，OA′＝3，∠A′OC＝120°），从而求得a的值；
（3）将EF的解析式和抛物线的解析式联立成方程组，进而转化为关于x的一元二次方
第18页（共21页）程，根据根与系数关系求得两个之和，进而求得中点P坐标，同样求得Q坐标，进而求
出PQ的解析式，从而求得定点坐标．
【解答】解：（1）设y＝a（x+3）•（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，
∴c＝﹣3a；
（2）如图1，
将△AOD绕点O逆时针旋转60°至△A′OD′，连接A′C，作A′E⊥CO于E，
∴OD′＝OD，AD′＝AD，
∴△DOD′是等边三角形，
∴DD′＝OD，
∴AD+OD+CD＝AD′+DD′+CD≥A′C，
∴当C、D、A′共线时，AD+OD+CD最小，
在Rt△A′OE中，∠A′OE＝30°，OA′＝AO＝3，
∴A′E＝ ，OE＝ ＝ ，
∵A′C2＝CE2+A′E2，
∴（﹣3a+ ）2+（ ）2＝（ ）2，
∴a1 ＝﹣1，a2 ＝ （舍去），
把a＝﹣1代入y＝ax2+2ax+3得，
y＝﹣x2﹣2x+3；
（3）如图2，
第19页（共21页）由 得，
x2+2k1x﹣3＝0，
∴x1+x2 ＝﹣2k1 ，
∴y1+y2 ＝﹣2k1 2，
∴P（﹣k1 ，﹣k1 2），
同理可得：Q（﹣k2 ，﹣k2 2），
设直线PQ的解析式是：y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∵k1 •k2 ＝﹣1，
∴直线PQ的的解析式是y＝（k1+k2 ）x﹣1，
∴直线PQ过定点（0，﹣1）．
第20页（共21页）第21页（共21页）
