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广东省广州二中 2021-2022 学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在以下绿色包装、可回收、节水、低碳四个环保图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列函数一定是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x2
C．y＝x2+ D．y＝（x+1）2﹣x2
3．（3分）二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
4．（3分）抛物线y＝x2+2x﹣4的对称轴是（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
5．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点是（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（3，2）
6．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣3，先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+5）2﹣1 B．y＝（x+5）2﹣5 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣5
7．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝5 B．（x﹣2）2＝0 C．（x+1）2＝5 D．（x﹣1）2＝4
8．（3分）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣5m﹣6的图象经过原点，则m的值必为（ ）
A．﹣1和6 B．﹣1 C．6 D．无法确定
9．（3分）如图，圆O的直径为10，弦AB的长为6，P为弦AB上的动点，则线段OP长
的取值范围是（ ）A．3＜OP＜5 B．3≤OP≤5 C．4＜OP＜5 D．4≤OP≤5
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc
＜0；②2a+b＝0；③a+b+c＜0；④3a+c＞0．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）方程x（2﹣x）＝0的解为 ．
12．（3分）如图，MN为圆O的弦，∠OMN＝35°，那么∠MON为 ．
13．（3分）已知A（﹣2，y1 ），B（5，y2 ）为函数y＝x2+a图象上的两点，比较y1 与y2 的
大小：y1 y2 （填＞，＜或＝）．
14．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对
应点D恰好落在BC边上．若AB＝1，∠B＝60°，则CD的长为 ．15．（3分）某商店以30元的价格购进了一批服装，若按每件50元出售，一个月内可销售
100件；当售价每提价1元时，其月销售量就减少5件．当利润达到1875元时，设售价
提价x元，则可列方程为 ．
16．（3分）如图，等边△ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O
旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD
＝OE；②四边形ODBE的面积始终等于 ；③S
△ODE
＝S
△BDE
；④△BDE周长的最小
值为3．其中正确的结论是 （填序号）．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6分）解方程．
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0．
18．（4分）若二次函数图象的对称轴方程是直线x＝ ，并且图象过A（0，﹣4）和B（4，
0），求此二次函数的解析式．
19．（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（2，4）、B（1，0）、C（3，1）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°的△A1BC1 ；
（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2 ；
（3）△A1BC1 可由△A2B2C2 绕点M旋转得，请写出点M的坐标： ．20．（6分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋
转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）求∠AFC的度数．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有两个实数根．
（1）求c的取值范围；
（2）若方程x2+6x+c＝0的两个根的差为2，求c的值．
22．（8分）如图，某公路隧道横截面为抛物线形，其最大高度为6米，底部宽度OM为12
米，现以点O为原点，OM所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若要搭建一个由矩形ABCD的三条边AD﹣DC﹣CB组成的“支撑架”，使C、D两
点在抛物线上，A、B两点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？23．（10分）已知抛物线y＝x2+2ax+a2﹣2（a为常数）．
（1）求证：无论a取任何实数，此抛物线与x轴总有两个不相同的交点；
（2）抛物线与x轴的两个交点为A（x1 ，0），B（x2 ，0），x1 ＜x2 ，抛物线顶点为点D．
①若x1 ，x2 是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为4，求a的值；
②点E在抛物线对称轴上，△BDE是等腰三角形，求出点E的纵坐标．
24．（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，且AD⊥BD于点D．
（1）判断△ABD的形状；
（2）如图2，在（1）的结论下，若BQ＝2 ，DQ＝3，∠BQD＝75°，求AQ的长；
（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转 （0°＜ ＜90°）得到
DP，连接BP，作DE⊥BP交AP于点F．试探究AF与DE的数α量关系，α并说明理由．
25．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与坐标轴分别交于点
A（﹣3，0），B（1，0）和点C．
（1）求出a与c的数量关系式；
（2）如图2，点D是△AOC内的一点，当AD+CD+OD取得最小值 时，求出
此时该抛物线的解析式；
（3）如图3，在（2）中的抛物线与直线y＝（2k1 ﹣2）x交于E，F两点，与直线y＝（2k2
﹣2）x交于M，N两点，且k1k2 ＝﹣1，点P，Q分别是EF、MN 的中点，求证：直线
PQ必定经过一个定点，并求出该定点坐标．
