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2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小
学组）
一、选择题（每小题10分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的
英文字母写在每题的圆括号内）
1．（10分）如连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（ ）
A．100 B．101 C．102 D．103
2．（10分）用火柴棍摆成数字0﹣9的方式如下：
现在，去掉“ ”的左下侧一根，就成了数字“ ”，我们称“ ”对应1；去掉“
”的上下两根和左下角一根，就成了数字“ ”，我们称“ ”对应3，规定“
”本身对应0，按照这样的规则可以对应出 （ ）个不同的数字．
A．10 B．8 C．6 D．5
3．（10分）两数之和与两数之商都为6，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（ ）
A．26 B．5 C． D．
4．（10分）老师问5名学生：“昨天你们有几个人复习数学了？”张：“没有人．”李：“一
个人．”王：“二个人．”赵：“三个人．”刘：“四个人．”老师知道，他们昨天下午有人
复习，也有人没复习，复习的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．那么，昨天这5
个人中复习数学的有（ ）个人．
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（10分）如图所示，在7×7方格的格点上，有7只机器小蚂蚁，他们以相同的速度沿格线到
格点M、N、P、Q（图中空心圆圈所表示的四个位置）中的某个上聚会．所用时间总和最小
第1页（共11页）的格点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
6．（10分）用若干台计算机同时录入一部书，计划若干小时完成，如果增加3台计算机，则只
需原定时间的75%；如果减少3台计算机，则比原定时间多用 小时，那么原定完成录入
这部书稿的时间是（ ）小时．
A． B． C． D．
二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）如图由4个正六边形组成，每个面积是6，以这4个正六边形的顶点为顶点，可以
连接面积为4的等边三角形有 个．
8．（10分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，3小时后相遇，甲掉头返回A地，
乙继续前行．甲到达A地后掉头往B行驶，半小时后和乙相遇．那么乙从A到B共需
小时．
9．（10分）如图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD∥BC，EF＝13厘米，MN＝4厘
米，又已知EF⊥MN于O，那么阴影部分的总面积为 平方厘米．
10．（10分）在右面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四
第2页（共11页）位数 的最大值是 ．
三、附加题（这次华杯赛上，除了上述十道题外，南京有的考点还有2道附加题）
11．（10分）有6个时刻，6：30，6：31，6：32，6：33，6：34，6：35这几个时刻里， 时刻时
针和分针靠的最近， 时刻时针和分针靠得最远．
12．（10分）一个纸片倒过来，0、1、8三个数字转180°后不变，6变成9，9变成6，其他数字转
180°没意义．问，7位数转180°后不变的有 个，其中能被4整除的有 个，这
些转180°后不变的7位数的总和是 ．
第3页（共11页）2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试
卷（小学组）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题10分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的
英文字母写在每题的圆括号内）
1．（10分）如连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（ ）
A．100 B．101 C．102 D．103
【分析】因为任何四个连续自然数的和一定能够除以4余2，所以题中给出的四个选项中
只有102满足条件．
【解答】解：因为任何四个连续自然数的和一定能够除以4余2，
102÷4＝25…2，
所以四个选项中只有102满足条件．
故选：C．
2．（10分）用火柴棍摆成数字0﹣9的方式如下：
现在，去掉“ ”的左下侧一根，就成了数字“ ”，我们称“ ”对应1；去掉“
”的上下两根和左下角一根，就成了数字“ ”，我们称“ ”对应3，规定“
”本身对应0，按照这样的规则可以对应出 （ ）个不同的数字．
A．10 B．8 C．6 D．5
【分析】原数字的火柴数目依次是对应的火柴棍的根数是：2、5、5、4、5、6、3、7、6、6，这里
面只含有2、3、4、5、6、7，共6个不同的数字，取得根数只能从这6中数字里面取，所以对
第4页（共11页）应的也有6不同的数字；据此解答．
【解答】解：原数字的火柴数目依次是对应的火柴棍的根数是：2、5、5、4、5、6、3、7、6、6，
这里面只含有2、3、4、5、6、7，
共6个不同的数字，所以对应的也有6不同的数字；
故选：C．
3．（10分）两数之和与两数之商都为6，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（ ）
A．26 B．5 C． D．
【分析】根据题意，可以把较大的数称为甲，较小的数称为乙．由题意可知甲是乙的6倍，
甲加上乙等于6，由和倍公式就可以求出乙数是6÷（6+1）＝ ，再根据题意求出甲数，然
后就可以求出这两个数的积和差，然后相减即可．
【解答】解：可设较大的数为甲，较小的数为乙．
由差倍公式可得乙是：6÷（6+1）＝ ，
那么甲是： ×6＝ ；
两个数的积是： × ＝ ，
两数之差为： ﹣ ＝ ＝ ，
则： ﹣ ＝ ；
故选：D．
4．（10分）老师问5名学生：“昨天你们有几个人复习数学了？”张：“没有人．”李：“一
个人．”王：“二个人．”赵：“三个人．”刘：“四个人．”老师知道，他们昨天下午有人
复习，也有人没复习，复习的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．那么，昨天这5
个人中复习数学的有（ ）个人．
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据题干：复习的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话．可知五个人中只有
一个人是对的．我们可以分别假定这五个同学中有一个说的是真话，来进行分析判断．
【解答】解：假设张说的是真话，没有人复习数学，但这与老师知道，他们昨天下午是有人
复习的条件是不相符合的，故假设错误．
第5页（共11页）假设李说的话是真话，只有一个人复习数学，说明只他一个人复习了数学，其它同学都没
有复习，其它同学都说了谎，符合题意．
假设王说的话是真话，只有二个人复习数学，那么五个同学中另个一个复习的同学也应该
说有二个人复习了数学，但其它同学中没有说有二个人复习数学的，说明五说的是谎话．
同理，假设赵、刘说的是真话的话，其它复习的同学也应该与他们说的人数是一致的，但
是没有，说明他们说的也是谎话．
故选：C．
5．（10分）如图所示，在7×7方格的格点上，有7只机器小蚂蚁，他们以相同的速度沿格线到
格点M、N、P、Q（图中空心圆圈所表示的四个位置）中的某个上聚会．所用时间总和最小
的格点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【分析】看蚂蚁所在的列，可以知道应该在中间的一列，这列上有N和Q，再看蚂蚁所在的
行，可以知道应该在中间的一行，所以该点是N．
【解答】解：要判断出所用时间总和最小的格点，
必须看蚂蚁所在的列，可以知道应该在中间的一列，这列上有N和Q，
再看蚂蚁所在的行，可以知道应该在中间的一行，所以该点是N．
故选：B．
6．（10分）用若干台计算机同时录入一部书，计划若干小时完成，如果增加3台计算机，则只
需原定时间的75%；如果减少3台计算机，则比原定时间多用 小时，那么原定完成录入
这部书稿的时间是（ ）小时．
A． B． C． D．
【分析】增加3台计算机，时间是原定的75%，工效就是原定的1÷75%＝ ，则原来有3÷（
第6页（共11页）﹣1）＝9台机器；减少3台计算机，则是用6台计算机录入，原定时间 × ÷（ ﹣ ），
解决问题．
【解答】解：原有机器：
3÷（1÷75%﹣1），
＝3÷ ，
＝9（台）；
原定时间：
× ÷（ ﹣ ），
＝ ÷ ，
＝ （小时）；
答：原定完成录入这部书稿的时间是 小时．
故选：A．
二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）如图由4个正六边形组成，每个面积是6，以这4个正六边形的顶点为顶点，可以
连接面积为4的等边三角形有 8 个．
【分析】正六边形的中心到各边连线段都相等，都等于边长，即正六边形可分为6个相等的
正三角形；所以每个小的三角形面积为1；而题目要求得到的等边三角形面积为4，所以边
长就要为刚才小的等边三角形的2倍才行（这一点是根据“相似三角形的面积比等于边
长平方之比”）；很明显，2个正六边形的公共点都可画出2个这样的正三角形，而面积刚
好是4，即4×2＝8个；据此解答即可．
【解答】解：
第7页（共11页）因为正六边形可分为6个相等的正三角形，
所以每个小的三角形面积为1，而要得到的等边三角形面积为4，所以边长就要为刚才小
的等边三角形的2倍才行（这一点是根据“相似三角形的面积比等于边长平方之比”）；
很明显，2个正六边形的公共点都可画出2个这样的正三角形，
而面积刚好是4，
4×2＝8（个）；
答：可以连接面积为4的等边三角形有 8个．
故答案为：8．
8．（10分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，3小时后相遇，甲掉头返回A地，
乙继续前行．甲到达A地后掉头往B行驶，半小时后和乙相遇．那么乙从A到B共需 7. 2
小时．
【分析】相遇后，甲还需要3小时返回甲地，第二次相遇时，甲距离相遇点的距离等于甲
2.5小时的路程，乙用了3.5小时走这些路程，所以甲乙速度的比是7：5，甲乙相遇需要3
小时，那么乙单独到需要3×12÷5＝7.2小时．
【解答】解：（3+0.5）：（3﹣0.5）＝7：5，
3×（7+5）÷5
＝7.2（小时）
答：乙从A到B共需7.2小时．
故答案为：7.2．
9．（10分）如图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD∥BC，EF＝13厘米，MN＝4厘
米，又已知EF⊥MN于O，那么阴影部分的总面积为 6 5 平方厘米．
【分析】根据图形可知△ABM和△EFM的面积相等，△CDN和△EFN的面积相等，△EFM
和△EFN的面积和是EF×（MO+NO）÷2．然后再用平行四边形的面积减去2倍的，△EFM
第8页（共11页）和△EFN的面积和，就是阴影部分的面积．据此解答．
【解答】解：根据以上分析知阴影部分的面积是：
117﹣（S△EFM+△EFN）×2，
＝117﹣[EF×（MO+NO）÷2]×2，
＝117﹣[13×4÷2]×2，
＝117﹣26÷2×2，
＝117﹣52，
＝65（平方厘米）．
故答案为：65．
10．（10分）在右面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四
位数 的最大值是 176 9 ．
【分析】要使四位数“华杯初赛”取得最大值，先确定“华”的值，进一步确定“杯”
“初”和“赛”值，据此再利用弃九法推算即可解决问题．
【解答】解：观察题干，很显然华＝1，一共有9个数字，所以0到9之间有一个不能用，根
据弃九法，5不能用，每进一位数字之和减少9，0+1+2+3+4+6+7+8+9﹣（2+0+1+1）＝36，
所以共进4位，即个位与十位之一需要进2，有两种可能：
（1）个位数字之和是11，十位数字之和是20，百位数字之和是8；
（2）个位数字之和是21，十位数字之和是9，百位数字之和是9；
为了让四位数 的值最大，“杯”应该尽量的大，“十”尽量的小，
“十”最小2，此时“杯”是7；
则剩下的数字是0、3、4、6、8、9，个位和是21时，显然4+8+9＝21；
十位和是9，则剩下的正好0+3+6＝9，所以这个四位数最大是1769．
答：这个四位数最大是1769．
故答案为：1769．
三、附加题（这次华杯赛上，除了上述十道题外，南京有的考点还有2道附加题）
11．（10分）有6个时刻，6：30，6：31，6：32，6：33，6：34，6：35这几个时刻里， 6 ： 3 3 时刻
第9页（共11页）时针和分针靠的最近， 6 ： 3 0 时刻时针和分针靠得最远．
【分析】分针每分钟走360÷60﹣＝6度，时针每分钟走6×5÷60＝0.5度，分别求出6：30，6：
31，6：32，6：33，6：34，6：35，时针和分针走的度数，再比较它们之间的差，据此解答．
【解答】解：6时30分＝390分，6时31分＝391分，6时32分＝392分，6时33分＝393分，
6时34分＝394，6时35分＝395分
分针每分钟走
360÷60﹣＝6（度），
时针每分钟走
6×5÷60＝0.5（度），
6：30时针与分针之间的度数：
390×0.5﹣30×6＝15（度）；
6：31时针与分针之间的度数：
391×0.5﹣31×6＝9.5（度）；
6：32时针与分针之间的度数：
392×0.5﹣32×6＝4（度）；
6：33时针与分针之间的度数：
33×6﹣393×0.5＝1.5（度）；
6：34时针与分针之间的度数：
34×6﹣394×0.5＝7（度）；
6：35时针与分针之间的度数：
35×6﹣395×0.5＝12.5（度）；
1.5＜4＜7＜9.5＜12.5＜15，所以6.33时时针和分针最近，6.30时时针和分针靠的最远．
故答案为：6：33，6：30．
12．（10分）一个纸片倒过来，0、1、8三个数字转180°后不变，6变成9，9变成6，其他数字转
180°没意义．问，7位数转180°后不变的有 30 0 个，其中能被4整除的有 7 5 个，这
些转180°后不变的7位数的总和是 195946020 0 ．
【分析】根据题干分析可得，这个7位数 ，旋转180度后不变，说明这个7位数是
由0、1、8组成的，据此分别列举即可，再根据被4整除的数字特征解答问题．
【解答】解：（1）若7位数 转 180°后不变，那么D一定是 0、1、8 中的一个，C 和
E、B 和 F、A 和 G，这三组每组内两个数字只能同时为 0、1 或 8，或者一个6，一个 9，
这样只需要确定A、B、C、D这四个数字即可，A可以是1、6、8、9中的一个，4种选择； B
第10页（共11页）可选0、1、6、8、9中的一个，5种选择； C可选0、1、6、8、9中的一个，5种选择； D从0、
1、8中选择，3种．所以7位数转180°后不变的共有4×5×5×3＝300（个）．
（2）在这其中能被4 整除的数末两位数只能是 00、08、16、60、68、80、88、96，
其中末尾为 00、80、60 的数转180°后首位为0，矛盾，排除．
所以其中能被4整除的数有 5×3×5＝75（个）．
（3）A、G 这个位置上 1、8、6、9 各出现了 5×5×3＝75（次），
B、C、E、F 这两个位置上，所有数字各出现 4×5×3＝60 次，D 这个位置上，0、1、8 各出
现 4×5×5＝100 次，
所以所有转180°后不变的7位数的总和是：
24×75×1000001+24×60×110110+9×100×1000＝1959460200．
答：7位数转180°后不变的有300个，其中能被4整除的有75个，这些转180°后不变的7
位数的总和是1959460200．
故答案为：300；75；1959460200．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:55:37；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第11页（共11页）
