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专练 35 空间点、直线、平面之间的位置关系
授课提示：对应学生用书75页
[基础强化]
一、选择题
1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为( )
A.P∈m，m∈α B．P∈m，m α
C．P m，m∈α D．P m，m α
答案：B ⊂
2．在⊂空间中，可以确定一⊂个平面⊂的条件是( )
A．两两相交的三条直线
B．三条直线，其中一条与另两条分别相交
C．三个点
D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
答案：D
解析：当三条直线相交于同一点时，可以确定一个或三个平面，故 A，B错；当三点
共线时，不能确定一个平面，故C错，故选D.
3．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面的个数为( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案：A
解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，故最多可确定4个平面．
4．若直线l 与l 是异面直线，l 在平面α内，l 在平面β内，l是平面α与平面β的交
1 2 1 2
线，则下列命题正确的是( )
A．l与l，l 都不相交
1 2
B．l与l，l 都相交
1 2
C．l至多与l，l 中的一条相交
1 2
D．l至少与l，l 中的一条相交
1 2
答案：D
解析：由直线l 和l 是异面直线可知l 与l 不平行，故l，l 中至少有一条与l相交．
1 2 1 2 1 2
5．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是( )
A．过P只能作一条直线与平面α相交
B．过P可作无数条直线与平面α垂直
C．过P只能作一条直线与平面α平行
D．过P可作无数条直线与平面α平行
答案：D
解析：过平面α外一点P，可以作无数条直线与α相交，但垂直α的只有一条，故A、
B、C均错，D正确．
6．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l, 直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平
面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
答案：D
解析：∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，
∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．
7．使直线a，b为异面直线的充分不必要条件是( )A．a 平面α，b⊄α，a与b不平行
B．a 平面α，b⊄α，a与b不相交
C．a∥⊂直线c，b∩c＝A，b与a不相交
D．a⊂平面α，b 平面β，α∩β＝l，a与b无公共点
答案：C
解析：⊂ 对A，a与 ⊂b可能有交点，对于B、D，a与b可能平行，C显然正确．
8．如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面
ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
答案：B
解析：
如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平
面 ECD⊥平面 ABCD，平面 ECD∩平面 ABCD＝CD，所以 EO⊥平面 ABCD.设正方形
ABCD的边长为2，则EO＝，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的
垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝，CP＝，所以BM2＝MP2＋BP2＝()2＋()2＋22＝7，得
BM＝，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，
即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.
9．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
答案：B
解析：对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能
相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，
平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同
一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它
们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.
10.
(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别是DE，BE，EF，EC的中点，
则下列结论正确的是( )
A．DE与MN平行B．BD与MN为异面直线
C．GH与MN成60°角
D．DE与MN垂直
答案：BCD
解析：
将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B，C)DEF，如图．由正四面体的结构特
征知A错误，B正确．对于C，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH与MN
成60°角，故C正确．对于D，连接GF，AG，点A在平面DEF上的射影A 在GF上，
1
∴DE⊥平面AGF，∴DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故D正确．
二、填空题
11．在平行六面体ABCD－ABC D 中，既与AB共面，又与CC 共面的棱有________
1 1 1 1 1
条．
答案：5
解析：与AB和CC 都相交的棱为BC，与AB相交且与CC 平行的棱为AA ，BB ，与
1 1 1 1
AB平行且与CC 相交的有CD，C D，故符合条件的棱有5条．
1 1 1
12．在所有棱长都相等的三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
下列四个命题：
(1)BC∥平面PDF；
(2)DF∥平面PAE；
(3)平面PDF⊥平面ABC；
(4)平面PDF⊥平面PAE.其中正确命题的序号为________．
答案：(1)(4)
解析：
如图所示，记DF交AE于点M，连接PM.
(1)∵D，F分别为AB，AC的中点，
∴DF∥BC.
∵DF 平面PDF，BC⊄平面PDF，
∴BC∥平面PDF，(1)正确．
⊂
(2)∵DF∩AE ＝M，AE 平面PAE，
∴DF∩平面PAE＝M，(2)错误．
⊂(3)假设平面PDF⊥平面ABC，
∵AC＝AB，E为BC中点，∴AE⊥BC，又DF∥BC，
∴AE⊥DF.
∵平面PDF∩平面ABC＝DF，AE⊄平面PDF，∴AE⊥平面PDF.又∵PF 平面PDF，
∴PF⊥AE.
⊂
∵PA＝PC，F为AC中点，∴PF⊥AC.
∵AC∩AE＝A，∴PF⊥平面ABC.∴PF⊥DF.
∵三棱锥P－ABC的棱长都相等，D，F分别是AB，AC的中点，∴PD＝PF，∴PF与
DF不垂直．
故假设不成立，(3)错误．
(4)∵三棱锥P－ABC的所有棱长都相等，∴PF＝PD.
又DM∥BC，M为DF中点，∴DM⊥PM，DM⊥AM.
∵AM，PM 平面PAE，AM∩PM＝M，∴DM⊥平面PAE.
又DM 平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAE，(4)正确．
⊂
⊂
