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专练 40 高考大题专练(四) 立体几何的综合运用
授课提示：对应学生用书85页
1．[2023·新课标Ⅰ卷]如图，在正四棱柱 ABCDABC D 中，AB＝2，AA ＝4.点A ，
1 1 1 1 1 2
B，C ，D 分别在棱AA，BB，CC ，DD 上，AA＝1，BB＝DD ＝2，CC ＝3.
2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
(1)证明：BC ∥AD；
2 2 2 2
(2)点P在棱BB 上，当二面角PAC D 为150°时，求BP.
1 2 2 2 2
方法二 以点C为坐标原点，CD，CB，CC 所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所
1
示的空间直角坐标系，则B(0，2，2)，C (0，0，3)，A(2，2，1)，D(2，0，2)，
2 2 2 2
所以 ⃗B A ＝(0，－2，1)， ⃗B A ＝(0，－2，1)，
2 2 2 2
所以 ⃗B A ＝ ⃗A D ，所以BC ∥AD.
2 2 2 2 2 2 2 2
(2)建立空间直角坐标系，建系方法同(1)中方法二，设BP＝n(0≤n≤4)，则P(0，2，
n)，
所以 ⃗PA ＝(2，0，1－n)， ⃗PC ＝(0，－2，3－n)，
2 2
设平面PAC 的法向量为a＝(x，y，z)，
2 2 1 1 1
，
令x＝n－1，得a＝(n－1，3－n，2).
1
设平面AC D 的法向量为b＝(x，y，z)，
2 2 2 2 2 2
由(1)方法二知， ⃗A C ＝(－2，－2，2)， ⃗A D ＝(0，－2，1)，
2 2 2 2则，
令y＝1，得b＝(1，1，2).
2
所以|cos 150°|＝|cos 〈a，b〉|＝
＝，
整理得n2－4n＋3＝0，解得n＝1或n＝3，
所以BP＝1或BP＝3，
所以BP＝1.
2
2．[2023·新课标Ⅱ卷]如图，三棱锥ABCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝
∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足EF＝DA，求二面角DABF的正弦值．
解析：(1)如图，连接DE，AE，
因为DC＝DB，且E为BC的中点，
所以DE⊥BC.
因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS).
可得AC＝AB，故AE⊥BC.
因为DE∩AE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE.
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA.
⊂
(2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC.
⊂
不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2.
由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝.
因为AE⊥BC，所以AE＝＝.
在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED.
以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴建立空
间直角坐标系，如图，则D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0，)，DA＝(－，0，)，BA＝(0，
－，).
设F(x ，y ，z )，因为EF＝DA，所以(x ，y ，z )＝(－，0，)，可得F(－，0，).
F F F F F F
所以FA＝(，0，0).
设平面DAB的法向量为m＝(x，y，z)，
1 1 1
则，即，取x＝1，则y＝z＝1，m＝(1，1，1).
设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，
2 2 2
则，即，得x＝0，取y＝1，则z＝1，n＝(0，1，1).
所以cos 〈m，n〉＝＝＝.
记二面角DABF的大小为θ，则sin θ＝＝＝，
故二面角DABF的正弦值为.
3．[2024·九省联考]如图，平行六面体ABCDABC D 中，底面ABCD是边长为2的正
1 1 1 1
方形，O为AC与BD的交点，AA＝2，∠C CB＝∠C CD，∠C CO＝45°.
1 1 1 1(1)证明：C O⊥平面ABCD；
1
(2)求二面角BAAD的正弦值．
1
解析：(1)证明：连接BC ，DC ，
1 1
因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以BC＝DC，
又因为∠C CB＝∠C CD，CC ＝CC ，
1 1 1 1
所以△C CB≌△C CD，所以BC ＝DC ，
1 1 1 1
点O为线段BD中点，所以C O⊥BD，
1
在△C CO中，CC ＝2，CO＝AC＝，∠C CO＝45°，
1 1 1
所以cos∠C CO＝＝⇒C O＝，
1 1
则C C2＝OC2＋C O2 C O⊥OC，
1 1 1
又OC∩BD＝O，OC 平面ABCD，BD 平面ABCD，
⇒
所以C O⊥平面ABCD.
1
⊂ ⊂
(2)由题知正方形ABCD中AC⊥BD，C O⊥平面ABCD，所以建系如图所示，
1
则B(0，，0)，D(0，－，0)，A(，0，0)，C(－，0，0)，C (0，0，)，
1
则AA＝CC ＝(，0，)，
1 1
AB＝(－，，0)，AD＝(－，－，0)，
设平面BAA 的法向量为m＝(x，y，z)，平面DAA 的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1 1 1 1 2 2 2
则 ⇒⇒m＝(1，1，－1)，
n＝(1，－1，－1)，
设二面角BAAD大小为θ，
1
⇒⇒
则cos θ＝＝＝⇒sin θ＝＝，
所以二面角BAAD的正弦值为.
1
4．[2023·全国甲卷(理)]如图，在三棱柱 ABCABC 中，AC⊥平面ABC，∠ACB＝
1 1 1 1
90°，AA＝2，A 到平面BCC B 的距离为1.
1 1 1 1(1)证明：AC＝AC；
1
(2)已知AA 与BB 的距离为2，求AB 与平面BCC B 所成角的正弦值．
1 1 1 1 1
解析：(1)如图，过A 作AD⊥CC ，垂足为D，
1 1 1
∵AC⊥平面ABC，BC 平面ABC，
1
∴AC⊥BC，
1
⊂
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵AC，AC 平面ACC A，
1 1 1
且AC∩AC＝C，
1
⊂
∴BC⊥平面ACC A，
1 1
∴AD 平面ACC A，∴BC⊥AD，
1 1 1 1
又CC ，BC 平面BCC B，且CC ∩BC＝C，∴AD⊥平面BCC B，
1 1 1 1 1 1 1
⊂
∴AD＝1.
1
⊂
由已知条件易证△CA C 是直角三角形，又CC ＝AA＝2，AD＝1，
1 1 1 1 1
∴D为CC 的中点，又AD⊥CC ，
1 1 1
∴AC＝AC ，
1 1 1
又在三棱柱ABCABC 中，AC＝AC ，
1 1 1 1 1
∴AC＝AC.
1
(2)如图，连接AB，由(1)易证AB＝AB，故取BB 的中点F，连接AF，
1 1 1 1 1 1
∵AA 与BB 的距离为2，∴AF＝2，
1 1 1
又AD＝1且AC＝AC，
1 1
∴AC＝AC ＝AC＝，AB＝AB＝，BC＝.
1 1 1 1 1
建立空间直角坐标系Cxyz如图所示，
则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，B(－，，)，C (－，0，)，
1 1
∴CB＝(0，，0)，⃗CC1＝(－，0，)，⃗AB1＝(－2，，)，
设平面BCC B 的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1∴平面BCC B 的一个法向量为n＝(1，0，1).
1 1
设AB 与平面BCC B 所成角为θ，
1 1 1
∴AB 与平面BCC B 所成角的正弦值为．
1 1 1
5.[2024·新课标Ⅱ卷]
如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，
点E，F满足AE＝AD，AF＝AB，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4.
(1)证明：EF⊥PD；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
解析：(1)证明：∵AD＝5，AB＝8，AE＝AD，AF＝AB，
∴AE＝2，AF＝4.
在△AEF中，由余弦定理得
EF2＝AF2＋AE2－2AF·AE·cos A＝16＋12－2×4×2×＝4，
则EF＝2，
∴在△AEF中，EF2＋AE2＝AF2，
∴EF⊥AE.
又∵△AEF沿EF翻折至△PEF，
∴EF⊥PE.
又∵AE∩PE＝E，AE，PE 平面PED，
∴EF⊥平面PED.
⊂
又∵PD 平面PED，
∴EF⊥PD.
(2)由(1) ⊂ 知EF⊥AE，
又∵CD⊥AD，∴CD∥EF.
∵EF⊥平面PED，∴CD⊥平面PED.
又∵PD 平面PED，∴CD⊥PD.
在Rt△PCD中，PD＝＝.
⊂
又∵ED＝AD－AE＝3，∴PE2＋ED2＝PD2，
∴PE⊥ED.∴以E为原点，EF，ED，EP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
则P(0，0，2)，F(2，0，0)，D(0，3，0)，B(4，2，0)，C(3，3，0)，
∴FP＝(－2，0，2)，BP＝(－4，－2，2)，CD＝(－3，0，0)，DP＝(0，－3，2).
设平面PBF的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1 1
则即
令z＝1，则n＝(，－1，1).
1
设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，
2 2 2
则即
令z＝3，则m＝(0，2，3).
2
设平面PCD与平面PBF所成的二面角的平面角为θ，
则|cos θ|＝|cos 〈n，m〉|＝＝，
∴sin θ＝＝.
6.
[2024·新课标Ⅰ卷]如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，
AB＝.
(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
(2)若AD⊥DC，且二面角ACPD的正弦值为，求AD.
解析：(1)证明：由BC＝1，AB＝，AC＝2可得，
AC2＝AB2＋BC2，∴AB⊥BC.
又PA⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，
∴BC⊥PA.
又AB∩PA＝A，AB，PA ⊂ 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
⊂
∵PA⊥底面ABCD，AD 底面ABCD，
∴AD⊥PA.
又AD⊥PB，且PB∩PA ⊂ ＝P，PB，PA 平面PAB，
∴AD⊥平面PAB，∴AD∥BC，
⊂
又BC 平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC.
(2)
⊂
以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴，过点D且垂直于平面ABCD的直
线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，
设A(x，0，0)(0<x<2)，则P(x，0，2)，C(0，，0).
则AC＝(－x，，0)，AP＝(0，0，2)，DC＝(0，，0)，DP＝(x，0，2).
设平面ACP的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1 1 1
则
即令y＝x，
1
则x＝，∴n＝(，x，0).
1 1设平面CPD的法向量为n＝(x，y，z)，
2 2 2 2
则即令z＝x，则x＝－2，
2 2
∴n＝(－2，0，x).
2
设二面角ACPD的平面角为θ，
则|cos θ|＝＝＝，则sin2θ＝1－cos2θ＝1－＝()2，
解得x＝(负值舍去).
即AD的长为.
7．[2024·全国甲卷(理)]
如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均
为等腰梯形，EF∥AD，BC∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝，FB＝2，M为AD的中
点．
(1)证明：BM∥平面CDE；
(2)求二面角FBME的正弦值．
解析：(1)证明：由BC＝2，AD＝4，点M为AD的中点得BC＝DM.
又BC∥MD，所以四边形BCDM为平行四边形，则BM∥CD.
又CD 平面CDE，BM⊄平面CDE，所以BM∥平面CDE．
(2)由(1)知BM＝CD，又CD＝AB，所以BM＝AB＝2，
⊂
同理易知AF＝FM＝ED＝.
取AM的中点O，连接OB，OF，则OF⊥AM，OB⊥AM，OF＝3，OB＝，又BF＝2，
所以BF2＝OF2＋OB2，则OB⊥OF，
以O为坐标原点，OB，OD，OF所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角
坐标系，则F(0，0，3)，B(，0，0)，M(0，1，0，)，E(0，2，3)，所以FB＝(，0，－3)，
BM＝(－，1，0)，ME＝(0，1，3).
设平面FBM的法向量为m＝(x，y，z)，由
1 1 1
取z＝1，可得x＝，y＝3，则m＝(，3，1).
1 1 1
同理可取平面BME的一个法向量为n＝(，3，－1)，
所以cos 〈m，n〉＝＝，所以sin 〈m，n〉＝＝，即二面角FBME的正弦值为.
8.[2022·新高考Ⅰ卷，19]如图，直三棱柱ABC－ABC 的体积为4，△ABC的面积为2.
1 1 1 1
(1)求A到平面ABC的距离；
1
(2)设D到AC的中点，AA ＝AB，平面ABC⊥平面ABBA ，求二面角A－BD－C的正
1 1 1 1 1
弦值．
解析：(1)设点A到平面ABC的距离为h.
1
∵V三棱锥A－ABC＝V三棱锥A－ABC
1 1
＝V三棱柱ABC－ABC ＝，
1 1 1
∴·S△ABC·h＝×4.
1
又∵S△ABC＝2，∴h＝.
1
∴点A到平面ABC的距离为.
1
(2)方法一 如图①，取AB的中点E，连接AE.
1
由AA＝AB，AA⊥AB，得AE⊥AB且AE＝AB.
1 1 1 1
∵平面ABC⊥平面ABBA，
1 1 1
平面ABC∩平面ABBA＝AB，AE 平面ABBA，
1 1 1 1 1 1
∴AE⊥平面ABC，∴AE＝h＝，AE⊥BC，
1
⊂
∴AB＝2，∴AA＝AB＝2.
1 1
由V三棱柱ABC－ABC ＝4，AA＝2，得2S ＝4，
1 1 1 1 △ABC
∴S ＝2.
△ABC
易知AA⊥BC，AE⊥BC，AE∩AA＝A，
1 1 1
∴BC⊥平面AAB，∴BC⊥AB，∴BC＝2.
1
过点A作AF⊥BD于点F，连接EF，
易得∠EFA即为二面角A－BD－C的平面角的补角．
易得AC＝＝2，
则AC＝＝2.
1
∵AB⊥CB，D为AC的中点，∴BD＝AC＝.
1 1 1
易知AD＝BD＝AC＝，∴△ABD为等腰三角形，
1
∴AF·BD＝AB·＝2，
则AF＝，
∴sin ∠AFE＝＝＝，
∴二面角A－BD－C的正弦值为.
方法二 如图②，取AB的中点E，连接AE.
1
∵AA＝AB，∴AE⊥AB.
1 1
∵平面ABC⊥平面ABBA，平面ABC∩平面ABBA＝AB，AE 平面ABBA，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴AE⊥平面ABC，
1
⊂
∴AE＝h＝，则AA＝AB＝2.
1
∵AE⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴AE⊥BC.
1 1
∵AA⊥BC，AE∩AA＝A，∴BC⊥平面ABBA.
1 1 1 1
⊂∵AB 平面ABBA，∴BC⊥AB.
1 1
由V三棱柱ABC－ABC ＝S ·AA＝AB·BC·AA＝×2×BC×2＝4，解得BC＝2.
1 1 1 △ABC 1 1
⊂
以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB 所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图②的空
1
间直角坐标系．
易得B(0，0，0)，A(0，2，0)，E(0，1，1)，D(1，1，1).
∴AE＝(0，－1，1)，BD＝(1，1，1)，BA＝(0，2，0).
由题意，得平面BDC的法向量为n＝AE＝(0，－1，1).
1
设平面BDA的法向量为n＝(x，y，z)，
2
则∴
令x＝1，则y＝0，z＝－1，∴n＝(1，0，－1)，
2
∴cos 〈n，n〉＝＝＝－.
1 2
设二面角A－BD－C的平面角为α(0≤α≤π)，则sin α＝＝，
∴二面角A－BD－C的正弦值为.
