文档内容
2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小
高组C卷）
一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示
正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1．（10分）如果 ＝ （其中m与n为互质的自然数），那么m+n的值是（
）
A．1243 B．1343 C．4025 D．4029
2．（10分）甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合变成糖水，然后他们又分别做
了以下事情：
最终，（ ）得到的糖水嘴甜．
A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙
3．（10分）一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因为井壁打滑，就会下
滑1米，下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一．8点17分时，青蛙第二次爬
至离井口3米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟．
A．22 B．20 C．17 D．16
4．（10分）已知正整数A分解质因数可以写成A＝2 ×3 ×5 ，其中 、、 是自然数．如果A的
α β γ
二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分α之β一γ是某个自然数的五次
方，那么 + + 的最小值是（ ）
A．10 α β γ B．17 C．23 D．31
5．（10分）今有甲、乙两个大小相同的正三角形，各画出了一条两边中点的连线，如图，甲、乙
第1页（共11页）位置左右对称，但甲、乙内部所画线段的位置不对称，从图中所示的位置开始，甲向右水
平移动，直至两个三角形重叠后在离开．在移动过程中的每个位置，甲与乙所组成的图形
中都有若干个三角形，那么三角形个数最多的位置，图形中有（ ）个三角形．
A．9 B．10 C．11 D．12
6．（10分）从1～11这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共（ ）个．
其中必有两个数互质；
①其中必有一个数是其中另一个数的倍数；
②其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数．
③A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）有四个人去书店买书，每人买了4本不同的书，且每两个人恰有2本书相同，那么
这4个人至少买了 种书．
8．（10分）每天，小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD（如图），
已知AB：BC：CD＝1：2：1，并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3：2：4，那么小
明上学与放学回家所用的时间比是 ．
9．（10分）黑板上有11个1，22个2，33个3，44个4，做以下操作：每次擦掉3个不同的数字，
并且把没擦掉的第四种数字多写2个．例如：某次操作擦掉1个1，1个2，1个3，那就在写
上2个4，经过若干次操作后，黑板上只剩下3个数字，而且无法继续进行操作，那么最后
剩下的三个数字的乘积是 ．
10．（10分）如图，正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形，如果DG＝5，那么正方形
第2页（共11页）ABCD面积是 ．
第3页（共11页）2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试
卷（小高组 C 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示
正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1．（10分）如果 ＝ （其中m与n为互质的自然数），那么m+n的值是（
）
A．1243 B．1343 C．4025 D．4029
【分析】 ＝ ＝ ＝
＝ ，所以n＝671，m＝672，m+n＝1343．
【解答】解： ＝ ＝ ＝ ，
所以n＝671，m＝672，m+n＝1343．
故选：B．
2．（10分）甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合变成糖水，然后他们又分别做
了以下事情：
最终，（ ）得到的糖水嘴甜．
A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙
第4页（共11页）【分析】此题首先理解含糖率，含糖率＝ ×100%，然后分别求出三人的含糖
率进行比较即可．
【解答】解：甲的含糖率：50×20%＝10（克），
×100%＝ ×100%＝20%；
乙的含糖率： ×100%＝ ×100%≈25.7%；
丙的含糖率：100× ＝40（克），
×100%＝ ≈28.9%，
答：最终丙得到的糖水嘴甜．
故选：C．
3．（10分）一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因为井壁打滑，就会下
滑1米，下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一．8点17分时，青蛙第二次爬
至离井口3米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟．
A．22 B．20 C．17 D．16
【分析】下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的3倍；爬1米和滑1米的时间相同，以爬
3米，滑1米为一个周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至离井口3米之处，（3﹣1）
×4+1＝9m，青蛙第二次爬至离井口3米之处，此时，青蛙爬的路程为（3+1）×4+1＝17米，
即4个周期加1米，用时17分钟，所以青蛙每爬1m或滑1m所用时间为1分钟；（12﹣3）
÷（3﹣1）＝4…1，青蛙从井底爬到井口经过5个周期，再爬2m，用时5×（3+1）+2；解答即
可．
【解答】解：以爬3米，滑一米为一个周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至离井口3米
之处，（3﹣1）×4+1＝9m，青蛙第二次爬至离井口3米之处，此时，青蛙爬了4个周期加1
米，用时17分钟，所以青蛙每爬1m或滑1m所用时间为1分钟；
（12﹣3）÷（3﹣1）＝4…1，青蛙从井底爬到井口经过5个周期，再爬2m，用时5×（3+1）+2
＝22分钟；
故选：A．
4．（10分）已知正整数A分解质因数可以写成A＝2 ×3 ×5 ，其中 、、 是自然数．如果A的
α β γ
二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分α之β一γ是某个自然数的五次
第5页（共11页）方，那么 + + 的最小值是（ ）
A．10 α β γ B．17 C．23 D．31
【分析】A的二分之一是完全平方数，﹣1、、 是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，
、﹣1、 是3的倍数；A的五分之一α是某个β自γ然数的五次方，、、﹣1是5的倍数；要
α+β+ 的值γ 最小，分别求满足条件的 、 、 值，然后求出 +α +β 的γ最小值即可．
α【解β 答γ】解：A的二分之一是完全平方α数β， γ﹣1、 、 是2的α倍β数γ；
A的三分之一是完全立方数， 、 ﹣1、 是α3的倍β数；γ
A的五分之一是某个自然数的α五次β方， 、γ 、 ﹣1是5的倍数；
要 + + 的值最小，分别求满足条件的α、β、γ值：3×5﹣1是2的倍数， 的最小值为15，
2×3α﹣β1是γ 5的倍数， 的最小值为6， α β γ α
2×5﹣1是3的倍数，γ的最小值为10，
所以 + + 的最小值是β ：15+6+10＝31；
故选：αDβ．γ
5．（10分）今有甲、乙两个大小相同的正三角形，各画出了一条两边中点的连线，如图，甲、乙
位置左右对称，但甲、乙内部所画线段的位置不对称，从图中所示的位置开始，甲向右水
平移动，直至两个三角形重叠后在离开．在移动过程中的每个位置，甲与乙所组成的图形
中都有若干个三角形，那么三角形个数最多的位置，图形中有（ ）个三角形．
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】把所有的情况都画出来然后通过比较找出三角形最多的图形，所有的图如下：
第6页（共11页）【解答】解：根据题干分析，观察画出的图形可得，第7个图形中的三角形最多，有11个．
故选：C．
6．（10分）从1～11这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共（ ）个．
其中必有两个数互质；
①其中必有一个数是其中另一个数的倍数；
②其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数．
③A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】 根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，在这11个中，质数有
2、3、5、7①、11，任何两个质数一定是互质数，又因为在这11个数中偶数有2、4、6、8、10五
个，奇数有六个，所以任意取出6个数，其中必有两个数互质．
比如取5个偶数一个奇数，在这5个偶数中4、6、8、10都是2的倍数，如果取1、3、5、7、
②9、11，其中9是3的倍数；如果取6、7、8、9、10、11，就没有倍数关系；
比如1的2倍是2，2是2的倍数，2的2倍是4，4是4的倍数．据此解答．
【③解答】解：根据上面的分析可知：从1～11这11个整数中任意取出6个数， 其中必有两
个数互质；此说法正确． ①
其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数．此说法正确．
③故选：B．
二、填空题（每小题10分，满分40分）
7．（10分）有四个人去书店买书，每人买了4本不同的书，且每两个人恰有2本书相同，那么
这4个人至少买了 7 种书．
【分析】从简单的性质思考：若只有两个人，为符合题意，一定有6本不同的书，给这6本
书编号：1、2、3、4、5、6．设甲买的是1、2、3、4，乙买的是1、2、5、6．这时丙来了．为符合题
意，他可以选择不买其他的书，他买编号为3、4、5、6，也符合题意，这时要注意的是，当三
第7页（共11页）个人只买6本书时，当甲乙买的书确定之后，丙买的编号是唯一的，就是丙不能买甲乙都
买的书，那么他就必须再买一本他自己“独有”的书，为了使问题好理解，列表格解答
（见解答部分）．
【解答】解：若只有两个人，为符合题意，一定有6本不同的书，给这6本书编号为1、2、3、
4、5、6．设甲买的是1、2、3、4，乙买的是1、2、5、6．这时丙来了．为符合题意，他可以选择
不买其他的书，他买编号为3、4、5、6，也符合题意，这时要注意的是，当三个人只买6本书
时，当甲乙买的书确定之后，丙买的编号是唯一的，就是丙不能买甲乙都买的书，那么他
就必须再买一本他自己“独有”的书，列表格：
1 2 3 4 5 6
甲 √ √ √ √
乙 √ √ √ √
丙 √ √ √ √
这时丁来了，站在丙的角度思考，他至少要有一本“独有”的书，所以4个人的时候至少
是7本．
即甲买的书编号为（1、2、3、4），则乙买的书编号为（1、2、5、6），丙买的书编号为（3、4、5、
6），丁可以买（1、3、5、7）．因此4个人的时候至少买（1、2、3、4、5、6、7），即7种书．
故答案为：7．
8．（10分）每天，小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD（如图），
已知AB：BC：CD＝1：2：1，并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3：2：4，那么小
明上学与放学回家所用的时间比是 1 9 ： 1 6 ．
【分析】假设一段平路AB的路程是y、一段上坡路BC是2y和一段下坡路CD是y，平路、
上坡路、下坡路上的速度分别为3x，2x，4x，然后运用路程速度时间之间的关系求出上学
与放学回家所用的时间比．
【解答】解：上学用的时间；
+ ，
＝ ，
第8页（共11页）＝ ；
放学用的时间；
+ + ，
＝ ，
＝ ，
小明上学与放学回家所用的时间比是：
： ，
＝ ，
＝19：16；
答：小明上学与放学回家所用的时间比是19：16．
故答案为：19：16．
9．（10分）黑板上有11个1，22个2，33个3，44个4，做以下操作：每次擦掉3个不同的数字，
并且把没擦掉的第四种数字多写2个．例如：某次操作擦掉1个1，1个2，1个3，那就在写
上2个4，经过若干次操作后，黑板上只剩下3个数字，而且无法继续进行操作，那么最后
剩下的三个数字的乘积是 1 2 ．
【分析】本题属于操作问题，倒推最简单情况，黑板上只剩下3个数字，而且无法按规定继
续进行操作，只有两种情况2个a，一个b，或3个a．我们根据规则进行操作，当剩下3个
数字，无法继续进行操作，问题得解．
【解答】解：本题列表推理如下：
1 2 3 4
11 22 33 44
33 11 22 33
22 33 11 22
11 22 33 11
0 11 22 33
22 0 11 22
11 22 0 11
第9页（共11页）5 16 12 5
0 11 7 15
14 4 0 8
10 0 8 4
6 8 4 0
2 4 0 8
0 2 4 6
4 0 2 4
2 4 0 2
1 3 2 1
3 2 1 0
2 1 0 2
1 0 2 1
0 2 1 0
最后剩下了2个2，一个3，它们的积是：
2×2×3＝12；
故答案为：12．
10．（10分）如图，正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形，如果DG＝5，那么正方形
ABCD面积是 6 4 ．
【分析】如图，过G点做MO平行AD，交CD、AB分别于点M、O，过点F做FN⊥BC于N．
设正方形面积为“1”，则正方形边长为1，根据正方形ABCD被分成了面积相同的8个
三角形，可求出BI、HA的长度，再根据四边形FGHI是平行四边形，求出FG、GO、GM的
长度，在直角三角形GMD中，根据勾股定理求出DG的长度，最后根据如果DG＝5，求出
正方形的边长，最后算出面积．
第10页（共11页）【解答】解：如图，过G点做MO平行AD，交CD、AB分别于点M、O，过点F做FN⊥BC于
N．
设正方形面积为“1”，则正方形边长为1，图中每个小三角形的面积都是 ，
所以BI＝HA＝ ，
又因为四边形FGHI是平行四边形，所以HI＝FG＝ ，GO＝GM＝ ，FN＝ ，
在直角三角形GMD中，MG＝ ，MD5＝1﹣ ﹣ ＝ ，
根据勾股定理DG＝ ＝ ，
所以正方形的边长是5÷ ＝8，正方形面积＝8×8＝64．
故答案为：64．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:55:31；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第11页（共11页）
