文档内容
第 10 讲 几何计数
内容概述
合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行
恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算．
典型问题
兴趣篇
1．如图10-1，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米．请问：图中一共有多少条线段？
这些线段的长度之和是多少厘米？
解：1,4+3+2+1=10段 2， 4×1+3×2+2×3+1×4=20厘米
2．小明把巧克力棒摆成了如图10-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．
请问：
(1)一共有多少个巧克力棒？ (2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？
(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少
个三角形？
解：1，（1+2+3+4）×3=30根
2，（1+3+5+7）+（1+2+3+1）+（1+2）+1=27个
3，27-2-2-1=22个
3．如图10-3，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三
角形可以拼成较大的正三角形，图中包含“冰”的各种大小的正三角形一共有多少个？
解：1+4+1=6个
4．如图104和10-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？
解：5+4+1+1+1=12个
6×2+10×2=28个
5．如图10-6，在一个4x4的方格表中，共有多少个正方形？
解：42+32+22+12=30个6．如图10-7，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？
解：C 3×4+C 2×5=70条
5 4
C 2×C 2=60个
5 4
7．如图10-8，AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？
解：C 2×C 2-C 2×4=20
5 4 5
8．如图10-9，125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上
的黑色小立方体有多少个？
解：4×6+2×12=48个
9．如图10-10，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多
少个不同的三角形？
解：C 3-4×3-4-4=200个
12
10．如图10-11，在2x3的长方形中，每个小正方形的面积都是1．请问：以A、B、C、
D、E、F、G为顶点且面积为1的三角形共有多少个？
解：3×2+4+2+1=13个
拓展篇
1．如图10-12，数一数，图中有多少个三角形？
解：25+10+6+3+1+3=48个
2．如图10-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．
解：10+4×5+5=35个
35-6=29个
35+6×2=47个
3．如图10-14，数一数，图中有多少个三角形？
解：35×2+3×5=85个4．如图10-15，数一数．，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）
解：7+2+2+2+3+1=17个
5．如图10-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形，用16个同样大小的菱形组成如图的
一个大菱形．数一数，图中共有多少个菱形？
解：4×4+3×3+2×2+1× 1=30个
6．如图10-17，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形．请问：
(1)从中可以数出多少个长方形？(2)从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？
解：C 2×C 2=450个
10 5
2×3×4×6=144个
7．如图10-18，数一数，图中共有多少个长方形？
解：15×6+21×3-6×3=135个
8．如图10-19，数一数，图中共有多少个平行四边形？
解：6×3+15+3×2+3+3=45个
9．如图10-20，18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形，数一数，图中共有多
少个梯形？
解 12×2+4×2+6×2+2+8+2=56
10．如图10-21，方格纸上放了20枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？
解：9+4×2+2×2=21个
11．一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边
形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形．在图10-22中，共有多少个不同的曲边形？
解：10+10+10+5+1=36个12．如图10-23，一个2×3的网格中，每个小正方形的面积都是1．以这些格点为顶点，可
以连成多少个面积为l的三角形？
解：6×7+8×2+8+4=70个
超越篇
1．图10-24是一个等边三角形的点阵．以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包
括等边三角形）?
解：等边有：9+3+1+2=15个
等腰有：3+2×6+6+3=24个
共39个
2．如图10-25，数一数，图中共有多少个三角形？
解： C 2×2+C 1×2×4+1=67个
7 3
3．如图10-26，这是一个4x8的矩形网格，每一个小格都是一个正方形．请问：
(1)包含有两个“★”的矩形共有多少个？(2)至少包含一个“★”的矩形有多少个？
解：2×1×3×5=30个
3×4×6+4×2×5×3-3×2×5=162个
4．如图10-27，在图中的3×3正方形格子中，格线的交点称为格点．例如：A，B，C这3
个点都是格点，那么，以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个？
解：4×4=16个
5．如图10-28，用12个点将圆周12等分，以这些点为顶点的梯形共有多少个？
解：12×（4+3+2+1）=120个
6．一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，
例如圆、半圆、扇形等都是曲边形，在图10-29中，共有多少个不同的曲边形？
解：4×8+4×4+2×3+4×2+1=63个7．如图10-30，木板上钉着16枚钉子，排成四行四列的方阵．用橡皮筋一共可以套出多少
个不同的等腰三角形？
解：4×6+8×（3+1+3+1）+4×（3+3+2+5+2）=148个
8．如图10-31，在3×3的方格表内，每个小正方形的面积均为1．请问：
(1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为4的三角形？
(2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为3的三角形？
(3)以格点为顶点共可以连出多少个面积为1.5的三角形？
解： （1）4个
（2）4×10+2×4=48个
（3）6×8+4×4+8+4×4+4=92个
