文档内容
第 21 讲 数字问题
内容概述
各种与数字有关的数字谜问题．学会位值原理的分析方法；综合应用已学的数字谜技巧
和数论知识．
典型问题
兴趣篇
1．一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数．
答案：54
解析：设十位数为a，个位数为b，则10a+b=（a+b）x6，解得a=5，b=4。
2．今年是2008年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同”．请
问：小王今年多大？
答案：23岁或5岁
解析：假设在2000年后的200A年出生，则2008-200A=2+0+0+A,解得A=3，即2003年，
现在5岁；若在2000年前出生，则应该介于1980年至1989年之间，设为198B年出生，
则1+9+8+B=2008-198B，解得B=5，即23岁
3．用3个不同的数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求6个三位数
中最小的一个．
答案：139
解析：一共可以组成6个不同的三位数，且每个数字在百位、十位、个位上共出现6次，
设这三个数为\a、b、c，则（a+b+c）×2×111=2886，a+b+c=13，百位最小为1，十位取3，
则最小的一个数为139
4．有一个两位数，在它前面加上数字“3”可以得到一个三位数；在它后面加上数字“3”也得
到一个三位数；在它前、后各加一个数字“3”得到一个四位数，已知得到的三个数总和为
3600，求原来的两位数．
答案：14
解析：设这个两位数为ab，前面加个3为3ab，后面加个3是ab3，前后都加3为3ab3
3 a b
a b 3
+ 3 a b 3
3 6 0 0
通过上面竖式，可知a=1，b=4
5．有A、B两个整数，A的各位数字之和为35，B的各位数字之和为26，且两数相加时进
位三次，求A+B的各位数字之和．
答案：34
解析：用假设法，设A=9990224，B=6776，满足要求，A+B=9997000,9+9+9+7+0+0=346．有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数
各位数字之和的 ，求所有这样的三位数．
答案：117,108和207
解析：数字和减少，肯定有进位，进一位数字和减少9，加3后减少9，说明数字和减少了
6，设这个三位数为abc，（a+b+c-6）x3= a+b+c，可得（1.1.7），（1,0,8）（2,0,7）三组
解。
7．一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数，
这个五位数比原来的五位数小71355.问：原来卡片上写的五位数是多少？
答案：90961
解析：设这个五位数为abcde，倒过来后为edcba，且这个数由0、1、6、8、9组成，列竖
式有:
a b c d e
- e d c b a
7 1 3 5 5
则a=9，e=1，b=0，d=6，c=9
8．有一个四位数 ，它是由M个2的积与N个9的积相乘得到的，求这个四位数．
答案：2592
解析：这个数必定为2和9的倍数，N为偶数，2+M+N+9=9k，可得M=5，N=2
9．如果 是27的倍数，那么n最小是几？
答案：5
解析： ÷3=41…1（共n个1），这个数是9的倍数，4+n×1=9k，n最小取5
10．从1至9这9个数中选出8个不同的数字，组成能被24整除的八位数．试问：在这样
的八位数中，最大的和最小的分别是多少？
答案：最大98764512，最小12345768
解析：24=3x8,1至9的和为45，舍去的数可以为3,6,9，最大舍去3后为98765421，调整末
三位可以被8整除，可得98764512，同理，舍弃9后可以组成最小的八位数12345678，调
整后三位可得最小12345768.
拓展篇
1．在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数．
答案：45
解析：大8倍等同于扩大9倍，设这个数为ab，则100a+b=9a+9b，可得a=4，b=52．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个
自然数的平方．请问：这个和是多少？
答案：121
解析：设这个数为ab，调换后为ba，个位和十位都是a+b,所以ab+ba=（a+b）x11，a+b最
小为11，所以这个和最小为121
3．有一个三位数是8的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位
数的和恰好是1111.请问：原来的三位数是多少？
答案：704
解析：设这个数为abc，100a+10b+c+a+10b+100c=1111,101(a+c)+20b=1111，可得
a+c=11,b=0，且这个数为8的倍数，只能是704
4．在等式“学习好勤动脑×5=勤动脑学习好×8”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉
字表示不同的数字，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？
答案：410256
解析：学习好×5000+勤动脑×5=勤动脑×8000+学习好×8，解得学习好=205，勤动脑=128，
由于不同的汉字表示不同的数字，所以各扩大2倍得到410256
5．在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的9倍，
在这样的三位数中最小的是多少？最大的是多少？
答案：最小125，最大675
解析：设原数为abc，加入一个数字后为abcd
a b c
× 9
a d b c
c为5，最大675，最小125
6．用5、7、2、0、8这5个数字组成两个没有重复数字的五位数，这两个五位数的差是
66663，这两个数中较大的一个可能是多少？
答案：87250或87520
解析： □□□□□
+ □□□□□
６６６６３
不借位得到6有算式8-2=6，借位得到6的有7-0=6,2-5=6,5-8=6，可得3的有10-7=3,8-5=3.
将上述算式代入竖式可得答案。
7．有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为7的倍数，这两个自然数中较小的数是
多少？
答案：69999
解析：数字A的数字和为7的倍数，A+1后的数字和也是7的倍数，肯定有进位，每进一
位数字和减少9，9×n+1=7k，n可以取4，进位后为几万，只有70000满足，所以小一点的
是699998．记号n!表示前n个正整数相乘，并且规定0 ！=l，例如：4!=1 x2x3x4.每一个三位数
都有一个“对应数”：a！+ b! + c!，例如：254的对应数是2 !+5 !+4 !=146.请问：对应数与自
身相同的三位数是什么？
答案：145
解析,6！=720，5!=120，4!=24,a〈4，三个数最大的为4或者5，从105开始试，
115,125,135，145满足条件
9．如果修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，那么修改后的这个数是多少？
答案：33743
解析：31743÷823=38…469,823-469=354，只能改变万位和千位，2000÷823=2…354满足
要求，所以31743+2000=33743
10．如果 是1998的倍数，那么n最小是多少？
答案：27
解析：1998=2×999， 本身是偶数，只要满足999的倍数就可以，用三位截断法，可
得222×n÷3=999k，n最小取27.
11．1至9这9个数字，按图21-1所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，
分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在l和7之间剪开，得到的两个数是
193426857和758624391）．如果要求剪开后得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪
开处左右两个数字的乘积是多少？
答案：1×9=9,9×3=27,4×2=8,2×6=12,6×8=48，5×7=35
解析：396=4×9×11，不管从哪剪开，得到的九位数都是由 1～9组成，所以数字和为45，
肯定是9的倍数，假设在l和7之间剪开，得到的两个数是193426857和758624391，他们
除以11余数相同，那他们的差肯定是11的倍数，所以我们只要看是否满足差是4的倍数
就可以，看看差的末两位就可以，
从1和9之间剪开，差的末两位是32，满足。
从9和3之间剪开，差的末两位是24，满足。
从3和4之间剪开，差的末两位是69，不满足。
从4和2之间剪开，差的末两位是28，满足。
从2和6之间剪开，差的末两位是56，满足。
从6和8之间剪开，差的末两位是68，满足。
从8和5之间剪开，差的末两位是9，不满足。从5和7之间剪开，差的末两位是68，满足。
从7和1之间剪开，差的末两位是34，不满足。
所以，1×9=9,9×3=27,4×2=8,2×6=12,6×8=48，5×7=35
12．各位数字互不相同的八位数中，能被72整除的数最小是多少？最大是多少?
答案：最小10237896，最大98763120
解析：72=8×9，0至9这十个数的和为45，舍去两个数后是9的倍数，则舍去4和5，最小
为10236789，调整末三位为8的倍数，同理最大的数位98763210，调整末三位为8的倍数
可得答案。
超越篇
1．用3个不同的数字可以组成6个三位数，已知其中的5个的和是3194，求剩下的那个数
是多少．
答案：358
解析：一共可以组成6个不同的三位数，且每个数字在百位、十位、个位上共出现6次，
设这三个数为\a、b、c，222×（a+b+c）-abc=3194，222×15-3194=136,1+3+6≠15，舍弃；
222×16-3194=358,3+5+8=16，满足条件
2．一个数是它的数字和的88倍，求所有满足条件的正整数．
答案：1848,1056,1584
解析：这个数不能使2位数，也不是1位数，且五位数的数字和最多45,45×88的积是四位
数，不满足。所以这个数为三位数或四位数，
若为三位数可设为abc，abc=（a+b+c）×88，无解999÷88商11，说明a+b+c≤11，且
abc本身是8和11的倍数，无解
若为四位数设为abck，1000a+100b+10c+d=（a+b+c+d）×88，可得到
912a+12b=78c+87d，a=1，然后解不定方程，可解得1848,1056,1584
3．两个自然数，差是98，各自的各位数字之和都能被19整除．试问：满足要求的最小的
一对数之和是多少？
答案：60096
解析：98不是19的倍数，所以，小一点的数加98必须进位才能满足条件，一个数加98，
若不进位，数字和增加9+8=17，进一位数字和减少9,9×n-17=19k，n=4时，数字和减少了
19，数字和能被19整除，且进四位，数字和大于19，所以选38，最小的数为29999，
29999+98+29999=60096
4．如果 是756的倍数，那么n最小是多少？
答案：17解析：756=4×7×27，这个数是4的倍数，先让 ÷3=444…44，共有n+1位，只
要保证n+1是6的倍数，可保证这个数是7的倍数，同时n+1是9的倍数，可以保证这个数
是27的倍数，所以n+1是18，n=17
5．包含0至9这10个数字的十位数称为“十全数”．求满足以下条件的所有的十全数：
①它的千位是7；
②从左往右数，它的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的
三位数能被3整除……前十位组成的十位数能被10整除．
答案：3816547290
解析：千位是7，十万位是5，个位是0，8的倍数中，十位是7的三位数有176、272、
376、472、576、672、776、872、976，前六位是6的位数，万位上的数必定是偶数，只有
472和672、和872满足，所以百位是2，亿位、百万位、和万位上刚好是3个偶数，且第
三和第四位上的两个数应该是4的倍数，所以第四位只能选6，第三位为1，前三位为3的
倍数，所以第二位是8，这时可以得到3816547290和9816547230，看前七位是否为7的倍
数来判断。
6．由8个不同的数字组成的八位数中，能被396整除的数最大是多少？最小是多少？
答案：最大98752104，最小10238976
解析：396=4×9×11,10个数字的数字和为45，舍弃的两个数的和为9，剩下的数以降序排列，
若舍弃3和6可得98763210，保证满足4的倍数特征和11的倍数特征，可以得到
93762108，
若舍弃4和5，然后降序排列可得987543210，调整后得到98752104，所以选择较大的
98752104.同理可得最小的数10236789，调整后为10238976
7．最多有多少个连续自然数，它们的各位数字之和都不是11的倍数？请举例．
答案：38个；
解析：一个数的数字和为11的倍数，假设为29，那么给它加9之后为38，中间只有8个
数数字和不是11的倍数。那么进一位的情况下，数字和减少了9，则个位为0时，可以尽
可能多的取数，比如560，下一个数字和为11的倍数的数为589，中间有28个数，这个过
程中一共进位两次，如果进位3次，那么得到的数可能更多，那我们可以确定某数的后两
位为 80，且需要进位，那么给它前面填 9 就可以，9×n+8=11k，n 最小取 4，可得数
999980，且至1000019，中间共38个数。
8．用0至9这10个数字组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个，使它们都是非零
的完全平方数，
答案：3025,784,16,9；9025,784,36,1；2304,576,81,9；，7056,324,81,9
解析：由于0+1+2+……+9=45是9的倍数，考虑完全平方数除以3的余数只有1和0两
种，
所以，4个完全平方数要不都是3的倍数，要不就有1个3的倍数，其余被3除余1
（1）完全平方数全是3的倍数，于是都应该是9的倍数，所以一位数只能用9.，两位数
取36或者81，剩下的数的数字和为27，分为两组，一组为9，一组为18.。可得到三位
平方数324和576.所以有两组答案。（1）2304,576,81,9，（2）7056,324,81,9
（2）只有一个是3的倍数，其余三个的数字和除以3余1,若一位数是9的倍数，可得9,16,784,3025.若两位数数字和是3的倍数，则可得9025,784,36,1
