文档内容
第 22 讲 牛吃草问题与钟表问题
内容概述
牛吃草问题是一类特殊的工程问题，钟表问题是一类特殊的行程问题．牛吃草问题的难
点在于草的总量有变化，因此要注意单位“1”的选取．掌握钟表问题的相关知识，学会将掐
针成角度问题转化为指针闻的环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的
钟表之间的时间对比关系．
典型问题
兴趣篇
1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃
完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．请问：
(1)要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？(2)如果放养36头牛，多少天可以把草
吃完？
答案：（1）12头 （2）3天
分析：设一头牛一天吃1份草，24头牛6天一共吃草：24×6=144份；21头牛8天吃草：
21×8=168份。因此草每天的生长量为（168-144）÷2=12份，草地原有的草量为：144-
12×6=72份。（1）因为每天长出12份草，要使草永远吃不完，每天就只能吃长出来的这
些草，所以最多可以放养12头牛。（2）如果放养36头牛，那么可以让其中的12头牛每
天把新长的草吃完，剩下的牛吃原有的草，因此要把草地吃完需要：72÷（36-12）=3天.
2．学校有一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，
如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只
羊一起吃，刚好16天吃完？
答案：48只
分析：设一头牛一天吃1份草，18头牛40天共吃了：18×40=720份，24头牛25天共吃了：
24×25=600份。因此草每天的生长量为（720-600）÷（40-25）=8份，草地原有的草量为：
720-8×40=400份。原有草和16天中长出的草共有：400+8×16=528份，需要528÷16=33
头牛，因此羊有：（33-17）×3=48只。
3．一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这
15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15
头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？
答案：4天
分析：设一头牛一天吃1份草，15头牛8天共吃了：15×8=120份，如果15头牛先吃2天，
来2头牛后再吃5天，一共吃了：15×2+（15+2）×5=115份。 。因此草每天的生长量为
（120-115）÷（8-7）=5份，草地原有的草量为：120-8×5=80份.现在有15头牛，让其
中的5头牛专吃新长出的草，那么吃了2天后，草地还剩：80-（15-5）×2=60份，又来了
5头牛后，还可以再吃：60÷（20-5）=4天.
4．有一座时钟现在显示上午10点整，问：
(1)多少分钟后，分针与时针第一次重合？(2)再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？答案：（1） 分 （2） 分
分析：（1）10点整时，分针与时针相差50个格，当分针与时针第一次重合时，路程差为
50格，因此50÷（1- ）= 分钟后，分针与时针第一次重合。（2）从第一次重合
到第二次重合路程差为60格，60÷（1- ）= 分
5．小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，
那么小悦到达学校的时间是几点几分？
答案：7点 分
分析：当时针和分针恰好第一次张开成一条直线时，，路程差为30+2.5=32.5格，32.5÷
（1- ）= 分，因此小悦到达学校的时间是7点 分。
6．阿奇在9点与10点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和分针正好成一条直线．
当阿奇解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合．请问：阿奇解这道题用了多少分钟？
答案： 分
分析：路程差为30格，30÷（1- ）= 分
7．下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的
夹角为110°．在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看手表，发现时针和分针的夹角仍是
110°．那么动画片一共放了多少分钟？
答案：40分
分析：路程差为110+110=220度，220÷（6- ）=40分
8．在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央．请问：
这一时刻是6点多少分？
答案： 分
分析：路程和为30格，30÷（1+ ）= 分，因此这一刻是6点 分
9．小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些．这天中午 12点时，小悦把手表和闹钟校准，
但当闹钟走到下午1点时，手表显示的时间是1点5分．请问：
(1)当闹钟显示当天下午5点的时候，手表显示的时间是几点几分？
(2)当手表显示当天下午6点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？
答案：（1）5点25分 （2）6点
分析：（1）12点校准，两者时间一样，闹钟到下午1点，走了1小时，手表1:05，说明手
表每小时比钟表多走5分钟（1）闹钟5:00时，手表分针多走了5个5分钟，就是5:25。（2）手表从下午1点5分到6点半共走了5小时25分钟，因为手表每小时比闹钟
多走5分钟，所以闹钟比手表慢25分钟，因此闹钟显示的时间为6:00.
10．一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟，现在将
两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整．
请问：这个时候的标准时间是多少？
答案：8点45分钟
分析：快钟的速度=61分钟／小时，慢钟的速度=57分钟／小时 ，快钟与慢钟的速度差=4
分钟／小时 ，9点-8点=1小时=60分钟,60÷4=15分，9点-15分钟=8点45分钟。
拓展篇
1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养18头牛，那么10天能把草吃
完；如果只放养24头牛，那么7天就把草吃完了，请问：
(1)如果放养32头牛，多少天可以把草吃完？(2)要放养多少头牛，才能恰好14天把草吃完？
答案：（1）5天 （2）14头
分析：设一头牛一天吃1份草，18头牛10天一共吃草：18×10=180份；24头牛7天吃草：
24×7=168份。因此草每天的生长量为（180-168）÷（10-7）=4份，草地原有的草量为：
180-4×10=140份。（1）从32头牛中选出4头牛专吃每天新长的草，则剩28头牛吃原有
的草可吃：140÷28=5 天（2）要 14 天吃完，除必须有 4 头牛吃新长草外，还需
140÷14=10头吃原有草，则共需：10+4=14头牛。
2．进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少．现在开始在这片牧场
上放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃完需要30天．如
果有20只羊，这片牧场可以吃多少天？
答案：40天
分析：本题羊在吃草的同时，草也在不断的减少，这也是牛吃草问题的一种。设一只羊一
天吃1份草，38只羊25天一共吃草：38×25=950份；30只羊30天吃草：30×30=900份。
因此草每天的减少量为（950-900）÷（30-25）=10 份，草地原有的草量为：
950+25×10=1200份。现在有20只羊，那么每天草地除了被羊吃掉20份草外，还会自己减
少10份，因此这片牧场可以吃：1200÷（20+10）=40天。
3．一个露天水池底部有若干同样大小的进水管，这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水
池的雨水量相同．如果打开24根进水管，5分钟能注满水池；如果打开12根进水管，8分
钟能注满水池；如果打开8根进水管，多少分钟能将水池注满？
答案：10分
分析：设每根进水管每分钟的进水量为1份，24根进水管5分钟的总进水量为：24×5=120
份；12根排水管8分钟的总排水量为：12×8=96份。第一次比第二次多进水，是因为第一
次比第二次少下雨3分钟，因此每分钟下雨量为：（120-96）÷（6-3）=8份，于是水池
的容量为：120+5×8=160份，所以需要160÷（8+8）=10分钟能将水池注满。
4．把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为5公顷、15公顷和25公顷．如果第一
块草地可以供10头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以
供多少头牛吃50天？
答案：46头分析：设一头牛一天吃1份草
5公顷草地10头牛吃30天→15公顷草地30头牛吃30天，则15公顷草地的生长速度为：
（28×45-30×30）÷（45-30）=24份；原草15公顷对应的份数为：30×30-30×24=180份；
则 25 公顷对应的份数为：180×（24÷15）=300 份，25 公顷的生长速度为：24×
（25÷15）=40份。用40头牛吃新草，吃了50天，25公顷原草吃50天需要的牛数为：
300÷50=6头，40+6=46头。
5．一个时钟现在显示的时间是3点整，请问：(1)多少分钟后，时针与分针第一次重合？
(2)再经过多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线？
答案：（1） 分 （2） 分
分析：(1)分针速度每分钟1小格，时针速度每分钟 小格，3点整时，分针比时针落后15
格，当它们第一次重合时，路程差是15格，因此时间为：15÷（1- ）= 分钟(2)当
时针与分针第一次长成一条直线时，路程差为30格，因此时间为：30÷（1- ）=
分
6．在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度？从这一时刻开始，经过多少分钟，时针
和分针第一次垂直？
答案：143.5度； 分
分析：9点整时分针落后时针45格。到9点23分时，分针前进了23格。设分针所走的路
程为12份，他们的路程差为23× = 格，因此分针落后时针45- = 格，
他们之间的夹角为 ×6=143.5度。当时针与分针第一次垂直时，分针落后时针15格，
从9点整算起，他们的路程差为30格，设这个路程差为11份，那么分针所走过的路程是
30× = 格，从9点23算起，经过了 -23= 分钟，即从这一刻开始，经过
分钟，时针与分针第一次垂直。
7．小悦晚上去超市买东西，到的时候是7点24分，买完出来的时候仍然是7点多，且分
针和时针所夹的角度与到超市时相同，请问：小悦出来的时候是 7点几分？买东西一共花
了多少分钟？
答案：7点 分 分
分析：7点整时，分针落后时针35格，到7点24分，分针所走的路程为24格，他们的路
程差为24× =22格，此时分针落后时针35-22=13格。出来时分针与时针所夹的角度与
到超市时相同，则此时分针超过时针13格，这段时间内他们的路程差为13×2=26格。设这个路程差为11份，那么分针所走的路程为26× = 格，又 +24= ，小
悦出来的时候是7点 分，买东西一共花了 分。
8．图22-1中是一个特殊的钟，分针每80分钟走一圈，分针走8圈时针就走一圈，从分针
与时针重合开始，到分针与时针第三次成直角需要多少分钟？
答案： 分
分析：分针的速度等于360/80度/分钟，时针的速度等于360/640度/分钟
第三次成直角分针恰好比时针多走450度
所以时间=450/(360/80-360/640)=800/7分钟= 分钟
9．小明上了一节课，时间不到l小时，他发现下课时与上课时手表上时针与分针的位置刚
好对调．请问：这一堂课上了多少分钟？
答案： 分
分析：分针与时针的路程和为60格，设这个路程和为13份，那么分针所走过的路程为
60× = 格，即这一堂课上了 分。
10．在早晨6点到7点之间有一个时刻，钟面上的数字“5”恰好在时针与分针的正中央，请
问：这时是6点几分？
答案： 分
分析：从5点整算起，分针与时针所走过的路程和为 85格，设这个路程和为13份，则分
针所走的路程为85× = 格，又 -60= ，此时是6点 分。
11．(1)小悦的闹钟比标准时间每小时快3分钟．一天晚上11点，小悦把钟校准，并把闹铃
定在第二天早上6点．试问：当闹铃响起时，标准时间是几点几分？
(2)阿奇的手表比标准时间每小时慢4分钟．一天早上8点，阿奇将表校准，试问：当这只
表指向下午3点的时候，标准时间是几点几分？
答案：（1）早上5点40分 （2）下午3点30分。
分析：（1）小悦的闹钟比标准时间每小时快3分钟，则分针的速度为63÷60= 格/分，
闹钟响起时，分针走了7×60=420格，经过了420÷ =400分，因此闹钟响起时，标准时
间是早上5点40分。（2）手表分针的速度为56÷60= 格/分，从早上8点到这只表指向下午3点时，表的分针走了7×60=420格，经过了420÷ =450分，因此标准时间是下午
3点30分。
12．如图22.2所示，某科学家设计了一只怪钟，这只怪钟每昼夜10小时，每小时100分钟．
当这只钟显示5点时，实际上是中午12点．问：当这只钟第一次显示6点75分时，实际
上是什么时间？
答案：下午4点12分
分析：5点相当于12小时，那么1点相当于2.4小时，
6.75相当于 6.75×2.4=16.2（小时），
即16时12分，就是下午4点12分．
超越篇
1．第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样
密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧
场的草吃完．在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完．如果第一群牛有15头，那
么第二群牛有多少头？
答案：15头
分析：设每公顷原有草量为1单位，每公顷每天生长草量为x单位，每头牛每天吃掉草量
为y单位。
根据条件，第一群牛2天吃完一号牧场，得到等式：1*3公顷+x*2天*3公顷=y*15头*2天
→3+6x=30y，根据条件，第一群牛又用5天吃完二号牧场，得到等式：
1*5公顷+x*7天*5公顷=y*15头*5天 →5+35x=75y 注意，牛吃一号牧场的时候，二号牧
场的草仍然在生长，所以，这里草的增长量是按7天计算。联立求解→x=0.125 y=0.125
设，第二群牛有z头。根据条件，第二群牛7天吃完三号牧场，得到等式：
1*7公顷+x*7天*7公顷=y*z头*7天 →7+49x=7yz →z=（1+7x）/y 由于x，y值已经求出，
故z=15，因此第二群牛有15头。
2．钟面上会出现时针与分针重合的情况，也会出现时针与分针关于钟面左右对称的情况．
请问：
(1)距5点最近的“时针与分针重合”的时刻是几点几分？
(2)距5点最近的“时针与分针左右对称”的时刻是几点几分？
答案：（1）5点 分 （2）4点 分
分析：（1）距5点最近的点数是4和6，因此是4点多或5点多，4点多时分针在4-5之间，
分钟数在20-25之间，距5点35-40分钟，5点多时分针在5-6之间，分钟数在25-30之间，
距5点25-30分钟，5点多时距5点更近，设为x分，则25+ ，解得 ，距5
点最近的“时针与分针重合”的时刻是5点 分。（2）)距5点最近的“时针与分针左右
对称”的时刻是4点多或5点多，分钟数大于30，为4点半多或5点半多，距5点分别为不到 1 个小时和半个小时多，因此 4 点时更近，设为 分，则 ，解得
，此时为4点 分。
3．现在的时间在10点与11点之间，如果在6分钟后表的分针的位置恰好与3分钟前时针
的位置方向相反，那么现在的时间是几点几分？
答案：10点15分
分析：根据时针与分针的速度可知，时针每分走0.5度，分针每分走6度．据题意可知，等
量关系为：这个时刻的3分钟前时针走的度数=这个时刻6分钟后分针走的度数+180，把相
关数值代入求解即可．
设钟表这个时刻表示的时间是10点x分，依题意，得
300+0.5（x-3）=6（x+6）+180，
解得x=15（分钟）．
即表示的时间是10点15分．
4．某工厂的一只不准的时钟需要69分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次，工人每
天的正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作一小时付给工资4元，如果超出规定时
间就算加班，加班每小时付给工资6元．如果一个工人照此钟工作8小时，他实际上应得
到工资多少元？
答案：34.6元
分析：根据题意先求出正常钟表的时针和分针重合一次需要的时间，再求出不准确的钟表
走8小时，实际上是走的时间，最后即可求出答案
正常钟表的时针和分针重合一次需要的时间：12÷（12-1）= 小时， 小时= 分钟，
不准确的钟表走8小时，实际上所走的时间：69×8÷ = （小时），应得工资为：
4×8+6×（ -8）=32+2.6=34.6（元）
5．有两只旧钟，分别对它们进行观测，发现一只钟的分针与时针重合一次用 64分钟，另
一只钟的分针与时针重合一次用66分钟，现在把两只钟都在标准时间0:00校准．试问：
当它们再次出现在钟面上同一位置，且分针与时针重合（不一定都指向 12点），是几天几
小时几分钟之后？
答案：16天3小时12分钟
分析：重合一次用64和66分钟的钟每小时分别有64×（1- ）= ，66×（1- ）=
分钟，64分钟的钟走12小时需要 ×12=704分钟，64分钟的钟比66分钟的钟每小
时少走 - = 分钟，要少出多走 12 小时的时间需要 704÷ =384 小时，
×384=23232分钟=387小时12分钟=16天3小时12分钟。
6．费叔叔有一只手表和一个闹钟，他发现闹钟每走一个小时，他的手表会多走 30秒，但闹钟却比标准时间每小时慢30秒．在今天中午12点费叔叔把手表和标准时间校准，那么
明天中午12点时，费叔叔的手表显示的时间是几点几分几秒？
答案：11点59分54秒
分析：手表每小时为（3600-30）× 秒，每小时比标准时间慢 3600-
秒，明天中午12点时，手表显示的时间比标准时间慢 ×24=6秒，显示的时
间是11点59分54秒。
7．如图22—3所示，一块正方形草地被分为完全相同的四块以及中间的阴影部分．已知草
一开始是均匀分布，且以恒定的速度均匀生长．但如果某块地上的草被吃光，就不再生长
（因为草根也被吃掉了）．老农先带着一群牛在1号草地上吃草，两天后把1号草地上的
草全部吃完（这期间其他草地的草正常生长）．之后他让一半牛在 2号草地上吃草，另一
半在3号草地上吃草，结果又过了6天，这两个草地上的草也全部吃完．最后，老农把
的牛放在阴影草地上吃草，而剩下的牛放在4号草地上，最后发现两块草地上的草同时吃
完，如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要多少天？
答案：110天
分析：设这群牛一天吃额草为单位1，每块草每天长（ ×6-1×2）÷6=
原有草有（1- ）×2= ，阴影的面积是每块的 倍，吃完这些草需要
×（4+ ）÷﹝1- ×（4+ ）﹞=110天。
8．有一只表没有秒针，而且时针和分针无法辨别，在多数情况下可根据两针所指的位置判
断出正确的时间，但有时也会出现两种可能，使你判断不出正确的时间，请问：从中午 12
时到夜里12时这段时间会遇到多少次无法判断的情况？
答案：132次
分析：12小时把表分成12个相等的部分，时针和分针分别在两个不同的部分时有两次无
法判断，共 次。
