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强化提升-数资 4
（笔记）
主讲教师：陈红建
授课时间：2024.04.30
粉笔公考·官方微信强化提升-数资 4（笔记）
【注意】经济利润问题：
1.基础经济：
（1）核心是公式。利润=售价-成本；利润率=利润/售价→售价=成本*（1+
利润率）；折扣=折后价/折前价；总价=单价*数量。
（2）方法：方程法、赋值法。
2.分段计费：送分题，遇到分段计费，确定清楚分段点，分段计费，汇总求
和。
3.函数最值：套路图。单价和销量此消彼长，问什么时候总利润/总价最大。
方法是两点式，第一步，设降价/提价次数为 x，令总利润会总价=0，解出 x 和
1
x，x=（x+x）/2的时候，有最大值。
2 1 2
解题思路梳理
（1）方程法：给了多种具体的量(利润、成本、售价、件数等)
（2）赋值法：①条件和问题全是比例(例如：利润率、折扣，也算比例)
②三个量只给一个量(例如：总价=单价*数量)
操作方式：对条件和问题都没有给具体值的量进行赋值即可
【注意】
11.方程法：利润、成本、售价、件数等，给了很多具体的量，比如给 100
件、70 元，考虑方程法，设未知数、列方程。
2.给比例求比例，如给利润率 10%、九折，求的也是比例，条件和问题都是
比例，采取赋值法。三个量只给其中一个，总价=单价*数量，做题中三个量一个
都不知道，或者只知道一个数量为 10 件，则对条件和问题都没有给具体值的量
进行赋值即可。
1.（2021 北京）一种设备打九折出售，销售 12 件与原价出售销售 10 件时
获利相同。已知这种设备的进价为 50 元/件，其他成本为10 元/件。问如打八折
出售，1 万元最多可以买多少件？
A.80 B.83
C.86 D.90
【解析】1.“已知这种设备的进价为 50 元/件，其他成本为 10 元/件”，一
件的总成本=50+10=60 元。给多种具体的量，用方程法。求多少件，需要知道售
价，题干中没有说售价，假设一件的售价为 x，列式：（0.9x-60）*12=（x-60）
*10→5.4x-360=5x-300→0.4x=60→x=60/0.4=150。所求=10000/（0.8*150）
=10000/120=83+，最多买83.x，不能更多，向下取整，取 83。【选B】
2.（2023 湖北选调）一家超市按 20%的利润率定价出售一批酸奶，还剩下
10 箱时，因临近保质期按定价的五折卖出，最终实际获利只有预计获利的 88%。
问这批酸奶共有多少箱？
A.200 B.240
C.250 D.270
【解析】2.只有件数是具体量，总利润=单利*销量，三量关系只知其一，利
用赋值思维。求件数，说的是利润率，售价=成本*（1+利润率），赋值成本为 10，
“按 20%的利润率定价”，则售价=10*（1+20%）=12。设酸奶共 x 箱，最终的利
润=88%*（12-10）x=（12-10）*（x-10）+（0.5*12-10）*10→1.76x=2x-20-40
→x=60/0.24=250。【选C】
23.（2020 浙江选调）某停车场的收费标准如下：7：00—21：00，每小时 6
元，不足一小时按一小时计算；21：00—次日7：00，每两小时 1元，不足两小
时按两小时计算；每日零时为新的计费周期，重新开始计时。小刘某天上午 10
时将车驶入停车场，待其驶出时缴费 70元，则小刘停车时长 t的范围是：
A.14 小时＜t≤16小时
B.15 小时＜t≤17小时
C.16 小时＜t≤18小时
D.17 小时＜t≤19小时
【解析】3.出现“收费标准如下”，说明是分段计费问题。根据题意画数轴，
分开计算，汇总求和。7：00～21：00，共11小时，每小时 6元，花了6*11=66
元。第二段为21：00～0：00，共 3小时，花了 2元，后面 0：00～7：00，最多
能花2元，时间应该大于 2小时，小于 4小时，最少停11+3+2=16 小时，最多停
18小时，选择 C项。【选C】
4.（2023 事业单位）某电脑制造厂商生产销售一批电脑。每台电脑成本价
格为 4499 元，销售价格为 5699 元。某单位以销售原价购买 20 台电脑，在此基
础上，若销售价格每降低 100元，就多购买 2台。则该电脑制造厂商在该笔交易
中可获得的最大利润为多少元？
A.24200 B.24000
C.36000 D.31200
【解析】4.如果销售价格下降，卖出去的销量增多，单价和销量此消彼长，
问什么时候获得最大利润，为函数最值问题。解题思维是两点式，设降价次数为
x，找总利润，总利润=单个利润*销量，单利=售价-成本=5699-100x-4499，销量
=20+2x，总利润=（5699-100x-4499）*（20+2x），令总利润=0，5699-100x-4499=0，
3解得 x=12；20+2x=0，解得 x=-10，当 x=（12-10）/2=1 时有最值，下降 1 次，
1 2
总利润=（1200-100*1）*（20+2*1）=1100*22=24200，选择 A项。【选A】
【注意】基础经济、分段计费、函数最值，整体难度不是很高，如果考试中
有时间，尽可能做。如果非常复杂，可以往后放，有时间做，没时间适当猜。
【注意】行程问题：
1.普通行程：路程=速度*时间。强化课还会补充火车过桥和平均速度公式。
2.相对行程：
（1）相遇追及：相遇：S =v t ；追及：S =v t 。
和 和 遇 差 差 追
（2）多次运动，环形每相遇 1 次为 1 圈，相遇 n 次为 n 圈；环形追及，追
1次差1 圈，追 n次为n圈。
（3）流水行船：顺水：S=（v +v ）*t ；逆水：S=（v -v ）*t 。
船 水 顺 船 水 追
（4）线形两端出发第 n次相遇：比如甲、乙 2个人，从 A、B两点出发，第
一次相遇，为 A、B 的总长 S；相遇之后，两人继续按照原来的方向走，到对方
的起点之后返回，第二次相遇，共多走了 2个S。继续往后，每相遇一次，多走
2个S，相遇 n 次，共走2n-1个S。
43.比例行程：S=vt。S 一定，v 和 t 成反比，速度越快，用的时间越短；V
一定，S 和 t 成正比，走得时间越长，走得路程越多；t 一定，S 和 v 成正比，
速度越快，走得越远。
火车过桥（本质为普通行程，特殊点在于 S）
火车完全通过：从车头上桥到车尾离桥
S=S +S
桥 车
火车完全在桥上：从车尾上桥到车头离桥
S=S -S
桥 车
【注意】火车过桥（本质为普通行程，特殊点在于 S）：
1.火车完全通过：从车头上桥到车尾离桥。比如火车头站一个小人，从车头
上桥到车尾离桥。小人运行的距离=火车的长度+桥的长度，即 S=S +S 。
桥 车
2.火车完全在桥上：从车尾上桥到车头离桥。比如火车头站一个小人，小人
运行的距离=火车的长度-桥的长度。S=S -S 。
桥 车
等距离平均速度
公式：等距离平均速度=2v1v2/（v1+v2）
5【注意】等距离平均速度：
1.一定会出现两段相等的距离，平均速度相当于求总共的平均速度。
2.常见形式：两段的距离一致。
（1）小王先走绿色段，速度为 v 、然后走红色段，速度为 v，红色和绿色
1 2
路程相当，为等距离的情况，求总共的平均速度，为等距离的情况。
（2）直线往返：小王先走过去，速度为 v；走回来速度为 v，去和回路程
1 2
相等，求平均速度，为等距离平均速度。
（3）小王先上坡再下坡，走完之后返回，又先上坡再下坡，总共走的上坡
路程为一段红色和一段绿色，下坡路程为一段绿色和一段红色，距离总和相等，
求总共的平均速度，为等距离平均速度。
3.公式：等距离平均速度V=2vv /（v+v）。推导：路程=速度*时间，S=vt，
1 2 1 2
则V=S /t =（S+S）÷（S/v+S/v）=2÷[（v+v）/vv]=2v v/（v+v）。
总 总 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
65.（2023广东）某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，
最后竞走到达终点。一位选手在上午 7 点出发，9 点到达了终点，全程未休息，
其蛙跳、游泳和竞走的速度分别为每小时 2千米、3千米和 6千米。如果蛙跳和
竞走的路程相同，则所有项目的总路程是：
A.无法计算 B.6千米
C.8 千米 D.12千米
【解析】5.“7点出发，9点到达了终点”，共2小时。比较复杂的行程问题，
边读题边画行程图，要求的是路程，S=vt，总时间为2小时，需要算总的平均速
度。蛙跳和竞走路程相同，距离相同求平均速度，考虑等距离平均速度公式：V
蛙
=2vv/（v +v ）=2*2*6/（2+6）=24/8=3，且游泳的平均速度也是 3，则整
跳和竞走 1 2 1 2
体的平均速度就是 3。V =2，则S=3*2=6。【选B】
总
【真题练习】（2020联考）小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再
经过一道斜坡后到达学校上课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就
发现忘带课本，马上返回，从离家到赶回家中共用了 1个小时，假设小明当天平
路骑行速度为9千米/小时，上坡速度为6千米/小时，下坡速度为18千米/小时，
那么小明的家距离学校多远？
A.3.5 千米 B.4.5千米
C.5.5 千米 D.6.5千米
【解析】拓展.根据题意画图，小明在整个过程中走了一个来回，2 次家→
学校的距离，上坡和下坡的距离相等，求平均速度，用等距离平均速度公式。斜
坡的平均速度V=2vv/（v+v）=2*6*18/（6+18）=9，斜坡平均速度=9=平路速度，
1 2 1 2
则总的平均速度=9，2S=9*1→S=4.5。【选 B】
76.（2020事业单位）甲骑车从 A地前往 3千米外的B地，出发时均匀加速，
骑行到一半路程时的速度为 30千米/小时。此后均匀减速，到达 B地时的速度为
20千米/小时。问甲全程用时为多少分钟？
A.不到 9分 30秒
B.9 分30秒～10分之间
C.10 分～10 分30秒之间
D.超过 10 分30秒
【解析】6.甲开始均匀加速，骑行到一半路程比如到C 点，速度为30千米/
小时。匀加速、匀减速理论课讲过，就是加速度不变的加速、减速运动。公式：
v=v+at，通常不用，核心是平均速度=（初速度+末速度）/2。V =（0+30）/2=15；
0 AC
V =（30+20）/2=25，t =1.5/15+1.5/25=0.1+0.06=0.16 小时=0.16*60=9.6 分
BC 总
钟，0.5分钟=30 秒，说明超过了 9分钟 30秒，但不到 10分钟，选择 B项。【选
B】
【注意】考场小贴士：匀加速运动：是指加速度不变的加速运动。v=v+at；
0
平均速度=S/t=（初速度+末速度）/2。
相遇追及公式集锦：
8相遇本质公式：S =v t
和 和
直线相遇：S =v t
和 和
环形相遇：n圈=S =v t
和 和
直线两端出发多次相遇：（2n-1）S=S =v t
和 和
直线同端出发多次相遇：2nS=S =V t
和 和
追及本质公式：S =v t
差 差
直线追及：S =v t
差 差
环形追及：n圈=S =v t
差 差
【注意】直线同端出发多次相遇：比如一条直线，甲、乙两人都是从 A端出
发，甲比较快，甲走到 B之后返回，到 C点与乙相遇，甲和乙的路程和为 2个S。
相遇2次，为 4 个S，即2nS=S =V t。
和 和
7.（2020 山东）甲、乙两人在一条 400 米的环形跑道上从相距 200 米的位
置出发，同向匀速跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了 2000 米。问甲的速
度是乙的多少倍？
A.1.2 B.1.5
C.1.6 D.2.0
【解析】7.如果觉得运动轨迹复杂，可以画图。甲、乙之间相距 200米，比
如都是顺时针，S=vt，t 相同，S 和 v 成正比，速度越快，走的路程越多，找速
度的关系，只要找到路程即可，甲、乙同向，第一次追上，S =200 米。第一次
差
追上之后相遇，第二次以及后面每一次相遇，S 都是 1 圈=400 米。S
差 甲
=2000+200+400+400=3000米。路程和速度成正比，v /v =S /S =3000/2000=1.5，
甲 乙 甲 乙
选择B项。【选 B】
98.（2021新疆）甲、乙两地分别为一条河流的上下游，两地相距 360千米。
A 船往返需要 35 小时，其中从甲地到乙地的时间比从乙地到甲地的时间短 5 小
时。B船在静水中的速度为 12千米每小时，问其从甲地开往乙地需要多少小时？
A.12 B.20
C.24 D.40
【解析】8.要找时间，要确定速度，已知 v ，需要求 v 。先通过A船分析
船 水
v ，t +t =35，t =t -5，两式相减得：t =15、t =20。S=vt，v =360/15=24，
水 顺 逆 顺 逆 顺 逆 顺
v =360/20=18，则 v =（v -v ）/2=（24-18）/2=3。分析B船，t =360/（12+3）
逆 水 顺 逆 顺
=24小时，选择 C项。【选C】
【注意】几何问题：
1.公式运用：规则图形直接套公式，如果给的是不规则图形，没有记过公式，
10利用割补的思维，变成规则图形，再利用公式计算。
2.结论技巧：
（1）三角形相关。基础知识：两边只和大于第三边，两边只差小于第三边。
（2）勾股定理，记住特殊的勾股数。特殊角的三边关系：30°的直角三角
形，三边比例为 1：√3：2；45°的直角三角形，三边比例为 1：1：√2。利用比
例关系快速求解。
（2）面积相关：S =1/2*底*高。
△
①底（高）相同的三角形，都有 1/2，则面积之比等于高（底）之比。
②相似三角形，对应边之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
易错几何公式
【注意】
1.周长、面积：圆形周长=2πr，求弧长，要找圆心角的读书，用 n°/360°
先算占比，弧长=n°/360°*2πr=n°/180°πr。面积中重点强调菱形公式，菱
形面积=对角线乘积/2，正方形是特殊的菱形，如果知道正方形的对角线，也可
以用菱形公式求正方形的面积。
2.表面积相关：圆锥考查很少，了解即可。长方形千万不要忘了“2”，长方
形=2（ab+ac+bc）。球比较少见，表面积=4πr²。圆柱=2πr²+2πrh。圆柱上下
两个底，侧面展开面积为 2πrh。
3.体积：锥体：1/3*S*h；球体=4/3*πr³。
三角形相关
常考点：直角三角形 a²+b²=c²、特殊角三角形三边关系
111.常考勾股数：（3、4、5）n、（6、8、10）、（5、12、13）
2.特殊角三角形三边关系
【注意】
1.常考点：直角三角形 a²+b²=c²、特殊角三角形三边关系。
2.常考勾股数：（3、4、5）n、（6、8、10）、（5、12、13），还可能除夕拿（7、
24、25）（8、15、17），比如三角形遇到 8、15，另一条边一定为 17，不用套勾
股定理公式。
3.特殊角三角形三边关系：考试遇到，直接用比例关系解题即可。30°的直
角三角形，三边比例为 1：√3：2；45°的直角三角形，三边比例为 1：1：√2；
120°的等腰三角形，三边比例为 1：1：√3。
9.（2024 浙江考生回忆版）一块空地如图所示，AD、BC 均与底边垂直，三
角形 ACD 为等腰直角三角形，且 AG、DE、CF 长度均相等。现在图中阴影部分种
上草皮，已知DF 长80米，BC长160 米，那么草皮面积为多少平方米？
A.3200 B.3600
12C.4000 D.4800
【解析】9.等腰直角三角形，AD=DC；求三角形面积，公式：1/2*底*h，已
知“AG、DE、CF 长度均相等”，假设都是 x，则 DC=80-x；AD=80-x，
GD=AD-AG=80-x-x=80-2x 。 S =S +S =1/2* （ 80-2x ）*（ x+80-x ）
阴影 △ GEC △ BCF
+1/2*x*160=3200-80x+80x=3200。【选 A】
10.（2022 事业单位）某兴趣小组进行科学实验。在一个长方体的容器中注
入 5 厘米深的液体，已知这个长方体容器长 45 厘米，宽 35 厘米，高 15 厘米。
现将长方体容器内的液体全部倒入一个圆柱体容器内，已知圆柱体底圆半径为
20厘米，则圆柱体容器内的液体高度约为多少厘米？
A.5.2 B.6.3
C.7.1 D.8.0
【解析】10.不论怎么倒，液体体积不变，液体体积就是 45*35*5，等于倒
入圆柱体的体积，即 45*35*5=π*20²*h→h=45*35*5/（3.14*20*20），选项差距
大，多步除法，可以截两位估算，近似为 77+/12+，首位商6，选择B 项。【选B】
11.（2020国考）部队前哨站的雷达监测范围为100千米。某日前哨站侦测到
正东偏北30°100千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知
正南方向150千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间
后，正好在某点与可疑无人机相遇。问我方无人机速度是可疑无人机的多少倍？
A.√3+1 B.3（√3−1）
13C.4/3√3 D.2/3√5
【解析】11.出现了几何方位，边读题边画图，假设相遇点是C点，已知OA=100，
OB=150，是同时出发的，时间相同，路程和速度成正比，可以找路程的关系。30°
角的直角三角形三边比例为 1：√3：2，斜边是 2 份对应 100，则短边 OC 对应 1
份为 50，√3份为 50√3，V/V=BC/AC=（150+50）/50√3=4/√3=4√3/3，对应 C
B A
项。【选C】
知识点拓展——梯形中的蝴蝶定理：
若梯形的上下底最简比=a：b，则：S：S：S：S=a²：b²：ab：ab
1 2 3 4
【注意】梯形中的蝴蝶定理：
1.推导：连接梯形的对角线，上底为 a，下底为 b，a：b是最简比，两个三
角形相似，面积比=相似比²，则 S/S =（a/b）²=a²/b²。S 和 S 的高一致，三角
1 2 1 3
形中，高相同，对应的面积之比=底之比，S 和 S 相似，对应边成比例，则
1 2
S/S=a/b=a²/ab。同理，S 和 S 相似，对应边成比例，则 S/S=a/b=a²/ab。推
1 3 1 4 1 4
出S：S ：S：S=a²：b²：ab：ab。
1 2 3 4
142.若梯形的上下底最简比=a：b，则S：S：S：S=a²：b²：ab：ab。
1 2 3 4
12.（2021广东选调）如图三角形中，A、B分别为两条边的中点，则图中阴
影部分面积为三角形总面积的：
A.1/3 B.1/4
C.2/7 D.3/8
【解析】12.A、B 点是中点，四边形 ABCD 就是一个梯形，且 AC 和 BD 就是
对角线，AB/CD=1/2，则 S：S ：S ：S=a²：b²：ab：ab=1²：2²：1*2：1*2=1：
1 2 3 4
4：2：2。所以 S /S =（1/2）²=1/4。3份对应1+4+2+2=9，则1份对应3，4
△AOB △DOC
份对应3*4=12，所求=（2+2）/12=1/3，对应A项。【选A】
15【注意】排列组合与概率：
1.排列组合：
（1）基础概念：
①分类用加法（要么……要么……）。
②分步用乘法（既……又……）。
③有序用排列 A（不可互换）。
④无序用组合 C（可以互换）。
（2）经典题型：
①凑数字/情况少：枚举法，不重不漏、按序枚举。
②必须相邻——捆绑法，先捆再排。
③不能相邻——插空法，先排再插。
2.概率问题：
（1）给情况求概率：满足要求情况数/总的情况数。
（2）给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。
1613.（2023吉林）像中国的回文联“洞帘水挂水帘洞，山果花开花果山”一
样，如果将一个数的数字倒排后所得的数仍是这个数，这样的数称为回文数，例
如11，22，343，565，1881，20102等，在所有三位数中回文数共有：
A.81个 B.90个
C.99个 D.100个
【解析】13.三位数有百位、十位、个位，回文数的百位和个位相等，百位
不能为 0，只能从 1～9 中选择，共 9 种情况，确定了百位就确定了个位，所以
个位只有1种情况；十位可以从 0～9 中选，共 10种情况，所求=9*10*1=90，对
应B项。【选B】
14.（2023联考）教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、
练习作业和问卷考试五部分学习内容组成。学员需先后完成这五部分学习内容，
其中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后完成，则学员安排学习的顺序共有：
A.120种 B.72种
C.36种 D.24种
【解析】14.问情况数，排列组合问题，“论坛交流与练习作业均不能在最先
和最后完成”，先从阅读、观看、问卷中选 2 个放在最先和最后，为 C（3,2），
先观看再问卷，和先问卷再观看结果不一样，为 A（2,2），分步用乘法→C（3,2）
*A（2,2），中间 3个就从剩余的3个中选，有顺序，为 A（3,3）；所求=C（3,2）
*A（2,2）*A（3,3）=3*2*6=36，对应 C项。【选C】
15.（2022联考）滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由
式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的6个分项，
短道速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的3个分项。小林打算去现场观看
比赛，共选择6个项目，并且每个大项不少于1个，若所有项目比赛时间均不交叉，
则不同的观赛方式有：
A.83种 B.84种
C.92种 D.102种
17【解析】15.正向求解比较困难，可以考虑反面，正面是每个大项不少于 1
个→反面为要么只选滑雪，要么只选滑冰，但是滑冰只有 3 个分项（不够），所
以反面为6个项目均为滑雪，C（6,6）=1。总情况数为从 9 个分项中选6个，为
C（9,6）=C（9,3）=（9*8*7）/（3*2*1）=84，所求=84-1=83，对应 A 项。【选
A】
【注意】如果先算了总情况数为 84，还要减去反面情况，所以正向情况肯
定比84 小，直接选 A项。
16.（2022广东）某街道对辖内6个社区的垃圾分类情况进行考核评估，结果
显示，有2个社区的垃圾分类考核不通过。如果从6个社区中随机抽取3个进行现
场检查，则抽取的社区中，既有考核通过的又有考核不通过的社区的概率为：
A.1/5 B.1/2
C.2/3 D.4/5
【解析】16.通过的有6-2=4个；给情况求概率问题，P=满足情况数/总情况
数，满足情况数：
（1）2个通过 1个不通过：从4 个通过中选2个，为 C（4,2）；从不通过的
2个中选1个，为 C（2,1）；情况数为 C（4,2）*C（2,1）=6*2=12。
（2）1个通过 2个不通过：从4 个通过中选1个，为 C（4,1）；从不通过的
2个中选2个，为 C（2,2）；情况数为 C（4,1）*C（2,2）=4*1=4。
总情况数为从 6个中选3个，为 C（6,3）=（6*5*4）/（3*2*1）=20。所求
=（12+4）/20=16/20=4/5，对应D项。【选D】
17.（2023联考）某电子元件制造厂有甲、乙、丙三个车间，甲、乙、丙三
个车间的产量分别占总产量的5%、70%、25%，且甲、乙、丙三个车间的次品率依
次为4%、3%、2%。任取一件产品，取到次品为乙车间制造的概率是：
A.15% B.45%
C.75% D.85%
【解析】17.给情况求概率，P=满足情况数/总情况数，给比例求比例，可以
18赋值，为了避免出现分数，赋值总产量为 1000。甲次品=50*4%=2，乙次品
=700*3%=21，丙次品=250*2%=5，“取到次品为乙车间制造”即已经取到了次品，
总情况数=2+21+5，所求=21/（2+21+5）=21/28=75%，对应 C项。【选C】
容斥原理：
1.两集合：A+B-A∩B=总数-都不。
判定：出现两个主体，彼此之间有交叉关系。
某班有 100 人，喜欢语文的有90 人，喜欢数学的有80 人，语文数学都喜欢
的有75 人，问：语文数学都不喜欢的有多少人？
2.三集合：
（1）标准型：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C=总数-都不。
标准型判定：分别给出两两集合的交集（既 A又B、既 A又C、既B又C）
（2）非标准型：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。
非标准型判定：给出或求解只满足两种。
（3）常识型：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。
常识型判定：给出或求解只满足一项
容斥原理的方法选择
1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分
2.画图法：题目中所给所求公式里没有，公式法不好用（往往是出现只满足
某一个条件）
3.画图法三步走：
（1）第一步，画圈圈
（2）第二步，标数字（从里到外，注意去重）
（3）第三步，列算式
18.（2023浙江）某班级对70多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有12%
的学生两个科目均不及格。已知有2/3的学生英语及格，数学及格的学生比英语
多10人，那两科均及格的学生有多少人？
A.31 B.37
19C.41 D.44
【解析】18.有两个主体，问两个主体的交叉关系，属于两集合容斥问题，
“有 12%的学生两个科目均不及格”，都不/总数=12/100=3/25，则总数为 25 的
倍数，“某班级对 70多名学生”，所以总数只能为 75，推出都不=75*（3/25）=9，
英语及格=75*（2/3）=50，数学及格=50+10=60，A+B-A∩B=总数-都不→
50+60-x=75-9，解得 x=44，对应D项。【选D】
19.（2023事业单位）某机关部门有65人，为加强文化建设，组织员工到电
影院观看A、B、C三部电影，由于三部电影放映时间错开，要求每个员工至少观
看一部电影，有40%员工选择看电影A，有27人选择观看电影B，有48人选择观看
电影C。则选择观看三部电影的员工至多可以有多少人？
A.16 B.17
C.18 D.19
【解析】19.“要求每个员工至少观看一部电影”，说明都不=0；“有 40%员
工选择看电影A”，看电影A=65*40%=26。有三个主体，题干中没有出现两两的交
集，用三集合非标准型，公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。列式：
26+27+48-x-2y=65-0→2y=36-x，推出 y=（36-x）/2，想要 y 尽可能的大，则 x
就要尽可能的小，x最小为0，所以y 最大为36/2=18，对应 C项。【选C】
20.（2023广东）某单位共有员工200人，其中订阅杂志的人数比只订阅报纸
的人数多88%。则报纸和杂志均未订阅的员工有多少人？
A.36 B.56
C.76 D.96
【解析】20.画图，订阅杂志→A，只订阅报纸→只 B，则 A/只
B=1+88%=1+22/25=47/25，假设 A 为 47x，只 B 为 25x，求都不，假设都不为 y，
列式：47x+25x+y=200→72x+y=200，可以按照不定方程的思路做，或者 x、y 都
为正整数，x 最大只能取 2，代入，假设 x=1，y=200-72=128，没有答案；假设
x=2，y=200-72*2=56，对应B项。【选 B】
20猜题技巧：
一、以坑治坑：根据倍数、和差关系猜题
二、几何猜题：
①根据选项结构猜题
②根据肉眼观察的大小关系猜题
③利用尺子量长度
注意：猜题有风险，使用需谨慎
【注意】以坑治坑：根据倍数、和差关系猜题。出题人在出的过程中可能会
挖坑，考场上如果没有时间，可以先看问法（求什么），再看题干（题干中是否
有和所求主体相关的倍数、和差关系），最后看选项中是否有倍数、和差关系。
【例 1】（2019 年国考）甲车上午 8 点从 A 地出发匀速开往 B 地，出发 30
分钟后乙车从 A 地出发以甲车 2 倍的速度前往 B 地，并在距离 B 地 10 千米时追
上甲车。如乙车 9点10分到达B地，问甲车的速度为多少千米/小时？
A.30 B.36
C.45 D.60
【解析】1.乙=2甲，选项中 A项*2=D项，甲是小的那个数，对应 A项。【选
A】
【注意】考场小贴士：根据倍数猜题。
21【例 2】（2018 国考）将一块长 24 厘米、宽 16 厘米的木板分割成一个正方
形和两个相同的圆形，其余部分弃去不用。在弃去不用的部分面积最小的情况下，
圆的半径为多少厘米？
A.3√2 B.2√2
C.8 D.4
【解析】2.问圆的半径，直径=2半径，选项中C项=2*D 项，半径是小的数，
对应D项。【选 D】
【例 3】（2018 上海）大小两个玻璃瓶装着芝麻，如果将小瓶子里的芝麻全
部倒入大瓶子，大瓶子还可以装 45 克；如果将大瓶子里的芝麻倒入小瓶子，大
瓶子里还剩下455 克。已知大瓶子的容积是小瓶子的 2倍，则大瓶子最多可装芝
麻（ ）克。
A.1000 B.850
C.750 D.500
【解析】3.问大瓶子，大=2 小，选项中 A 项=2*D 项，要选大的数，对应 A
项。【选 A】
【例 4】（2022 江苏）日常生活中，每家每户都会排放“碳”。家用水、电、
气的碳排放量（单位：千克）分别等于用水吨数乘以 0.9、用电度数乘以 0.8、
用气立方米数乘以 0.2。若某户平均每月用水 10吨，用电380 度，用气 35立方
米，则该户一年所用水、电、气产生的碳排放量是：
A.320 千克 B.640千克
C.1920 千克 D.3840千克
【解析】4.1年=12个月，选项中 A项和D项有12倍关系，问 1年，猜大的
数，对应D项。【选D】
【真题练习】（2020上海）某游乐园在一个平地中央挖了一个球形下沉广场，
广场直径为200 米，最深处50米，那么这个球形的直径为（ ）米。
22A.125 B.200
C.225 D.250
【解析】拓展.求直径，直径=2*半径，结合选项，A、D 项之间有2倍关系，
直径是大的，猜 D项。【选D】
【例 5】（2019 江苏）某民营企业新建一个四边形的厂区，按对角线将整个
厂区分为四个功能区，如图所示。已知生产、仓储和营销三个功能区的面积分别
为26亩、18亩和 13亩，若保留休闲区的 12亩天然小湖泊，则休闲区可利用的
陆地面积是：
A.36 亩 B.26亩
C.24 亩 D.23亩
【解析】5.S =S -12，结合选项，A、C 项之间相差了 12，问 S ，猜较小
可 总 可
的数，猜C项。【选C】
【注意】考场小贴士：根据和差关系猜题。
【例 6】（2018 浙江）小王购买甲、乙两种特价商品。甲商品打八折后每件
52元，乙商品打八五折后每件 34元，小王购买这些商品总共比打折前节省了 83
元。问他购买这两种特价商品总共支出了多少元？
A.544 B.445
C.427 D.362
【解析】6.打折后=打折前-83，结合选项，B、D项之间相差 83，求小的数，
猜D项。【选D】
23【例 7】（2021 浙江）某机构计划派 45 名志愿者分别前往 A、B、C、D 四个
地区参与扶贫活动，其中 A地区的志愿者人数要比 B地区多 4人，C地区人数为
全部志愿者人数的，D地区人数不超过任何其他地区，则 A 地区至少有多少名志
愿者？
A.12 B.13
C.15 D.16
【解析】7.A 地=B 地+4，结合选项，A、D 项之间相差 4，A 地是大的，猜 D
项。【选 D】
【真题练习】（2021 新疆）王和张现在是同小区的邻居，3 年之后，王比张
年龄的 3 倍少 2 岁，再过 5 年王比张年龄的两倍多五岁，再在此基础上过 10 年
王的年龄是多少岁？
A.31 B.34
C.39 D.49
【解析】拓展.小王的年龄=现在的年龄+10，C、D项之间相差 10，问过后的
年龄，猜D项。【选D】
猜题技巧：
一、以坑治坑：根据倍数、和差关系猜题
二、几何猜题：
①根据选项结构猜题
②根据肉眼观察的大小关系猜题
③利用尺子量长度
注意：猜题有风险，使用需谨慎
【例 1】（2018 北京）本题图中，左边的图形每个小圆的面积为π，那么右
边图形中阴影部分面积为：
24A.8π B.64-16π
C.4π+8 D.20
【解析】1.求阴影部分的面积，S =S -S =平方数-带π的数，对应 B项。
阴影 正 圆
【选B】
【例 2】（2018 江苏）如图，在长方形 ABCD中，已知三角形 ABE、三角形ADF
与四边形AECF 的面积相等，则三角形 AEF与三角形CEF的面积之比是：
A.5：1 B.5：2
C.5：3 D.2：1
【解析】2.给了图，A 项为 5 倍，B 项为 2.5 倍，C 项为 1 倍多，D 项为 2
倍，肉眼观察，肯定是 2倍还多，对应 A项。【选A】
【例 3】（2020 新疆）某商业小区计划打造两个娱乐广场，其中一个为正方
形广场，面积为 320平方米，另一个为圆形广场，其直径比正方形广场的边长短
10%，问圆形广场的面积是多少平方米？
A.203 B.307
25C.452 D.824
【解析】3.问圆形的面积，简单画图，圆形的面积肯定比 320 小，排除 C、
D项，B项的307 和320之间就相差了 13，观察图形，除掉圆以外的部分肯定不
止13，猜 A项。【选A】
【真题练习】（2020浙江选调）如下图所示，在直角三角形 ABC中，MN是中
位线。已知四边形 ABMN与三角形MNC 的周长比为28：15，则 AC与 BC的长度比
是：
A.5：12 B.5：7
C.3：4 D.6：7
【解析】拓展.肉眼观察，AC 和BC 之间肯定是 2倍多，A项为2+倍，B项为
1+倍，C 项为1+倍，D项为1+倍，猜A 项。【选A】
课程最后寄语
1.结合思维导图整理每节课的思维逻辑，看回放查缺补漏，把能够掌握的题
型做到烂熟于心，对于确实怎么都弄不懂的题型可以战略性放弃
2.理论知识掌握扎实后，不断做题总结，将题目和理论相结合
3.循序渐进：听懂—会做—提速；题型—模块—套卷
4.题目选择：浙江、国考、山东、北京/联考/江苏等
5.有困难：粉笔 App-发现-圈子-搜索用户-“数资陈红建”
【注意】选择近五年的浙江、国考、山东、北京/联考/江苏等真题。
26数学运算考场策略
数量放最后，挑着做
核心原则：先短后长，先易后难
怎么挑？？？秒易代熟猜
秒：倍数特性、三角形相关结论类
易：工程、经济、几何公式、最值
代：余数、年龄、多位数、不定方程
熟：你的专属题型，自己去挖掘
猜：下下策，考眼神、拼运气
【注意】数学运算考场策略：如果考 10 道题，就尽量留 10 分钟，如果考
15道题，就尽量留 15分钟；可以先挑短的、简单的（可以秒杀的、套路题、题
干短的）做。5 道数推留5分钟，保四争五。
【答案汇总】
1-5：BCCAB；6-10：BBCAB；11-15：CABCA；16-20：DCDCB
27遇见不一样的自己
Be your better self
28
