2021年数学三真题_数学三真题+解析[87-25]_数学三真题

2021 考研数学（三）真题试题 数学（三） 一、选择题（本题共 10小题，每小题 5分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.） (1)当x0时， x2 (et3 1)dt是x7的 0 (A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小. ex 1  ,x0 (2)函数 f(x)= x ,在x0处   1,x0 (A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值. (C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0. b (3)设函数 f(x)axblnx(a0) 有两个零点，则 的取值范围是 a 1 1 (A)(e,). (B)(0,e). (C)(0, ). (D)( ,). e e (4)设函数 f(x,y)可微， f(x1,ex) x(x1)2， f(x,x2) 2x2lnx ，则df(1,1) (A)dxdy. (B)dxdy. (C)dy. (D)dy. (5)二次型 f(x ,x ,x )(x x )2 (x x )2 (x x )2的正惯性指数与负惯性指数依次为 1 2 3 1 2 2 3 3 1 (A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2. T  1  1    (6)设A( 1 , 2 , 3 , 4 )为4阶正交矩阵，若矩阵B =  2 T  ，  1  ，k 表示任意常数，    3 T   1   则线性方程组Bx 的通解x  (A)   k. (B)   k . 2 3 4 1 1 3 4 2 (C)   k . (D)   k . 1 2 4 3 1 2 3 4  1 0 1   (7)已知矩阵A 2 1 1 ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角      1 2 5 矩阵，则P ，Q可以分别取 1 0 0 1 0 1  1 0 0 1 0 0         (A) 0 1 0 ， 0 1 3 . (B) 2 1 0 ， 0 1 0 .                 0 0 1 0 0 1  3 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 2 3         (C) 2 1 0 ， 0 1 3 . (D) 0 1 0 ， 0 1 2 .                  3 2 1 0 0 1 1 3 1 0 0 1  (8)设A，B为随机事件，且0 P(B)1，下列命题中不成立的是 (A)若P(A|B)P(A)，则P(A|B) P(A). (B)若P(A|B)P(A)，则P(A|B) P(A) (C)若P(A|B)P(A|B)，则P(A|B) P(A). (D)若P(A| AB) P(A| AB) ，则P(A)P(B). (9)设(X ,Y)，(X ,Y )，，(X ,Y )为来自总体N(,;2,2;)的简单随机样本，令 1 1 2 2 n n 1 2 1 2 1 n 1 n  ，X  X ，Y  Y ，ˆ X Y 则 1 2 n i n i i1 i1 2 2 (A)E(ˆ )，D(ˆ ) 1 2 . n 2 2 2 (B)E(ˆ )，D(ˆ ) 1 2 1 2 . n 2 2 (C)E(ˆ )，D(ˆ ) 1 2 . n 2 2 2 (D)E(ˆ )，D(ˆ ) 1 2 1 2 . n 1 1 (10)设总体X 的概率分布为P{X 1} ，P{X 2}P{X 3} ，利用来自总体 2 4 的样本值1，3，2，2，1，3，1，2，可得的最大似然估计值为 1 3 1 5 (A) . (B) . (C) . (D) . 4 8 2 2 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置 上.） dy (11)若y cose x，则 ______________. dx x1 5 x (12) dx  ______________. 5 x2 9 (13)设平面区域D由曲线 y  xsinx(0 x1)与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转体的 体积为______________. (14)差分方程y t 的通解为______________. t x x 1 2x 1 x 2 1 (15)多项式 f(x) 中x3项的系数为______________. 2 1 x 1 2 1 1 x (16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中， 2再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与Y 的相关系数 ______________. 三、解答题（本题共 6 小题，共70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.） (17)(本小题满分12分) 1 1   已知lim[arctan  1 x x]存在，求的值. x0 x (18)(本小题满分12分) (x1)2  y2 求函数 f(x,y)2ln x  的极值. 2x2 (19)(本小题满分12分) 设有界区域D是 x2  y2 1和直线 y  x 以及 x 轴在第一象限围城的部分，计算二重积分 e(xy)2 (x2 y2)dxdy. D (20)(本小题满分12分) 1 设n为正整数，y  y (x)是微分方程xy(n1)y 0满足条件 y (1) 的解. n n n(n1) (1)求 y (x)； n  (2)求级数y (x)的收敛域及和函数. n n1 (21)(本小题满分12分) 2 1 0   设矩阵A= 1 2 0 仅有两个不同的特征值. 若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可     1 a b 逆矩阵P，使P1AP为对角矩阵. (22)(本小题满分12分) 在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ,较长的的一段长度记 Y 为Y ,令Z  . X (1)求X 的概率密度； (2)求Z 的概率密度.  X  (3)求E .  Y  3