2021年数学三解析_数学三真题+解析[87-25]_数学三解析

2021 考研数学真题及答案解析 数学（三） 一、选择题（本题共 10小题，每小题 5分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.） (1)当x0时， x2 (et3 1)dt是x7的 0 (A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小. 【答案】C.  【解析】因为当x0时，   x2 (et3 1)dt  2x(ex6 1) 2x7，所以 x2 (et3 1)dt是x7高阶无穷小，正    0  0 确答案为C. ex 1  ,x0 (2)函数 f(x)= x ,在x0处   1,x0 (A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值. (C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0. 【答案】D. ex 1 【解析】因为lim f(x)=lim 1 f(0) ，故 f(x)在x0处连续； x0 x0 x ex 1 1 因为lim f(x) f(0) =lim x lim ex1x  1 ，故 f(0) 1 ，正确答案为D. x0 x0 x0 x0 x0 x2 2 2 b (3)设函数 f(x)axblnx(a0) 有两个零点，则 的取值范围是 a 1 1 (A)(e,). (B)(0,e). (C)(0, ). (D)( ,). e e 【答案】A. b b b b b 【解析】令 f(x)axblnx0，f(x)a ，令 f(x)0有驻点x ，f  a bln 0， x a a a a b b 从而ln 1，可得 e，正确答案为A. a a (4)设函数 f(x,y)可微， f(x1,ex) x(x1)2， f(x,x2) 2x2lnx ，则df(1,1) (A)dxdy. (B)dxdy. (C)dy. (D)dy. 【答案】C. 【解析】 f(x1,ex)exf(x1,ex)(x1)22x(x1) ① 1 2 f  (x,x2)2xf  (x,x2) 4xlnx2x ② 1 2 1x 0 x 1 分别将 ， 带入①②式有 y 0 y 1 f(1,1) f(1,1)1， f(1,1)2f(1,1) 2 1 2 1 2 联立可得 f(1,1) 0， f(1,1)1，df(1,1) f(1,1)dx f(1,1)dy dy，故正确答案为C. 1 2 1 2 (5)二次型 f(x ,x ,x )(x x )2 (x x )2 (x x )2的正惯性指数与负惯性指数依次为 1 2 3 1 2 2 3 3 1 (A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2. 【答案】B. 【解析】 f(x ,x ,x )(x x )2 (x x )2 (x x )2 2x 2 2x x 2x x 2x x 1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 3 0 1 1   所以A 1 2 1 ，故特征多项式为     1 1 0  1 1 |EA| 1 2 1 (1)(3) 1 1  令上式等于零，故特征值为1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B. T  1  1    (6)设A( 1 , 2 , 3 , 4 )为4阶正交矩阵，若矩阵B =  2 T  ，  1  ，k 表示任意常数，    3 T   1   则线性方程组Bx 的通解x  (A)   k. (B)   k . 2 3 4 1 1 3 4 2 (C)   k . (D)   k . 1 2 4 3 1 2 3 4 【答案】D. 【解析】因为A(,,,)为4阶正交矩阵，所以向量组,,, 是一组标准正交向量 1 2 3 4 1 2 3 4 T   1  组，则 r(B)3 ，又 B = T   0 ，所以齐次线性方程组 Bx 0 的通解为 k .而 4 2 4 4 T  3  T  1  1    B( 1  2  3 )=   2 T ( 1  2  3 )  1    ， 故 线 性 方 程 组 Bx  的 通 解    3 T   1   x     k ，其中k为任意常数.故应选D. 1 2 3 4  1 0 1   (7)已知矩阵A 2 1 1 ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角      1 2 5 矩阵，则P ，Q可以分别取 21 0 0 1 0 1  1 0 0 1 0 0         (A) 0 1 0 ， 0 1 3 . (B) 2 1 0 ， 0 1 0 .                 0 0 1 0 0 1  3 2 1 0 0 1  1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 2 3         (C) 2 1 0 ， 0 1 3 . (D) 0 1 0 ， 0 1 2 .                  3 2 1 0 0 1 1 3 1 0 0 1  【答案】C. 【解析】  1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0       (A,E) 2 1 1 0 1 0  0 1 3 2 1 0  0 1 3 2 1 0              1 2 5 0 0 1 0 2 6 1 0 1 0 0 0 3 2 1  1 0 0   (F,P),则P  2 1 0 ;      3 2 1 1 0 1 1 0 0     0 1 3 0 1 0     1 0 1 F0 0 0  0 0 0 Λ           ，则Q   0 1 3  .故应选C. E1 0 0  1 0 1 Q   0 0 1     0 1 0 0 1 3         0 0 1  0 0 1 (8)设A，B为随机事件，且0 P(B)1，下列命题中不成立的是 (A)若P(A|B)P(A)，则P(A|B) P(A). (B)若P(A|B)P(A)，则P(A|B) P(A) (C)若P(A|B)P(A|B)，则P(A|B) P(A). (D)若P(A| AB) P(A| AB) ，则P(A)P(B). 【答案】D. P(A(AB)) P(A) 【解析】P(A| AB)   P(AB) P(A)P(B)P(AB) P(A(AB)) P(AB) P(B) P(AB) P(A| AB)    P(AB) P(AB) P(A) P(B) P(AB) 因为P(A| AB) P(A| AB) ，固有P(A) P(B)P(AB)，故正确答案为D. (9)设(X ,Y)，(X ,Y )，，(X ,Y )为来自总体N(,;2,2;)的简单随机样本，令 1 1 2 2 n n 1 2 1 2 1 n 1 n  ，X  X ，Y  Y ，ˆ X Y 则 1 2 n i n i i1 i1 2 2 (A)E(ˆ )，D(ˆ ) 1 2 . n 32 2 2 (B)E(ˆ )，D(ˆ ) 1 2 1 2 . n 2 2 (C)E(ˆ )，D(ˆ ) 1 2 . n 2 2 2 (D)E(ˆ )，D(ˆ ) 1 2 1 2 . n 【答案】B 【解析】因为X,Y 是二维正态分布，所以X 与Y 也服从二维正态分布，则X Y 也服从二维正态 分布，即E(ˆ ) E(X Y) E(X)E(Y) ， 1 2 2 2 2 D(ˆ )D(X Y)D(X)D(Y)cov(X,Y) 1 2 1 2 ，故正确答案为B. n 1 1 (10)设总体X 的概率分布为P{X 1} ，P{X 2}P{X 3} ，利用来自总体 2 4 的样本值1，3，2，2，1，3，1，2，可得的最大似然估计值为 1 3 1 5 (A) . (B) . (C) . (D) . 4 8 2 2 【答案】A. 1 1 【解析】似然函数L()( )3( )5， 2 4 1 1 取对数lnL() 3ln( )5ln( )； 2 4 dlnL() 3 5 1 求导   0，得 .故正确答案为A. d 1 1 4 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置 上.） dy (11)若y cose x，则 ______________. dx x1 1 sin 【答案】 e . 2e 1 sin 【解析】 dy sine x(e x  1 ) dy  e . dx 2 x dx x1 2e 5 x (12) dx  ______________. 5 x2 9 【答案】6. 3 x 5 x 1 3 d(9x2) 1 5d(x29) 【解析】 dx dx     6. 5 9x2 3 x2 9 2 5 9x2 2 3 x2 9 (13)设平面区域D由曲线 y  xsinx(0 x1)与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转体的 体积为______________.  【答案】 . 4 41 1 1   【解析】V  ( xsinx)2dx xsin2xdx xt  sin2tdt  . 0 0 2 0 4 (14)差分方程y t 的通解为______________. t 1 1 【答案】y y y t2 tC ，C为任意常数. 2 2 1 1 1 【解析】 yC , y  (at+b) ，(t1)(a(t1)b)t(at1)t ，2atabt ，a ,b ， 2 2 2 1 1 y y y t2 tC ,C为任意常数. 2 2 x x 1 2x 1 x 2 1 (15)多项式 f(x) 中x3项的系数为______________. 2 1 x 1 2 1 1 x 【答案】-5. 【解析】 x x 1 2x x 2 1 1 2 1 1 x 1 1 x 2 1 x 2 1 f(x)  x 1 x 1 x 2 x 1  2 1 1 2x 2 1 x 2 1 x 1 1 1 x 2 1 x 3 1 x 2 1 1 2 1 1 x 所以展开式中含x3项的有x3,4x3，即x3项的系数为-5. (16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中， 再从乙盒中任取一球.令 X ,Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与Y 的相关系数 ______________. 1 【答案】 . 5 (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) 0 1 0 1       【解答】联合分布率(X,Y)  3 1 1 3 ,X  1 1 Y  1 1          10 5 5 10  2 2 2 2 1 1 1 1 cov(X,Y)  ，DX  ,DY  ,即  . 20 4 4 XY 5 三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.） (17)(本小题满分10分) 1 1   已知lim[arctan  1 x x]存在，求的值. x0 x 1 1 【答案】 ( e).  e 【解析】.要想极限存在，则左右极限相等；  1 1  又由于lim arctan (1 x)x  e; x0  x  2 5 1 1  1 lim arctan (1 x)x    ; x0  x  2 e   1 1 1 从而 e    ，即 ( e). 2 2 e  e (18)(本小题满分12分) (x1)2  y2 求函数 f(x,y)2ln x  的极值. 2x2 1 1 【答案】(1,0)处取极小值2；( ,0)处取极小值 2ln2. 2 2 【解析】  2x2 x1 y2   f x '  x3  0 2x2 x1 y2 0 （1） 即  y  y 0 f '  0  y x2 1 得驻点(1,0)，( ,0) 2   4x1  x3(2x2 x1 y2)  f''  xx x4   2y （2） f''  xy x3   1 f''    yy x2 （3）驻点(1,0)处，A=3，B=0，C=1，ACB2 30，A0 故 f(x,y)在(1,0)处取极小值2； 1 驻点( ,0)处，A=24，B=0，C=4，ACB2 30，A0 2 1 1 故 f(x,y)在( ,0)处取极小值 2ln2. 2 2 (19)(本小题满分12分) 设有界区域D是 x2  y2 1和直线 y  x 以及 x 轴在第一象限围城的部分，计算二重积分 e(xy)2 (x2 y2)dxdy. D 1 1 1 【答案】 e2 e . 8 4 8 e(xy)2 (x2 y2)d 1   4cos2d 1 er2(cossin)2 r2dr2  1   4cos2d 1 er2(cossin)2 r2dr2 2 0 0 2 0 0 D  4cos2d 1 eu(cossin)2 udu 0 0  1 ueu(cossin)2 du  1  1 (cossin)2ueu(cossin)2 du(cossin)2 0 (cossin)4 0 1 (cossin)2   tetdt (cossin)4 0 1 1  e(cossin)2  [e(cossin)2 1] (cossin)2 (cossin)4 61 cossin 1  cossin 上式= 4 e(cossin)2 d 4 [e(cossin)21]d 2 0 cossin 2 0 (cos+sin)3  1  21 eu2 du 1  2 eu2 1 du 2 1 u 2 1 u3 其中 21 eu2 du= 2 u-2d( 1 eu2 )  1 eu2 2  2 ( 1 eu2 )(2u3)du 1 e2 1 e 2 eu2 du 1 u 1 2 2u2 1 1 2 4 2 1 u3 原式= e2  e + 1  2 u3du 1 e2 1 e 1 . 8 4 2 1 8 4 8 (20)(本小题满分12分) 1 设n为正整数，y  y (x)是微分方程xy(n1)y 0满足条件 y (1) 的解. n n n(n1) (1)求 y (x)； n  (2)求级数y (x)的收敛域及和函数. n n1 1 (1x)ln(1x)x,x(1,1) 【答案】(1)y (x) xn1;(2)收敛域[1,1]，S(x) . n n(n1)  1,x1 (n1)y n1 dx 1 1 (1) y  0 得 y Ce x Cxn1 ， 将 y (1) 带 入 ， 有 C  ， x n n(n1) n(n1) 1 y (x) xn1； n n(n1)  1 (2)  xn1的收敛域为[1,1] n(n1) n1  1  xn1  xn1 设S(x) xn1  (1x)ln(1x)x,x(1,1) n(n1) n n1 n1 n1 n1 又因为S(x)在[1,1]连续，所以S(1) limS(x)1， x1 (1x)ln(1x)x,x[1,1) 所以S(x) .  1,x1 (21)(本小题满分12分) 2 1 0   设矩阵A= 1 2 0 仅有两个不同的特征值. 若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可     1 a b 逆矩阵P，使P1AP为对角矩阵. 2 1 0 【解析】由EA  1 2 0 (b)(3)(1)0 1 a b 当b3时，由 A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则  1 1 0   (3EA) 1 1 0 知，a 1，      1 a 0 71 0     此时，  3所对应特征向量为  1 ,  0 ， 1 2 1   2       0 1 1 3       1所对应的特征向量为  1 ，则P1AP  3 3 3          1   1 当b1时，由 A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则 1 1 0   (EA) 1 1 0 ，知a 1，      1 a 0 1 0     此时，  1所对应特征向量为  1 ,  0 ， 1 2 1   2        0  1 1 1       3所对应的特征向量为  1 ，则P1AP  1 . 3 3         1  3 (22)(本小题满分12分) 在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ,较长的一段长度记为 Y Y ,令Z  . X (1)求X 的概率密度； (2)求Z 的概率密度.  X  (3)求E .  Y   2 1,0 x1  ,z 1 【答案】(1) x f (x) ；(2) f (z)(F (z)) (z1)2 .(3) 12ln2.  0,其他 Z Z   0,其他 1,0 x1 【解析】(1)由题知：x f (x) ；  0,其他 2 X (2)由 y 2x，即Z  ，先求Z 的分布函数： X 2 X   2  F (z)P  Z  z P  zP 1 z Z  X  X  当z 1时，F (z)0； Z 当z 1时，  2   2  2 2 F (z)P 1 z1PX  1 z11dx 1 ； Z X   z 1 0 z 1  2  ,z 1 f (z)(F (z)) (z1)2 ； Z Z   0,其他 8 X   X  1 x (3)E  E    1dx 1 2ln2.  Y   2X  02x 9