2021年数学三解析_数学三真题+解析[87-25]_数学三解析

2021 考研数学真题及答案解析
数学（三）
一、选择题（本题共 10小题，每小题 5分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）
(1)当x0时，
x2
(et3 1)dt是x7的
0
(A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小.
【答案】C.

【解析】因为当x0时，   x2 (et3 1)dt  2x(ex6 1) 2x7，所以 x2 (et3 1)dt是x7高阶无穷小，正
 
 0  0
确答案为C.
ex 1
 ,x0
(2)函数 f(x)= x ,在x0处

 1,x0
(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值.
(C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.
【答案】D.
ex 1
【解析】因为lim f(x)=lim 1 f(0) ，故 f(x)在x0处连续；
x0 x0 x
ex 1
1
因为lim f(x) f(0) =lim x lim ex1x  1 ，故 f(0) 1 ，正确答案为D.
x0 x0 x0 x0 x0 x2 2 2
b
(3)设函数 f(x)axblnx(a0) 有两个零点，则 的取值范围是
a
1 1
(A)(e,). (B)(0,e). (C)(0, ). (D)( ,).
e e
【答案】A.
b b b b b
【解析】令 f(x)axblnx0，f(x)a ，令 f(x)0有驻点x ，f  a bln 0，
x a a a a
b b
从而ln 1，可得 e，正确答案为A.
a a
(4)设函数 f(x,y)可微， f(x1,ex) x(x1)2， f(x,x2) 2x2lnx ，则df(1,1)
(A)dxdy. (B)dxdy. (C)dy. (D)dy.
【答案】C.
【解析】 f(x1,ex)exf(x1,ex)(x1)22x(x1) ①
1 2
f  (x,x2)2xf  (x,x2) 4xlnx2x ②
1 2
1x 0 x 1
分别将 ， 带入①②式有
y 0 y 1
f(1,1) f(1,1)1， f(1,1)2f(1,1) 2
1 2 1 2
联立可得 f(1,1) 0， f(1,1)1，df(1,1) f(1,1)dx f(1,1)dy dy，故正确答案为C.
1 2 1 2
(5)二次型 f(x ,x ,x )(x x )2 (x x )2 (x x )2的正惯性指数与负惯性指数依次为
1 2 3 1 2 2 3 3 1
(A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2.
【答案】B.
【解析】 f(x ,x ,x )(x x )2 (x x )2 (x x )2 2x 2 2x x 2x x 2x x
1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 3
0 1 1
 
所以A 1 2 1 ，故特征多项式为
 
 
1 1 0
 1 1
|EA| 1 2 1 (1)(3)
1 1 
令上式等于零，故特征值为1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.
T  1
 1   
(6)设A( 1 , 2 , 3 , 4 )为4阶正交矩阵，若矩阵B =  2 T  ，  1  ，k 表示任意常数，
   3 T   1  
则线性方程组Bx 的通解x 
(A)   k. (B)   k .
2 3 4 1 1 3 4 2
(C)   k . (D)   k .
1 2 4 3 1 2 3 4
【答案】D.
【解析】因为A(,,,)为4阶正交矩阵，所以向量组,,, 是一组标准正交向量
1 2 3 4 1 2 3 4
T 
 1 
组，则 r(B)3 ，又 B = T   0 ，所以齐次线性方程组 Bx 0 的通解为 k .而
4 2 4 4
T
 3 
T  1
 1   
B( 1  2  3 )=   2 T ( 1  2  3 )  1    ， 故 线 性 方 程 组 Bx  的 通 解
   3 T   1  
x     k ，其中k为任意常数.故应选D.
1 2 3 4
 1 0 1
 
(7)已知矩阵A 2 1 1 ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角
 
 
 1 2 5
矩阵，则P ，Q可以分别取
21 0 0 1 0 1  1 0 0 1 0 0
       
(A) 0 1 0 ， 0 1 3 . (B) 2 1 0 ， 0 1 0 .
       
       
0 0 1 0 0 1  3 2 1 0 0 1
 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 2 3
       
(C) 2 1 0 ， 0 1 3 . (D) 0 1 0 ， 0 1 2 .
       
       
 3 2 1 0 0 1 1 3 1 0 0 1 
【答案】C.
【解析】
 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0
     
(A,E) 2 1 1 0 1 0  0 1 3 2 1 0  0 1 3 2 1 0
     
     
 1 2 5 0 0 1 0 2 6 1 0 1 0 0 0 3 2 1
 1 0 0
 
(F,P),则P  2 1 0 ;
 
 
 3 2 1
1 0 1 1 0 0
   
0 1 3 0 1 0
   
1 0 1
F0 0 0  0 0 0 Λ  
        ，则Q   0 1 3  .故应选C.
E1 0 0  1 0 1 Q  
0 0 1
   
0 1 0 0 1 3
   
   
0 0 1  0 0 1
(8)设A，B为随机事件，且0 P(B)1，下列命题中不成立的是
(A)若P(A|B)P(A)，则P(A|B) P(A).
(B)若P(A|B)P(A)，则P(A|B) P(A)
(C)若P(A|B)P(A|B)，则P(A|B) P(A).
(D)若P(A| AB) P(A| AB) ，则P(A)P(B).
【答案】D.
P(A(AB)) P(A)
【解析】P(A| AB)  
P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(A(AB)) P(AB) P(B) P(AB)
P(A| AB)   
P(AB) P(AB) P(A) P(B) P(AB)
因为P(A| AB) P(A| AB) ，固有P(A) P(B)P(AB)，故正确答案为D.
(9)设(X ,Y)，(X ,Y )，，(X ,Y )为来自总体N(,;2,2;)的简单随机样本，令
1 1 2 2 n n 1 2 1 2
1 n 1 n
 ，X  X ，Y  Y ，ˆ X Y 则
1 2 n i n i
i1 i1
2 2
(A)E(ˆ )，D(ˆ ) 1 2 .
n
32 2 2
(B)E(ˆ )，D(ˆ ) 1 2 1 2 .
n
2 2
(C)E(ˆ )，D(ˆ ) 1 2 .
n
2 2 2
(D)E(ˆ )，D(ˆ ) 1 2 1 2 .
n
【答案】B
【解析】因为X,Y 是二维正态分布，所以X 与Y 也服从二维正态分布，则X Y 也服从二维正态
分布，即E(ˆ ) E(X Y) E(X)E(Y) ，
1 2
2 2 2
D(ˆ )D(X Y)D(X)D(Y)cov(X,Y) 1 2 1 2 ，故正确答案为B.
n
1 1
(10)设总体X 的概率分布为P{X 1} ，P{X 2}P{X 3} ，利用来自总体
2 4
的样本值1，3，2，2，1，3，1，2，可得的最大似然估计值为
1 3 1 5
(A) . (B) . (C) . (D) .
4 8 2 2
【答案】A.
1 1
【解析】似然函数L()( )3( )5，
2 4
1 1
取对数lnL() 3ln( )5ln( )；
2 4
dlnL() 3 5 1
求导   0，得 .故正确答案为A.
d 1 1 4
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置
上.）
dy
(11)若y cose x，则 ______________.
dx
x1
1
sin
【答案】 e .
2e
1
sin
【解析】 dy sine x(e x  1 ) dy  e .
dx 2 x dx x1 2e
5 x
(12) dx  ______________.
5 x2 9
【答案】6.
3 x 5 x 1 3 d(9x2) 1 5d(x29)
【解析】 dx dx     6.
5 9x2 3 x2 9 2 5 9x2 2 3 x2 9
(13)设平面区域D由曲线 y  xsinx(0 x1)与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转体的
体积为______________.

【答案】 .
4
41 1 1  
【解析】V  ( xsinx)2dx xsin2xdx xt  sin2tdt  .
0 0 2 0 4
(14)差分方程y t 的通解为______________.
t
1 1
【答案】y y y t2 tC ，C为任意常数.
2 2
1 1 1
【解析】 yC , y  (at+b) ，(t1)(a(t1)b)t(at1)t ，2atabt ，a ,b ，
2 2 2
1 1
y y y t2 tC ,C为任意常数.
2 2
x x 1 2x
1 x 2 1
(15)多项式 f(x) 中x3项的系数为______________.
2 1 x 1
2 1 1 x
【答案】-5.
【解析】
x x 1 2x
x 2 1 1 2 1 1 x 1 1 x 2
1 x 2 1
f(x)  x 1 x 1 x 2 x 1  2 1 1 2x 2 1 x
2 1 x 1
1 1 x 2 1 x 3 1 x 2 1 1
2 1 1 x
所以展开式中含x3项的有x3,4x3，即x3项的系数为-5.
(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，
再从乙盒中任取一球.令 X ,Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与Y 的相关系数
______________.
1
【答案】 .
5
(0,0) (0,1) (1,0) (1,1) 0 1 0 1
     
【解答】联合分布率(X,Y)  3 1 1 3 ,X  1 1 Y  1 1
     
 
 10 5 5 10  2 2 2 2
1 1 1 1
cov(X,Y)  ，DX  ,DY  ,即  .
20 4 4 XY 5
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(17)(本小题满分10分)
1 1
 
已知lim[arctan  1 x x]存在，求的值.
x0 x
1 1
【答案】 ( e).
 e
【解析】.要想极限存在，则左右极限相等；
 1 1 
又由于lim arctan (1 x)x  e;
x0  x  2
5 1 1  1
lim arctan (1 x)x    ;
x0  x  2 e
  1 1 1
从而 e    ，即 ( e).
2 2 e  e
(18)(本小题满分12分)
(x1)2  y2
求函数 f(x,y)2ln x  的极值.
2x2
1 1
【答案】(1,0)处取极小值2；( ,0)处取极小值 2ln2.
2 2
【解析】
 2x2 x1 y2
  f x '  x3  0 2x2 x1 y2 0
（1） 即
 y  y 0
f '  0
 y x2
1
得驻点(1,0)，( ,0)
2
  4x1  x3(2x2 x1 y2)
 f'' 
xx x4

 2y
（2） f'' 
xy x3

 1
f'' 


yy x2
（3）驻点(1,0)处，A=3，B=0，C=1，ACB2 30，A0
故 f(x,y)在(1,0)处取极小值2；
1
驻点( ,0)处，A=24，B=0，C=4，ACB2 30，A0
2
1 1
故 f(x,y)在( ,0)处取极小值 2ln2.
2 2
(19)(本小题满分12分)
设有界区域D是 x2  y2 1和直线 y  x 以及 x 轴在第一象限围城的部分，计算二重积分
e(xy)2 (x2 y2)dxdy.
D
1 1 1
【答案】 e2 e .
8 4 8
e(xy)2 (x2 y2)d 1   4cos2d 1 er2(cossin)2 r2dr2  1   4cos2d 1 er2(cossin)2 r2dr2
2 0 0 2 0 0
D

4cos2d 1 eu(cossin)2 udu
0 0
 1 ueu(cossin)2 du  1  1 (cossin)2ueu(cossin)2 du(cossin)2
0 (cossin)4 0
1 (cossin)2
  tetdt
(cossin)4 0
1 1
 e(cossin)2  [e(cossin)2 1]
(cossin)2 (cossin)4
61 cossin 1  cossin
上式= 4 e(cossin)2 d 4 [e(cossin)21]d
2 0 cossin 2 0 (cos+sin)3
 1  21 eu2 du 1  2 eu2 1 du
2 1 u 2 1 u3
其中 21 eu2 du= 2 u-2d( 1 eu2 )  1 eu2 2  2 ( 1 eu2 )(2u3)du 1 e2 1 e 2
eu2
du
1 u 1 2 2u2 1 1 2 4 2 1 u3
原式= e2  e + 1  2 u3du 1 e2 1 e 1 .
8 4 2 1 8 4 8
(20)(本小题满分12分)
1
设n为正整数，y  y (x)是微分方程xy(n1)y 0满足条件 y (1) 的解.
n n n(n1)
(1)求 y (x)；
n

(2)求级数y (x)的收敛域及和函数.
n
n1
1 (1x)ln(1x)x,x(1,1)
【答案】(1)y (x) xn1;(2)收敛域[1,1]，S(x) .
n n(n1)  1,x1
(n1)y n1 dx 1 1
(1) y  0 得 y Ce x Cxn1 ， 将 y (1) 带 入 ， 有 C  ，
x n n(n1) n(n1)
1
y (x) xn1；
n n(n1)
 1
(2)
 xn1的收敛域为[1,1]
n(n1)
n1
 1  xn1  xn1
设S(x) xn1  (1x)ln(1x)x,x(1,1)
n(n1) n n1
n1 n1 n1
又因为S(x)在[1,1]连续，所以S(1) limS(x)1，
x1
(1x)ln(1x)x,x[1,1)
所以S(x) .
 1,x1
(21)(本小题满分12分)
2 1 0
 
设矩阵A= 1 2 0 仅有两个不同的特征值. 若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可
 
 
1 a b
逆矩阵P，使P1AP为对角矩阵.
2 1 0
【解析】由EA  1 2 0 (b)(3)(1)0
1 a b
当b3时，由 A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则
 1 1 0
 
(3EA) 1 1 0 知，a 1，
 
 
 1 a 0
71 0
   
此时，  3所对应特征向量为  1 ,  0 ，
1 2 1   2  
   
0 1
1 3 
   
 1所对应的特征向量为  1 ，则P1AP  3
3 3    
   
 1   1
当b1时，由 A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则
1 1 0
 
(EA) 1 1 0 ，知a 1，
 
 
 1 a 0
1 0
   
此时，  1所对应特征向量为  1 ,  0 ，
1 2 1   2  
   
 0  1
1 1 
   
 3所对应的特征向量为  1 ，则P1AP  1 .
3 3    
   
1  3
(22)(本小题满分12分)
在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ,较长的一段长度记为
Y
Y ,令Z  .
X
(1)求X 的概率密度；
(2)求Z 的概率密度.
 X 
(3)求E .
 Y 
 2
1,0 x1  ,z 1
【答案】(1) x f (x) ；(2) f (z)(F (z)) (z1)2 .(3) 12ln2.

0,其他 Z Z


0,其他
1,0 x1
【解析】(1)由题知：x f (x) ；

0,其他
2 X
(2)由 y 2x，即Z  ，先求Z 的分布函数：
X
2 X   2 
F (z)P  Z  z P  zP 1 z
Z  X  X 
当z 1时，F (z)0；
Z
当z 1时，
 2   2  2 2
F (z)P 1 z1PX  1 z11dx 1 ；
Z X   z 1 0 z 1
 2
 ,z 1
f (z)(F (z)) (z1)2 ；
Z Z


0,其他
8 X   X  1 x
(3)E  E    1dx 1 2ln2.
 Y   2X  02x
9