2021年数学二真题_数学二真题+解析[87-25]_数学二真题

2021 考研数学（二）真题试题 数学（二） 一、选择题（本题共 10小题，每小题 5分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.） (1)当x0时， x2 (et3 1)dt时x7的 0 (A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小. ex 1  ,x0 (2)函数 f(x)= x ,在x0处   1,x0 (A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值. (C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0. (3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，3cm/s，当底面半径为10cm， 高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为 (A)125cm3 /s，40cm2 /s. (B)125cm3 /s，40cm2 /s. (C)100cm3 /s，40cm2 /s. (D)100cm3 /s，40cm2 /s. b (4)设函数 f(x)axblnx(a0) 有两个零点，则 的取值范围是 a 1 1 (A)(e,). (B)(0,e). (C)(0, ). (D)( ,). e e (5)设函数 f(x)secx在x0处的2次泰勒多项式为1axbx2，则 1 1 (A)a 1,b . (B)a 1,b . 2 2 1 1 (C)a 0,b . (D)a 0,b . 2 2 (6)设函数 f  x,y 可微，且 f(x1,ex) x(x1)2， f(x,x2) 2x2lnx ，则df(1,1) (A)dxdy. (B)dxdy. (C)dy. (D)dy. (7) 设函数 f  x 在区间 0,1 上连续，则 1 f  x  dx  0 n 2k1 1 n 2k11 (A)lim f   . (B)lim f   . n  2n 2n n  2n n k1 k1 2n k11 2n  k  2 (C)lim f   . (D)lim f    . n  2n n x0 2n n k1 k1 (8)二次型 f(x ,x ,x )(x x )2 (x x )2 (x x )2的正惯性指数与负惯性指数依次为 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1(A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2. (9)设3阶矩阵A,, ，B ,,，若向量组,, 可以由向量组, 线 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 性表出，则 (A)Ax0的解均为Bx0的解. (B)ATx 0的解均为BTx 0的解. (C)Bx0的解均为Ax0的解. (D)BTx 0的解均为ATx 0的解.  1 0 1   (10)已知矩阵 A 2 1 1 若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使PAQ为对角      1 2 5 矩阵，则P ，Q可以分别取 1 0 0 1 0 1  1 0 0 1 0 0         (A) 0 1 0 ， 0 1 3 . (B) 2 1 0 ， 0 1 0 .                 0 0 1 0 0 1  3 2 1 0 0 1  1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 2 3         (C) 2 1 0 ， 0 1 3 . (D) 0 1 0 ， 0 1 2 .                  3 2 1 0 0 1 1 3 1 0 0 1  二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置 上.） (11)  x3x2 dx .  x2et t1 d2y (12)设函数y y(x) 由参数方程 确定,则  .  y 4(t1)et t2 dx2 t0 z (13)设函数zz(x,y)由方程(x1)z ylnzarctan(2xy)1确定,则  . x (0,2) t 1 x  (14)已知函数 f(t)  dx sin dy,则 f   . 1 x y  2 (15)微分方程yy0的通解y . x x 1 2x 1 x 2 1 (16)多项式 f(x) 中x3项的系数为______________. 2 1 x 1 2 1 1 x 三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.） (17)(本题满分10分)  1 x et2 dt   1  求极限lim 0  . x0   ex 1 sinx     2(18)(本题满分12 分) x x 已知 f(x) ，求 f (x)的凹凸性及渐近线. 1 x (19)(本题满分12 分) f (x) 1 f(x)满足 dx  x2 x C ,L为曲线y  f (x)(4x 9)， L的弧长为s， L绕x轴 x 6 旋转一周所形成的曲面的面积为 A,求s和A. (20)(本题满分12 分) 函数 y y(x)的微分方程xy6y 6，满足y( 3)10， (1)求 y(x)； (2)P为曲线 y  y(x)上的一点，曲线y y(x)在点P的法线在 y轴上的截距为I ，为使I 最 y y 小，求P的坐标. (21)(本题满分12 分) 曲线(x2  y2)2  x2  y2(x0,y0) 与x轴围成的区域为D,求 xydxdy. D (22)(本小题满分12分) 2 1 0   设矩阵 A= 1 2 0 仅有两个不同的特征值. 若A相似于对角矩阵，求a，b 的值，并求可     1 a b 逆矩阵P，使P 1AP为对角矩阵. 3