2021年数学一解析_数学一真题+解析[87-25]_数学一解析

2021 考研数学真题及答案解析 数学（一） 一、选择题（本题共 10小题，每小题 5分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.） ex 1  ,x0 (1)函数 f(x)= x ,在x0处   1,x0 (A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值. (C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0. 【答案】D. ex 1 【解析】因为lim f(x)=lim 1 f(0) ，故 f(x)在x0处连续； x0 x0 x ex 1 1 因为lim f(x) f(0) =lim x lim ex1x  1 ，故 f(0) 1 ，正确答案为D. x0 x0 x0 x0 x0 x2 2 2 (2)设函数 f  x,y 可微，且 f(x1,ex) x(x1)2， f(x,x2) 2x2lnx ，则df(1,1) (A)dxdy. (B)dxdy. (C)dy. (D)dy. 【答案】C. 【解析】 f(x1,ex)exf(x1,ex)(x1)22x(x1) ① 1 2 f  (x,x2)2xf  (x,x2) 4xlnx2x ② 1 2 x 0 x 1 分别将 ， 带入①②式有 y 0 y 1 f(1,1) f(1,1)1， f(1,1)2f(1,1) 2 1 2 1 2 联立可得 f(1,1) 0， f(1,1)1，df(1,1) f(1,1)dx f(1,1)dy dy，故正确答案为C. 1 2 1 2 sinx (3)设函数 f(x) 在x0处的3次泰勒多项式为axbx2 cx3，则 1x2 7 7 (A)a 1,b0,c . (B)a 1,b0,c . 6 6 7 7 (C)a 1,b1,c . (D) a 1,b1,c . 6 6 【答案】A. 【解析】根据麦克劳林公式有 sinx  x3  7 f(x)  x o(x3) [1x2o(x3)] x x3o(x3) 1x2  6  6 17 故a 1,b0,c ，本题选A. 6 (4) 设函数 f  x 在区间 0,1 上连续，则 1 f  x  dx  0 n 2k1 1 n 2k11 (A)lim f   . (B) lim f   . n  2n 2n n  2n n k1 k1 2n k11 2n  k  2 (C) lim f   . (D)lim f    . n  2n n x0 2n n k1 k1 【答案】B. 【 解 析 】 由 定 积 分 的 定 义 知 ， 将  0,1  分 成 n 份 ， 取 中 间 点 的 函 数 值 ， 则 1 n 2k 11  f(x)dx lim  f   ,即选B. 0 nk1  2n n (5)二次型 f(x ,x ,x )(x x )2 (x x )2 (x x )2的正惯性指数与负惯性指数依次为 1 2 3 1 2 2 3 3 1 (A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2. 【答案】B. 【解析】 f(x ,x ,x )(x x )2 (x x )2 (x x )2 2x 2 2x x 2x x 2x x 1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 3 0 1 1   所以A 1 2 1 ，故特征多项式为     1 1 0  1 1 |EA| 1 2 1 (1)(3) 1 1  令上式等于零，故特征值为1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B. 1 1 3       (6)已知  0 ，  2 ，  1 ，记 ，  k，  l l  ， 1   2   3   1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2       1 1 2 若， ，两两正交，则l ，l 依次为 1 2 3 1 2 5 1 5 1 5 1 5 1 (A) , . (B)  , . (C) , . (D)  , . 2 2 2 2 2 2 2 2 【答案】A. 【解析】利用斯密特正交化方法知 0 [,]      2 1   2 ， 2 2 [,] 1     1 1 0 [,] [,]    3 1   3 2  ， 3 3 [,] 1 [,] 2 1 1 2 2 [,] 5 [,] 1 故l  3 1  ，l  3 2  ，故选A. 1 [,] 2 2 [,] 2 1 1 2 2 (7)设A,B为n阶实矩阵，下列不成立的是 2A O  A AB (A)r  2r  A  (B)r  2r  A  O ATA O AT  A BA   A O  (C)r  2r  A  (D)r  2r  A  O AAT  BA AT  【答案】C. A O  【解析】(A)r  r(A)r(ATA)2r(A).故A正确. O ATA A AB A O  (B)AB的列向量可由A的列线性表示，故r  r  r(A)r(AT) 2r(A). O AT   0 AT  (C)BA的列向量不一定能由A的列线性表示. A BA A O  (D)BA的行向量可由A的行线性表示，r  r  r(A)r(AT) 2r(A). O AT   0 AT  本题选C. (8)设A，B为随机事件，且0 P(B)1，下列命题中不成立的是 (A)若P(A|B)P(A)，则P(A|B) P(A). (B)若P(A|B)P(A)，则P(A|B) P(A) (C)若P(A|B)P(A|B)，则P(A|B) P(A). (D)若P(A| AB) P(A| AB) ，则P(A)P(B). 【答案】D. P(A(AB)) P(A) 【解析】P(A| AB)   P(AB) P(A)P(B)P(AB) P(A(AB)) P(AB) P(B) P(AB) P(A| AB)    P(AB) P(AB) P(A) P(B) P(AB) 因为P(A| AB) P(A| AB) ，固有P(A) P(B)P(AB)，故正确答案为D. (9)设 X ,Y  ,  X ,Y  ,,  X ,Y  为来自总体 N  ,;2,2;  的简单随机样本，令 1 1 2 2 n n 1 2 1 2 1 n 1 n ,X  X ,Y  Y,ˆ X Y, 则 1 2 n i n i i1 i1 (A) ˆ是的无偏估计，D  ˆ   1 2  2 2 n (B) ˆ不是的无偏估计，D  ˆ   1 2  2 2 n (C) ˆ是的无偏估计，D  ˆ   1 2  2 2 2 1  2 n (D) ˆ不是的无偏估计，D  ˆ   1 2  2 2 2 1  2 n 【答案】C. 【解析】因为X,Y 是二维正态分布，所以X 与Y 也服从二维正态分布，则X Y 也服从二维正态 分布，即E(ˆ ) E(X Y) E(X)E(Y) ， 1 2 32 2 2 D(ˆ )D(X Y)D(X)D(Y)cov(X,Y) 1 2 1 2 ，故正确答案为C. n (10)设 X ,X ,X 是来自总体 N ,4  的简单随机样本，考虑假设检验问题： 1 2 16 H :10,H :10.  x 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W   X 11  ， 0 1 1 16 其中X  X ，则11.5时，该检验犯第二类错误的概率为 16 i i1 (A)1 0.5  (B)1 1  (C)1 1.5  (D) 1 2  【答案】B. 1 【解析】所求概率为P{X 11} X  N(11.5, )， 4   X 11.5 1111.5 P{X 11}P  1(1) 1 1    2 2  故本题选B. 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置 上.）  dx (11)   . 0 x2 2x2  【答案】 4 【解析】  dx   dx  arctan(x1)        0 x2 2x2 0 (x1)2 1 0 2 4 4  x 2et t1,x0 d2y (12)设函数y y(x) 由参数方程 确定,则  . y 4(t1)et t2,x0 dx2 t0 2 【答案】 . 3 dy 4tet 2t d2y (4et 4tet 2)(2et 1)(4tet 2t)2et 【解析】由  ，得  ， dx 2et 1 dx2 (2et 1)3 d2y 2 将t 0带入得  . dx2 t0 3 (13)欧拉方程x2yxy4y 0满足条件 y(1)1,y(1)2得解为y  . 【答案】x2. dy d2y dy d2y 【解析】令 xet ，则 xy ,x2y  ，原方程化为 4y0 ，特征方程为 dt dx2 dx dx2 2 40，特征根为 2, 2，通解为 y Ce2t C e2t C x2 C x2，将初始条件 1 2 1 2 1 2 y(1)1,y(1)2带入得C 1,C 0，故满足初始条件的解为 y  x2. 1 2 (14) 设  为 空 间 区 域  (x,y,z) x2 4y2 4,0z 2  表 面 的 外 侧 ， 则 曲 面 积 分 x2dydz y2dzdxzdxdy .  【答案】4. 42 【解析】由高斯公式得原式=(2x2y1)dV  dzdxdy 4. 0  D (15)设 Aa 为 3 阶矩阵， A 为代数余子式，若 A的每行元素之和均为 2，且 A 3， ij ij A  A  A = . 11 21 31 3 【答案】 . 2 1 1 1       A 【解析】 A 1 2 1 , A,2, 1 ,则 A* 的特征值为 ，对应的特征向量为              1 1 1 1 A A A  1  A  A  A  1   A  11 21 31     11 21 31  A   1 ,A* 而A*  A A A , A* 1  A A A  1 ，即     12 22 32    12 22 32              1 A A A  1  A  A A  1 13 23 33 13 23 33 3 A  A  A  . 11 21 31 2 (16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中， 再从乙盒中任取一球.令 X ,Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与Y 的相关系 数 . 1 【答案】 . 5 (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) 0 1 0 1       【解答】联合分布率(X,Y)  3 1 1 3 ,X  1 1 Y  1 1          10 5 5 10  2 2 2 2 1 1 1 1 cov(X,Y)  ，DX  ,DY  ,即  . 20 4 4 XY 5 三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.） (17)(本题满分10分)  1 x et2 dt   1  求极限lim 0  . x0   ex 1 sinx     1 【答案】 . 2  1 x et2 dt  sinx1 x et2 dt  1  【解析】解：lim 0  lim 0 x0  ex 1 sinx  x0 (ex 1)sinx   又因为 x et2 dt  x (1t2o(t2))dt  x 1 x3o(x3) ，故 0 0 3 1 1 1 (x x3o(x3))(1x x3o(x3))x x2o(x2) 3! 3! 2 原式=lim x0 x2 1 x2 o(x2) 1 2 =lim  . x0 x2 2 5(18)(本题满分12分) 1  设u (x)enx  xn1(n 1,2,) ，求级数u (x)的收敛域及和函数. n n(n1) n n1  ex  (1x)ln(1x)x,x(0,1) 【答案】S(x)   1ex .  e ,x1 e1 【解析】    1   ex S(x)u (x) enx xn1 ,收敛域(0,1],S (x)enx  ,x(0,1] n1 n n1  n(n1)  1 n1 1ex  1  xn1  xn1 S (x) xn1  xln(1x)[ln(1x)x] 2 n(n1) n n1 n1 n1 n1 (1x)ln(1x)x, x(0,1) S (1)limS (x)1 2 x1 2  ex  (1x)ln(1x)x,x(0,1) 1ex S(x)  e ,x1 e1 (19)(本题满分12分) x2 2y2 z 6 已知曲线C: ，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值. 4x2yz 30 【答案】66 【解析】设拉格朗日函数Lx,y,z,,z2   x2 2y2 z6  (4x2yz30) L 2x4u0 x Ly4y2u0 L 2zu0 z x2 2y2 z6 4x2yz30 解得驻点：(4,1,12),(8,2,66) C上的点(8,2,66)到xoy面距离最大为66. (20)(本题满分12分) 设D R2是有界单连通闭区域，I(D) (4x2y2)dxdy 取得最大值的积分区域记为D . 1 D (1)求I(D )的值. 1 (xex24y2  y)dx(4yex24y2 x)dy (2)计算  ，其中D 是D 的正向边界. x2 4y2 1 1 D 1 【答案】. 【解析】（1）由二重积分的几何意义知：I(D) (4x2y2)d，当且仅当4x2  y2在D上 D 2 2 大于0时，I(D)达到最大，故D：x2  y2 4且I(D )= d (4r2)rdr 8. 1 1 0 0 (2)补D :x2 4y2 r2（r很小），取D 的方向为顺时针方向， 2 2 (xex24y2  y)dx(4yex24y2 x)dy  = x2 4y2 D 1 6(xex24y2  y)dx(4yex24y2 x)dy (xex24y2  y)dx(4yex24y2 x)dy     x2 4y2 x2 4y2 DD D 1 2 2 1 1 1  er2  xdx4ydy er2  ydxxdy 2d. r2 r2 r2 D D D 2 2 2 (21)(本题满分12分)  a 1 1   已知A 1 a 1 .      1 1 a  (1)求正交矩阵P,使得PTAP为对角矩阵； (2)求正定矩阵C,使得C2 (a3)EA.  1 1 1   5       1 1  3 2 6 3      1 1 1   5 1  【答案】(1) P    ；(2)C   1  . 3 2 6 3 3        1 0 2     1 1 5    3 6   3 3  【解析】 a 1 1 (1)由EA  1 a 1 (a1)2(a2)0 1 1 a 得 a2,  a1 1 2 3 当 a2时 1  2 1 1 1 0 1  1        ((a2)EA)  1 2 1  r 0 1 1  的特征向量为 1   1  ，        1 1 2 0 0 0  1 当   a1所 2 3 1 1 1  1 1 1 1 1         ((a1)EA)  1 1 1  r 0 0 0  的特征向量为 2   1  , 3   1  ，          1 1 1 0 0 0   0   2   1 1 1      3 2 6   a2       1 1 1    令P    1 , 2 , 3      ，则PTAP   a1  ，   1  2  3   3 2 6    a1    1 2    0   3 6  1    (2)PTC2P PT(a3)EA)P ((a3)E 4      4 71  1       PTCPPTCP 4  PTCP 2 ，          4  2  5  1 1   3 1       5 1  故C  P 2 PT  1 .     3 3    2   1 5   1    3 3  (22)(本题满分12分) 在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ,较长的一段长度记为 Y Y ,令Z  . X (1)求X 的概率密度； (2)求Z 的概率密度.  X  (3)求E .  Y   2 1,0 x1  ,z 1 【答案】(1) X  f(x) ；(2) f (z)(F (z)) (z1)2 .(3) 12ln2.  0,其他 Z Z   0,其他 1,0 x1 【解析】(1)由题知：X  f(x) ；  0,其他 2 X (2)由Y 2 X ，即Z  ，先求Z 的分布函数： X 2 X   2  F (z)P  Z  z P  zP 1 z Z  X  X  当z 1时，F (z)0； Z 当z 1时，  2   2  2 2 F (z)P 1 z1PX  1 z11dx 1 ； Z X   z 1 0 z 1  2  ,z 1 f (z)(F (z)) (z1)2 ； Z Z   0,其他  X   X  1 x (3)E  E    1dx 1 2ln2.  Y   2X  02x 8