2021年数学一解析_数学一真题+解析[87-25]_数学一解析

2021 考研数学真题及答案解析
数学（一）
一、选择题（本题共 10小题，每小题 5分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）
ex 1
 ,x0
(1)函数 f(x)= x ,在x0处

 1,x0
(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值.
(C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.
【答案】D.
ex 1
【解析】因为lim f(x)=lim 1 f(0) ，故 f(x)在x0处连续；
x0 x0 x
ex 1
1
因为lim f(x) f(0) =lim x lim ex1x  1 ，故 f(0) 1 ，正确答案为D.
x0 x0 x0 x0 x0 x2 2 2
(2)设函数 f  x,y 可微，且 f(x1,ex) x(x1)2， f(x,x2) 2x2lnx ，则df(1,1)
(A)dxdy. (B)dxdy. (C)dy. (D)dy.
【答案】C.
【解析】 f(x1,ex)exf(x1,ex)(x1)22x(x1) ①
1 2
f  (x,x2)2xf  (x,x2) 4xlnx2x ②
1 2
x 0 x 1
分别将 ， 带入①②式有
y 0 y 1
f(1,1) f(1,1)1， f(1,1)2f(1,1) 2
1 2 1 2
联立可得 f(1,1) 0， f(1,1)1，df(1,1) f(1,1)dx f(1,1)dy dy，故正确答案为C.
1 2 1 2
sinx
(3)设函数 f(x) 在x0处的3次泰勒多项式为axbx2 cx3，则
1x2
7 7
(A)a 1,b0,c . (B)a 1,b0,c .
6 6
7 7
(C)a 1,b1,c . (D) a 1,b1,c .
6 6
【答案】A.
【解析】根据麦克劳林公式有
sinx  x3  7
f(x)  x o(x3) [1x2o(x3)] x x3o(x3)
1x2  6  6
17
故a 1,b0,c ，本题选A.
6
(4) 设函数 f  x 在区间 0,1 上连续，则 1 f  x  dx 
0
n 2k1 1 n 2k11
(A)lim f   . (B) lim f   .
n  2n 2n n  2n n
k1 k1
2n k11 2n  k  2
(C) lim f   . (D)lim f    .
n  2n n x0 2n n
k1 k1
【答案】B.
【 解 析 】 由 定 积 分 的 定 义 知 ， 将  0,1  分 成 n 份 ， 取 中 间 点 的 函 数 值 ， 则
1 n 2k 11
 f(x)dx lim  f   ,即选B.
0 nk1  2n n
(5)二次型 f(x ,x ,x )(x x )2 (x x )2 (x x )2的正惯性指数与负惯性指数依次为
1 2 3 1 2 2 3 3 1
(A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2.
【答案】B.
【解析】 f(x ,x ,x )(x x )2 (x x )2 (x x )2 2x 2 2x x 2x x 2x x
1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 3
0 1 1
 
所以A 1 2 1 ，故特征多项式为
 
 
1 1 0
 1 1
|EA| 1 2 1 (1)(3)
1 1 
令上式等于零，故特征值为1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.
1 1 3
     
(6)已知  0 ，  2 ，  1 ，记 ，  k，  l l  ，
1   2   3   1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2
     
1 1 2
若， ，两两正交，则l ，l 依次为
1 2 3 1 2
5 1 5 1 5 1 5 1
(A) , . (B)  , . (C) , . (D)  , .
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】A.
【解析】利用斯密特正交化方法知
0
[,]  
   2 1   2 ，
2 2 [,] 1  
 
1 1 0
[,] [,]
   3 1   3 2  ，
3 3 [,] 1 [,] 2
1 1 2 2
[,] 5 [,] 1
故l  3 1  ，l  3 2  ，故选A.
1 [,] 2 2 [,] 2
1 1 2 2
(7)设A,B为n阶实矩阵，下列不成立的是
2A O  A AB
(A)r  2r  A  (B)r  2r  A 
O ATA O AT 
A BA   A O 
(C)r  2r  A  (D)r  2r  A 
O AAT  BA AT 
【答案】C.
A O 
【解析】(A)r  r(A)r(ATA)2r(A).故A正确.
O ATA
A AB A O 
(B)AB的列向量可由A的列线性表示，故r  r  r(A)r(AT) 2r(A).
O AT   0 AT 
(C)BA的列向量不一定能由A的列线性表示.
A BA A O 
(D)BA的行向量可由A的行线性表示，r  r  r(A)r(AT) 2r(A).
O AT   0 AT 
本题选C.
(8)设A，B为随机事件，且0 P(B)1，下列命题中不成立的是
(A)若P(A|B)P(A)，则P(A|B) P(A).
(B)若P(A|B)P(A)，则P(A|B) P(A)
(C)若P(A|B)P(A|B)，则P(A|B) P(A).
(D)若P(A| AB) P(A| AB) ，则P(A)P(B).
【答案】D.
P(A(AB)) P(A)
【解析】P(A| AB)  
P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(A(AB)) P(AB) P(B) P(AB)
P(A| AB)   
P(AB) P(AB) P(A) P(B) P(AB)
因为P(A| AB) P(A| AB) ，固有P(A) P(B)P(AB)，故正确答案为D.
(9)设 X ,Y  ,  X ,Y  ,,  X ,Y  为来自总体 N  ,;2,2;  的简单随机样本，令
1 1 2 2 n n 1 2 1 2
1 n 1 n
,X  X ,Y  Y,ˆ X Y, 则
1 2 n i n i
i1 i1
(A) ˆ是的无偏估计，D  ˆ   1 2  2 2
n
(B) ˆ不是的无偏估计，D  ˆ   1 2  2 2
n
(C) ˆ是的无偏估计，D  ˆ   1 2  2 2 2 1  2
n
(D) ˆ不是的无偏估计，D  ˆ   1 2  2 2 2 1  2
n
【答案】C.
【解析】因为X,Y 是二维正态分布，所以X 与Y 也服从二维正态分布，则X Y 也服从二维正态
分布，即E(ˆ ) E(X Y) E(X)E(Y) ，
1 2
32 2 2
D(ˆ )D(X Y)D(X)D(Y)cov(X,Y) 1 2 1 2 ，故正确答案为C.
n
(10)设 X ,X ,X 是来自总体 N ,4  的简单随机样本，考虑假设检验问题：
1 2 16
H :10,H :10.  x 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W   X 11  ，
0 1
1 16
其中X  X ，则11.5时，该检验犯第二类错误的概率为
16 i
i1
(A)1
0.5
 (B)1
1

(C)1
1.5

(D)
1
2

【答案】B.
1
【解析】所求概率为P{X 11} X  N(11.5, )，
4
 
X 11.5 1111.5
P{X 11}P  1(1)
1 1
 
 2 2 
故本题选B.
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置
上.）
 dx
(11)   .
0 x2 2x2

【答案】
4
【解析】  dx   dx  arctan(x1)       
0 x2 2x2 0 (x1)2 1 0 2 4 4
 x 2et t1,x0 d2y
(12)设函数y y(x) 由参数方程 确定,则  .
y 4(t1)et t2,x0 dx2 t0
2
【答案】 .
3
dy 4tet 2t d2y (4et 4tet 2)(2et 1)(4tet 2t)2et
【解析】由  ，得  ，
dx 2et 1 dx2 (2et 1)3
d2y 2
将t 0带入得  .
dx2 t0 3
(13)欧拉方程x2yxy4y 0满足条件 y(1)1,y(1)2得解为y  .
【答案】x2.
dy d2y dy d2y
【解析】令 xet ，则 xy ,x2y  ，原方程化为 4y0 ，特征方程为
dt dx2 dx dx2
2 40，特征根为 2, 2，通解为 y Ce2t C e2t C x2 C x2，将初始条件
1 2 1 2 1 2
y(1)1,y(1)2带入得C 1,C 0，故满足初始条件的解为 y  x2.
1 2
(14) 设  为 空 间 区 域  (x,y,z) x2 4y2 4,0z 2  表 面 的 外 侧 ， 则 曲 面 积 分
x2dydz y2dzdxzdxdy .

【答案】4.
42
【解析】由高斯公式得原式=(2x2y1)dV  dzdxdy 4.
0
 D
(15)设 Aa 为 3 阶矩阵， A 为代数余子式，若 A的每行元素之和均为 2，且 A 3，
ij ij
A  A  A = .
11 21 31
3
【答案】 .
2
1 1 1
      A
【解析】 A 1 2 1 , A,2, 1 ,则 A* 的特征值为 ，对应的特征向量为
     

     
1 1 1
1 A A A  1  A  A  A  1
  A  11 21 31     11 21 31  A 
 1 ,A* 而A*  A A A , A* 1  A A A  1 ，即
    12 22 32    12 22 32   
         
1 A A A  1  A  A A  1
13 23 33 13 23 33
3
A  A  A  .
11 21 31 2
(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，
再从乙盒中任取一球.令 X ,Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与Y 的相关系
数 .
1
【答案】 .
5
(0,0) (0,1) (1,0) (1,1) 0 1 0 1
     
【解答】联合分布率(X,Y)  3 1 1 3 ,X  1 1 Y  1 1
     
 
 10 5 5 10  2 2 2 2
1 1 1 1
cov(X,Y)  ，DX  ,DY  ,即  .
20 4 4 XY 5
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(17)(本题满分10分)
 1 x et2 dt 
 1 
求极限lim 0  .
x0   ex 1 sinx  
 
1
【答案】 .
2
 1 x et2 dt  sinx1 x et2 dt
 1 
【解析】解：lim 0  lim 0
x0  ex 1 sinx  x0 (ex 1)sinx
 
又因为 x et2 dt  x (1t2o(t2))dt  x 1 x3o(x3) ，故
0 0 3
1 1 1
(x x3o(x3))(1x x3o(x3))x x2o(x2)
3! 3! 2
原式=lim
x0 x2
1
x2 o(x2)
1
2
=lim  .
x0 x2 2
5(18)(本题满分12分)
1 
设u (x)enx  xn1(n 1,2,) ，求级数u (x)的收敛域及和函数.
n n(n1) n
n1
 ex
 (1x)ln(1x)x,x(0,1)
【答案】S(x)


1ex
.
 e
,x1
e1
【解析】
   1   ex
S(x)u (x) enx xn1 ,收敛域(0,1],S (x)enx  ,x(0,1]
n1 n n1  n(n1)  1 n1 1ex
 1  xn1  xn1
S (x) xn1  xln(1x)[ln(1x)x]
2 n(n1) n n1
n1 n1 n1
(1x)ln(1x)x, x(0,1)
S (1)limS (x)1
2 x1 2
 ex
 (1x)ln(1x)x,x(0,1)
1ex
S(x)
 e
,x1
e1
(19)(本题满分12分)
x2 2y2 z 6
已知曲线C: ，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值.
4x2yz 30
【答案】66
【解析】设拉格朗日函数Lx,y,z,,z2   x2 2y2 z6  (4x2yz30)
L 2x4u0
x
Ly4y2u0
L 2zu0
z
x2 2y2 z6
4x2yz30
解得驻点：(4,1,12),(8,2,66)
C上的点(8,2,66)到xoy面距离最大为66.
(20)(本题满分12分)
设D R2是有界单连通闭区域，I(D) (4x2y2)dxdy 取得最大值的积分区域记为D .
1
D
(1)求I(D )的值.
1
(xex24y2  y)dx(4yex24y2 x)dy
(2)计算  ，其中D 是D 的正向边界.
x2 4y2 1 1
D
1
【答案】.
【解析】（1）由二重积分的几何意义知：I(D) (4x2y2)d，当且仅当4x2  y2在D上
D
2 2
大于0时，I(D)达到最大，故D：x2  y2 4且I(D )= d (4r2)rdr 8.
1 1
0 0
(2)补D :x2 4y2 r2（r很小），取D 的方向为顺时针方向，
2 2
(xex24y2  y)dx(4yex24y2 x)dy
 =
x2 4y2
D
1
6(xex24y2  y)dx(4yex24y2 x)dy (xex24y2  y)dx(4yex24y2 x)dy
   
x2 4y2 x2 4y2
DD D
1 2 2
1 1 1
 er2  xdx4ydy er2  ydxxdy 2d.
r2 r2 r2
D D D
2 2 2
(21)(本题满分12分)
 a 1 1
 
已知A 1 a 1 .
 
 
 1 1 a 
(1)求正交矩阵P,使得PTAP为对角矩阵；
(2)求正定矩阵C,使得C2 (a3)EA.
 1 1 1   5 
     1 1 
3 2 6 3
   
 1 1 1   5 1 
【答案】(1) P    ；(2)C   1  .
3 2 6 3 3
   
   1 0 2     1 1 5  
 3 6   3 3 
【解析】
a 1 1
(1)由EA  1 a 1 (a1)2(a2)0
1 1 a
得 a2,  a1
1 2 3
当 a2时
1
 2 1 1 1 0 1  1 
     
((a2)EA)

1 2 1

r 0 1 1

的特征向量为
1


1

，
     
 1 1 2 0 0 0  1
当   a1所
2 3
1 1 1  1 1 1 1 1
       
((a1)EA)

1 1 1

r 0 0 0

的特征向量为
2


1

,
3


1

，
       
 1 1 1 0 0 0   0   2 
 1 1 1 
 
 
3 2 6
  a2 
     1 1 1   
令P    1 , 2 , 3      ，则PTAP   a1  ，
  1  2  3   3 2 6  

a1 

 1 2 
  0 
 3 6 
1 
 
(2)PTC2P PT(a3)EA)P ((a3)E 4
 
 
 4
71  1 
   
 PTCPPTCP 4  PTCP 2 ，
   
   
 4  2
 5 
1 1
 
3
1   
   5 1 
故C  P 2 PT  1 .
   
3 3
 
 2  
1 5


1 

 3 3 
(22)(本题满分12分)
在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ,较长的一段长度记为
Y
Y ,令Z  .
X
(1)求X 的概率密度；
(2)求Z 的概率密度.
 X 
(3)求E .
 Y 
 2
1,0 x1  ,z 1
【答案】(1) X  f(x) ；(2) f (z)(F (z)) (z1)2 .(3) 12ln2.

0,其他 Z Z


0,其他
1,0 x1
【解析】(1)由题知：X  f(x) ；

0,其他
2 X
(2)由Y 2 X ，即Z  ，先求Z 的分布函数：
X
2 X   2 
F (z)P  Z  z P  zP 1 z
Z  X  X 
当z 1时，F (z)0；
Z
当z 1时，
 2   2  2 2
F (z)P 1 z1PX  1 z11dx 1 ；
Z X   z 1 0 z 1
 2
 ,z 1
f (z)(F (z)) (z1)2 ；
Z Z


0,其他
 X   X  1 x
(3)E  E    1dx 1 2ln2.
 Y   2X  02x
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