2021年数学一真题_数学一真题+解析[87-25]_数学一真题

2021 考研数学真题试卷(数学一) 数学（一） 一、选择题（本题共 10小题，每小题 5分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.） ex 1  ,x0 (1)函数 f(x)= x ,在x0处   1,x0 (A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值. (C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0. (2)设函数 f  x,y 可微，且 f(x1,ex) x(x1)2， f(x,x2) 2x2lnx ，则df(1,1) (A)dxdy. (B)dxdy. (C)dy. (D)dy. sinx (3)设函数 f(x) 在x0处的3次泰勒多项式为axbx2 cx3，则 1x2 7 7 (A)a 1,b0,c . (B)a 1,b0,c . 6 6 7 7 (C)a 1,b1,c . (D) a 1,b1,c . 6 6 (4) 设函数 f  x 在区间 0,1 上连续，则 1 f  x  dx  0 n 2k1 1 n 2k11 (A)lim f   . (B) lim f   . n  2n 2n n  2n n k1 k1 2n k11 2n  k  2 (C) lim f   . (D)lim f    . n  2n n x0 2n n k1 k1 (5)二次型 f(x ,x ,x )(x x )2 (x x )2 (x x )2的正惯性指数与负惯性指数依次为 1 2 3 1 2 2 3 3 1 (A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2. 1 1 3       (6)已知  0 ，  2 ，  1 ，记 ，  k，  l l  ， 1   2   3   1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2       1 1 2 若， ，两两正交，则l ，l 依次为 1 2 3 1 2 5 1 5 1 5 1 5 1 (A) , . (B)  , . (C) , . (D)  , . 2 2 2 2 2 2 2 2 (7)设A,B为n阶实矩阵，下列不成立的是 A O  A AB (A)r  2r  A  (B)r  2r  A  O ATA O AT  1A BA   A O  (C)r  2r  A  (D)r  2r  A  O AAT  BA AT  (8)设A，B为随机事件，且0 P(B)1，下列命题中不成立的是 (A)若P(A|B)P(A)，则P(A|B) P(A). (B)若P(A|B)P(A)，则P(A|B) P(A) (C)若P(A|B)P(A|B)，则P(A|B) P(A). (D)若P(A| AB) P(A| AB) ，则P(A)P(B). (9)设 X ,Y  ,  X ,Y  ,,  X ,Y  为来自总体 N  ,;2,2;  的简单随机样本，令 1 1 2 2 n n 1 2 1 2 1 n 1 n ,X  X ,Y  Y,ˆ X Y, 则 1 2 n i n i i1 i1 (A) ˆ是的无偏估计，D  ˆ   1 2  2 2 n (B) ˆ不是的无偏估计，D  ˆ   1 2  2 2 n (C) ˆ是的无偏估计，D  ˆ   1 2  2 2 2 1  2 n (D) ˆ不是的无偏估计，D  ˆ   1 2  2 2 2 1  2 n (10)设 X ,X ,X 是来自总体 N ,4  的简单随机样本，考虑假设检验问题： 1 2 16 H :10,H :10.  x 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W   X 11  ， 0 1 1 16 其中X  X ，则11.5时，该检验犯第二类错误的概率为 16 i i1 (A)1 0.5  (B)1 1  (C)1 1.5  (D) 1 2  二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置 上.）  dx (11)   . 0 x2 2x2  x 2et t1,x0 d2y (12)设函数y y(x) 由参数方程 确定,则  . y 4(t1)et t2,x0 dx2 t0 (13)欧拉方程x2yxy4y 0满足条件 y(1)1,y(1)2得解为y  . (14)设  为空间曲线区域  (x,y,z) x2 4y2 4,0z 2  表面的外侧，则曲面积分 x2dydz y2dzdxzdxdy .  (15)设 Aa 为 3 阶矩阵， A 为代数余子式，若 A的每行元素之和均为 2，且 A 3， ij ij A  A  A = . 11 21 31 (16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中， 再从乙盒中任取一球.令 X ,Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与Y 的相关系 2数 . 三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.） (17)(本题满分10分)  1 x et2 dt   1  求极限lim 0  . x0   ex 1 sinx     (18)(本题满分12分) 1  设u (x)enx  xn1(n 1,2,) ，求级数u (x)的收敛域及和函数. n n(n1) n n1 (19)(本题满分12分) x2 2y2 z 6 已知曲线C: ，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值. 4x2yz 30 (20)(本题满分12分) 设D R2是有界单连通闭区域，I(D) (4x2y2)dxdy 取得最大值的积分区域记为D . 1 D (1)求I(D )的值. 1 (xex24y2  y)dx(4yex24y2 x)dy (2)计算  ，其中D 是D 的正向边界. x2 4y2 1 1 D 1 (21)(本题满分12分)  a 1 1   已知A 1 a 1 .      1 1 a  (1)求正交矩阵P,使得PTAP为对角矩阵； (2)求正定矩阵C,使得C2 (a3)EA. (22)(本题满分12分) 在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ,较长的一段长度记为 Y Y ,令Z  . X (1)求X 的概率密度； (2)求Z 的概率密度.  X  (3)求E .  Y  3