全国教师资格证考试用书
数学学科知识与教学能
力(初级中学)
学霸笔记
上岸熊教师资格考试研究院编著
北京出版集团
北京教育出版社考情介绍
1.考试分析
题型 题量 分值
选择题 8 每小题 5 分，共 40 分
简答题 5 每小题 7 分，共 35 分
解答题 1 每小题 10 分，共 10 分
论述题 1 每小题 15 分，共 15 分
案例分析题 1 每小题 20 分，共 20 分
教学设计题 1 每小题 30 分，共 30 分
2.考题分析
模块 比例 题型
数学学科知识 41% 选择题、简答题、解答题
课程知识 18% 选择题、简答题、论述题
教学知识 8% 选择题、简答题
教学技能 33% 案例分析题、教学设计题
合计 100% 选择题：约 27%；非选择题：约 73%第一部分 学科基础知识
第一章 高中基础知识
一、集合【24 下选择题】
1.集合的运算
①交集: A∩B={x|x∈A, 且 x∈B}。
②并集： 或 x∈B}。
③补集： 且 x∉ A}。
2.集合的运算性质
①交集的性质: A∩∅ =∅ ; A∩A=A; A∩B=B∩A; A∩B=A⇔A⊆B。
②并集的性质: AU∅ =A; A∪A=A; A∪B=B∪A; A∪B=A⇔B⊆A。
③补集的性质： 。
④德·摩根定律： 。
∪ ∁ = ; ∩ ∁ = ∅; ∁ ∁ =
二、简易逻辑
∁ ∪ = ∁ ∩ ∁ ;∁ ∩ = ∁ ∪ ∁
1.与命题相关的概念
命题的定义 能判断真假的陈述句。
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
四种命题的真假关系
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
(1)如果 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。
充分条件与必要条件
(2) 如果 p⇒q, q⇒p, 则 p 是 q 的充要条件。
【上岸熊提示：小范围能推出大范围，反之则不行。】
(1)全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词
命题的否定
命题。
(2)p 或 q 的否定: 非 p 且非 q; p 且 q 的否定: 非 p 或非 q。
四种命题及其相互关系全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
2.简单复合命题的真值表
p q 非 p 非 q p 或 q p 且 q
真 真 假 假 真 真
真 假 假 真 真 假
假 真 真 假 真 假
假 假 真 真 假 假
【上岸熊巧记：p 且 q————全真则真，一假则假；p 或 q————一真则真，全假则假。】
三、基本初等函数【选择题备考】【简答题备考】【24 上简答题】
1.指数函数的图象与性质【上岸熊注释：a>0 且 a≠1。】
a>1 0<a<1
=ˣ
图象
定义域 R
值域 (0, +∞)
过定点(0,1)
性质 当 x>0 时, y>1; 当 x<0 时, 0<y<1 当 x>0 时, 0<y<1; 当 x<0 时, y>1
在(-∞, +∞)上是增函数 在(-∞, +∞)上是减函数
【上岸熊提示：指数函数模型的特点：能用指数函数表达的函数模型，当函数单调递增时，随着自变量
的增大，函数值增大的速度越来越快；当函数单调递减时，随着自变量的增大，函数值减小的速度越来
越慢。】
2.对数函数的图象与性质【上岸熊注释：a>0 且 a≠1。】
y= log。x a>1 0<a<1
图象
定义域 (0, +∞)
值域
R
过定点(1,0)
性质 当 x>1 时, y>0; 当 0<x<1 时, y<0 当 x>1 时, y<0; 当 0<x<1 时, y>0
在(0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数
【上岸熊提示:IgN(常用对数)————以 10 为底, In N(自然对数)————以 e 为底(e=2.71828…)。】第一部分 学科基础知识
3.幂函数的图象与性质【上岸熊注释：定义域与指数有关。】
α=1 α=2 α=3 α=-1
1
= = 2
定义域 R R R [0, +∞) {x|x∈R 且 x≠0}
值域 R [0, +∞) R [0, +∞) {y|y∈R 且 y≠0}
奇函 非奇非偶
奇偶性 偶函数 奇函数 奇函数
数 函数
x∈[0, +∞)时,
x∈(0, +∞)时, 减;
单调性 增 增;x∈(-∞, 0]时, 增 增
x∈(-∞, 0)时, 减
减
【上岸熊提示：幂函数的系数须为 1，如 y=x²是幂函数，而 y=2x²不是幂函数。】
四、分段函数与反函数
1.常见的分段函数
①绝对值函数
, > 0,
。
0, = 0,
= | | = {
− , < 0
②符号函数
③狄利克雷函数 x 为有理数，
x 为无理数。
1,
2.反函数
( ) = {
0,
一般地，设函数 y=f(x)(x∈A)的值域是 C，根据这个函数中 x，y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到
x=g(y)。若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x=g(y)，x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=g
(y)就表示 y 是自变量，x 是因变量的函数，这样的函数 x=g(y)(y∈C)叫做函数 y=f(x)(x∈A)的反函
数, 记作 。反函数. 的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域。
(1)反函数的性质−1 −1
= =
①互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。
②函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。
③一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。
④反函数是相互的且具有唯一性。
⑤定义域、值域相反，对应法则互逆(“三反”)。
⑥原函数一旦确定，反函数即确定(“三定”)(在有反函数的情况下，即满足②)。
(2)求反函数的步骤
①反解：把 y=f(x)看作关于 x 的方程，解出. 。
−1
②互换：将 x，y 互换得. 注明其定义域(即原函数的值域)。
=
−1
= ,全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
【上岸熊提示：要求知道函数与其反函数的关系，会求给定函数的反函数。】
五、函数的性质【选择题备考】【简答题备考】
1.函数的单调性
增函数 减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x
₁，x₂，
定
义
当 时，都有 那么 当 时，都有 那么就说函数 f(x)
就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数。 在区间 D 上是减函数。
₁ <₂ ₁ < ₂ , ₁ <₂ ₁ > ₂ ,
图
象
描
述
图象法 增函数自左向右看图象是上升的；减函数自左向右看图象是下降的。
设函数 y=f(x)在区间(a, b)上可导, 如果 f'(x)>0, 则函数 y=f(x)在区间(a, b)
导数法 上是增函数，反之则为减函数；如果恒有 f'(x)=0，则函数 y=f(x)在区间(a，b)上
为常数函数。
判
定
(1)任取 x₁, x₂∈D, 且 。
方
法
(2) 作差: 。
₁ <₂
定义法
(3)变形(通常是因式分解和配方)。
₁ − ₂
(4)定号：判断 的正负。
(5)下结论(指出函数 f(x)在给定区间 D 上的单调性)。
₁ − ₂
【上岸熊拓展：研究二次函数. 的单调性有两种方法，分别是图象法和导数
2
法。
= + + ≠ 0
图象法：根据函数图象的开口方向、对称轴确定二次函数的单调性。若 a>0，则函数在对称轴左侧单调递
减，在对称轴右侧单调递增；若 a<0，则函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。
导数法：对二次函数求导，得 f'(x)=2ax+b，f(x)的单调递增区间为不等式 f'(x)>0 的解集，f(x)的
单调递减区间为不等式 f'(x)<0 的解集。】【22 上简答题】
2.函数的奇偶性【24 下选择题】
(1)奇、偶函数的概念
一般地，如果对于一个定义域关于原点对称的函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么
函数 f(x)就叫做偶函数。
一般地，如果对于一个定义域关于原点对称的函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么
函数 f(x)就叫做奇函数。
【上岸熊提示：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称。】第一部分 学科基础知识
(2)奇、偶函数的性质【22 上选择题】
①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。
②在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶
函数；一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数。
③复合函数的奇偶性可以概括为“同奇则奇，一偶则偶”。
3.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 y=f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内任何值时，都有 f(x+T)
=f(x), 那么就称函数 y=f(x)为周期函数, 称 T 为这个函数的周期。
(2)最小正周期：如果在周期函数 f'(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f
(x)的最小正周期。
(3)由周期函数的定义，采用迭代法可得结论：
①若函数 f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a≠0), 则 f(x)是周期为 2a 的函数。
②若 c 为非零常数)恒成立，则 T=2a。
③若 f( x++a) =f=(x±-a ) ,则( T≠=20a,。
④若 则 T=4a。
1−
六、三 角 +函 数 =− 1+ ,
1.三角函数的图象和性质
函数性质 y= sinx y= cosx y= tanx
定义域 R R
| 2 + , ∈
在一个周
期内的
图象
值域 [-1, 1] [-1, 1] R
对 称 轴 ：
对称轴: x=kπ(k∈Z)
对称性 = 2 + ∈ 对称中心：
对称中心：
对称中心: (kπ, 0)(k∈
2 0 ∈
Z)
2+ 0 ∈
最小正周期 2π 2π π全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
函数性质
y= sinx y= cosx y= tanx
单调递增区间： 单调递增区间： 单调递增区间：
∈
[-π+2kπ, 2kπ](k Z)
单调 递减区 间：
单调递减区间：
−2+2 2+2 ∈ −2+ 2+ ∈
单调性
∈
[2kπ, π+2kπ](k Z)
3
2+2 2 +2 ∈
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
2.三角函数恒等变换
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
①
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;
②
cos(α±β)=cosαcosβ=sinαsinβ;
。
tan ±tan
③tan ± = 1∓tan tan
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式
①
sin2α=2sinαcosα;
2 2 2 2
。
②cos2 = cos − sin = 2cos − 1 = 1 − 2sin ;
2tan
2
( ③ 3) t 辅 an 助 2 角 = 公1式−tan
①函数 为常数 可以化为 (一般情况下， 其中φ可由
f(α)=asinα+bcosα(a,b )
2 2
a，b 的值唯一确定， 。 = + sin +
②常见的有 tan =
sin + cos = 2sin + 4 ;
sin + 3cos = 2sin +。3 ;
3.3正sin、 余+c弦os定 理=2sin +6
(1)正弦定理： 其中 R 是三角形外接圆的半径。
由正弦定理可以si变n 形=：sin =sin =2 ,
①
a:b:c=sinA:sinB:sinC;
②
a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;
。
这 ③ 几 si 种 n 形 = 式2 用 , s 以 in 解 决 = 不2 同 , s 的 in 三 = 角2形 问题。(2)余弦定理： 。
a
2 2 2 2 2 2 2 2 2
= + −2 cos , = + −2 cos , = + −2 cos 第一部分 学科基础知识
余弦定理可以变形：
2 2 2
+ −
cos = 2 , cos =
。
2 2 2 2 2 2
+ − + −
(r 是三角形内切圆的半径)，由此可以计算 R, r。 2 , cos = 2
(4)在△ABC 中, 已知 a, b 和 A 时, 解的情况如下:
A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
关系式 a= bsin A bsin A<a<b a≥b a>b
解的个数 一解 两解 一解 一解
【上岸熊提示：高中数学中的周期函数是三角函数，三角函数不会单独设题，要求在具体运算中会用公
式化简，故需要牢记公式。】
七、不等式
1.不等式的性质【论述题备考】
(1) a>b⇔b<a。
(2) a>b,b>c⇒a>c。
基本性质
(3) a>b⇒a+c>b+c。
(4) a>b,c>0⇒ac> bc; a>b,c<0⇒ac< bc。
(1) a>b,c>d⇒a+c>b+d。
(2) a>b>0,c>d>0⇒ac> bd。
运算性质
。
。
3 > >0 ⇒ⁿ >ⁿ ∈ 1)
(1)若 a,b∈R,则. 当且仅当 a=b 时，等号成立。
4 > >0 ⇒ > ∈ 1)
基本不等式 (2)若 a>0,b>0, 则 ² + ²2当 且, 仅当 a=b 时，等号成立。
+
2 ,
(3)若 a,b,c∈R⁺ ,则 当且仅当 a=b=c 时,等号成立。
3
+ +
【上岸熊提示：义务教育阶段涉及的不等式3 性≥质： ① 不, 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的
方向不变；②不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘(或除以)同一个
负数，不等号的方向改变。】【21 下论述题】
2.不等式的解法
(1)将分式不等式(移项、通分)化为标准形式
(2)将分式不等式标准形式转化为整式不等式组求 解 >。(< , ≤,≥)0;
3.二元一次不等式组(线性规划)
(1)二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧的所有点组成的全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
平面区域(半平面)，不含边界直线(虚线)。不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域(半平面)包含边界直线
(实线)。
(2)任取直线外一点，判断正负。
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
(4)观察图形，找出直线在可行域上的最值位置，给出答案。
八、复数
形如 a+bi(其中 a，b∈R)的数叫做复数。其中 a 为实部，b 为虚部，i 为虚数单
复数的定义
位，且 。
² =− 1
复数的分类
设复数 其中 a₁, a₂, b₁, b₂∈R,那么 的
复数相等
充要条件是 且 。
₁ =₁ +₁ ,₂ =₂ +₂ , ₁ =₂
若两个复数实₁ 部=相₂ 同，₁ 虚=部₂ 互为相反数，则称这两个复数为共轭复数，即 z=a+bi
共轭复数 (a,b∈R)的共轭复数为 a-bi, 记为 z 与 z)对应复平面上的点关于实轴
对称。
= − ,
复数的模 设 z=a+ bi(a,b∈R),则复数 z 的模 。
| | = ² + ²
(1)加减运算：(a+ bi)±(c+ di)=(a±c)+(b±d)i;【上岸熊提示：复数加法运
算的几何意义：复数的加法运算可以按照向量的加法运算来进行。】
复数的运算
(2)乘法运算：(a+ bi)(c+ di)=(ac-bd)+(ad+ bc)i;
(3)除法运算：
+ −
(4)i 的幂运算: + ÷ + = ²+ ² + ²+ ² + 0 ; 。
⁴ⁿ = 1⁴,ⁿ ⁺ ¹ = ⁴,ⁿ ⁺ ² =− 1⁴,ⁿ ⁺ ³ =− ∈
实系数方程 在复数范围内求根：
(1)当根的判别式△>0 时，有一对实根，
² + + = 0 0
复数方程
2
− ± −4
(2)当根的判别式△=0 时，有一对相等的实根，
1,2 = 2 ;
(3)当根的判别式Δ<0 时，有一对共轭复根， 。
1,2 =−2 ;
2
− ± 4 −
1,2 = 2 第一部分 学科基础知识
九、数列
定义式 (d 为常数)。
。当 d≠0 时, an 是关于 n 的一次函数。当 d>0
ₙ ₊₁ −ₙ =
时,{an}为递增数列; 当 d<0 时, {an}为递减数列。
1ₙ =₁ + −1
通项公 (2)变形公式 。
式
∗); 1= − −1
(3)前 n 项和公式 。当 d≠0 时, Sn 是关于
= + − ( , ∈
₁ +ₙ −1
等差数列 n 的不含常数项的二次函数，反过来也成立。
ₙ = 2 = ₁ + 2
(1)若 a,b, c 成等差数列, 则称 b 为 a 与 c 的等差中项, 即 2b=a+c。
(2) 若 m+n=p+q, 则 。特别地，若 m+n=2
性质 p,则 。
∗
+ = + ∈
(3)若{an}为等差数列，公差为 d，那么 仍
ₙ +ₘ = 2ₚ
然是等差数列，公差为 kd。
∗
, + , +2 ,⋯ ∈
定义式
ₙ ₊₁
= ₙ 0 0
ₙ 推广式
1ₙ =₁ ⁿ ⁻ ¹, ₙ =ₘ ⁿ ⁻ᵐ
(2)前 n 项和公式 【上岸熊注释：需先看公
通项公
。
₁ , \ quadq = 1,
式
₁ (1−ⁿ ) ₁ −ₙ
ₙ = {
比是否为 1。】
1− = 1− , 1
等比数列
(1)若三个数 a，b，c 成等比数列，则称 b 为 a 与 c 的等比中项，且有
。
【上岸熊注释： 是 a，b，c 成等比数列的必要不充分条件，如
=±
a=0，b=0, c=1, 则 但 a，b，c 不成等比数列。】
性质
² =
(2) 若 m+n=p+q,则 。特 别 地，若 m+n=2p,
² = ,
则 。
∗
= ∈
( 3 ) 若 { a n } 为 等 比 数 列 ， 公 比 为 q q ( q ≠ 0 ) , 则 (
ₘ ⋅ₙ =ₚ ²
仍然是等比数列，公比为 qk。
【上岸熊提示：数列近几年考查较少，要求识记即可。】∗
, + , +2 ,⋯ ∈
十、平面向量
1.向量的表示方法及分类
向量的定义 既有大小又有方向的量。包括两个要素：大小和方向。
(1)几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 (起点在前，终点在后)。
(2) 符号表示法: 如 a,b,c 等。
表示方法
(3)坐标表示法: 如 a = xi+ yj=(x, y), 称(x, y)为向量 a 的坐标, a =(x,
y)叫做向量 a 的坐标表示。全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
(1)零向量：长度为 0 的向量，记作 0。【上岸熊注释：零向量的方向是任意的。】
(2)单位向量：长度为一个单位长度的向量。
(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量，具有传递性。
常见向量
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量。零向量和任何向量平
行。
【上岸熊注释：相等向量一定是共线向量，反之不成立。】
(1)向量是自由向量，只有大小和方向两个要素，与起点无关。只要大小和方向相
向量与有向线 同，这两个向量就是相同的向量。
段的区别 (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素。若起点不同，即使大小和方向相同，也
是不同的有向线段。
【上岸熊提示：向量和有向线段的区别在于，向量常用有向线段表示，可以平移。不能说向量就是有向线段。】
2.向量的运算【高频】【选择题备考】【简答题备考】【23 上选择题】【23 下简答题】
平行四边形法则：只适用于不共线的向量。
向量的加法
三角形法则：( 。
几何运算 【 上 岸 熊 注释 ：减向量与被减向量的起点相
+ = + =
向量的减法
同。】
− = − =
数量积 a·b=|a||b|cosθ【20 下选择题】
向量的加减运算
± = ₁ ±₂ ₁ ±₂
实数与向量的积 一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减起点坐
= ₁ ₁ = ₁ ₁
标。
平面向量的数量
积
坐标运算
⋅ =₁ ₂ +₁ ₂
两点间的距离：
| | = ₁ ² +₁ ², ² = | |² =₁ ² +₁ ²
向量的模
若 A ( x ₁ , y ₁ ) , B ( x ₂ , y ₂ ) , 则 |
| | =
交换律 a+b=b+a, a·b=b·a
₂ −₁ ² + ₂ −₁ ²
(a+b)+c=a+(b+c),a+(b+c)=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c),(λa)·b=λ
结合律
(a·b)=a·(λb), λ(μa)=(λμ)a
向量的运算律
(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb,(a+b)·c=a·c+b·c【上岸
分配律
熊注释：切记两向量不能相除。】
向量的
位 置 关 系 向量共线定理【2 向量 a 与非零向量 b 共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使
【22 下选择 4 下选择题】 得 a=λb。
题】第一部分 学科基础知识
续表
如果 e₁，e₂是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
平面向量基本定理
内的任一向量 a，有且只有一对实数λ₁，λ₂使( 。
向量的
=₁ ₁ +₂ ₂
两个向量平行的充要条件：
向量平行
位 置 关 系
。
‖ = ∈ ⋅ ² = | || |₁² ₂ −
【22 下选择
₂ ₁ =0
两个向量垂直的充要条件：设(
题】 向量垂直【22 上
(1) 向量式: a⊥b(b≠0)⇔a·b=0;
选择题】 = ₁ ₁ , = ₂ ₂ ,
(2) 坐标式: 。
【上岸熊提示：需熟记平面向量的运算，掌握向量平行与垂直的公式。】
⊥ 0₁ ₂ +₁ ₂ = 0
十一、平面解析几何
1.直线方程
(1)倾斜角与斜率
直线 l 的倾斜角α的取值范围是 0≤α<π；平面内的任意一条直线都有唯一确定的倾斜角。
当斜率存在时，直线 l 的斜率 且α≠π/2), (x₁, y₁), (x₂, y₂)为直
2− 1
= tan = 2− 1 (0 ≤ < ,
线 l 上的两个不同的点；当斜率不存在时，倾斜角是π2。
(2)直线方程的五种形式
已知条件 方程的表达式 说明
平行于 y 轴的直线不能用
点斜式 直线过点(x₀ , y₀ ), 斜率为 k。
这种形式。
−₀ = −₀
平行于 y 轴的直线不能用
斜截式 直线在 y 轴上的截距为 b，斜率为 k。 y= kx+b
这种形式。
直线经过(x₁, y₁)和(x₂, y₂)两点, 平行于坐标轴的直线不能
两点式
且 x₁≠x₂,y₁≠y₂。 用这种形式。
−₁ −₁
=
₂ −₁ ₂ −₁
直线在 x，y 轴上的截距分别是 a，b，且 a 过原点或平行于坐标轴的
截距式
≠0,b≠0。 直线不能用这种形式。
+ =1
任何一条直线都可以写成
一般式 A 和 B 不同时为 0。 Ax+ By+C=0 这种形式，其他形式都可
以化为这种形式。
(3)两条直线间的位置关系
①两条直线平行或垂直
表达式 位置关系 结论
l₁∥l₂
都不为 0)
₁ ₁ ₁
=
都不为 0) ₂ ₂ ₂
₁ :₁ +₁ +₁ = 0(₁ ,₁
₂ :₂ +₂ +₂ = 0(₂ ,₂
₁ ⊥₂ ₁ ₂ +₁ ₂ = 0全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
表达式 位置关系 结论
l₃∥l₄ 且 b₁≠b₂
₁ =₂
₃ : =₁ +₁
②距离关系
₄ : =₂ +₂
₃ ⊥₄ ₁ ⋅₂ =− 1
与 平行，
两条平行直线间的距离
。
₁ : + +₁ = 0 ² + ²0 ₂ : + +₂ = 0 ² + ²0
|₁ −₂ |
=
²+ ²
点 P ₀ ( x ₀ , y ₀ ) 到 直 线 的 距 离 为
点到直线的距离公式
。
+ + = 0 ² + ²0 =
| ₀ + ₀ + |
²+ ²
点 P ₁ ( x ₁ , y ₁ ) 和 点 P ₂ ( x ₂ , y ₂ ) 的 距 离 为 |
两点间的距离公式
的中点 P(x, y)的坐标为 。
|₁ ₂ | =
₁ +₂ ₁ +₂
₂ −₁ ² + ₂ −₁ ²,₁ ₂ 2 2
【上岸熊提示：需要掌握以下两点，即：①能够熟记点斜式方程，求导的应用中会涉及这一点；②知道平
行直线与垂直直线斜率的关系，熟记距离公式。】
2.圆的方程【选择题备考】【21 下选择题】【24 下简答题】
(1)圆的方程的几种形式
表达式 圆心 半径
标准方程 (a, b) r
− ²+ − ²= ²
一般方程
² + ² + + +
²+ ²−4
= 0 − 2 −2
= 2
²+ ²−4 0)
参数方程 (a, b) r
= +
{ ∈ [0,2 )
(2)位置关系 = + ,
设两圆 的圆心分别 为 O₁与 O₂，半径 分别为 r₁与 r₂，圆心 距|
则
⇔外离⇔有 4 条公切线；
|₁ ₂ | = ,
⇔外切⇔有 3 条公切线；
两圆的位置关系
1 >₁ +₂
⇔相交⇔有 2 条公切线；
2 =₁ +₂
⇒内切⇔有 1 条公切线；
∗ ∗
3 | 1− 2|< < 1+ 2
内含⇔有 0 条公切线。
4 =|₁ −₂ |→
5 0≤ <|₁ −₂ |第一部分 学科基础知识
续表
设直线 l: Ax+ By+C=0, 圆( 圆心 C(a, b)到直线 l
的距离为 则直线 l 与圆 C 的位置关系有：
: − ² + − ² = ²,
| + + |
= ,
(1) △>0⇔d<r⇔ ²+直 ²线 l 与圆 C 相交;
直线与圆的位置关系
(2) Δ=0⇔d=r⇔直线 l 与圆 C 相切;
(3)Δ<0⇔d>r⇔直线 l 与圆 C 相离 (Δ为直线 l 与圆 C 的方程组成的方程组
消去 y 或 x 转化为一元二次方程所求得的根的判别式)。
3.圆锥曲线【选择题备考】
椭圆 双曲线【20 下选择题】 抛物线
第一定义： 第一定义： 若 F 为定点，l 是不经过点 F 的定
直线，到定点 F 与到定直线 l 的
若 F₁，F₂是两定点，P 为动 若 F₁，F₂是两定点，P 为
距离相等的点的轨迹是抛物线。
点 ， 且 动 点 ， 且
即到定点 F 的距离与到定直线 l
(a 为常数)，则点 P 的 (a 为常数)，则
| ₁ | + | ₂ | = 2 > | ₁ | − | ₂ | =
的距离之比是常数 e(e=1)。
轨迹是椭圆。 动点 P 的轨迹是双曲线。
|₁ ₂ | 2 < |₁ ₂ |
这个定点 F 叫做抛物线的焦点，
定 第二定义： 第二定义：
义
这 条 定 直 线 l 叫 做 抛 物 线 的 准
平面内到定点 F (c，0)的距
平面内到定点 F (c，0)的
线。
离和到定直线 l： (F 不
距离和到定直线 l： F
²
²
在 l 上)的距离之比为常数 e
= 不在 l 上)的距离之比 = 为 常
(0<e<1)的点的轨迹是椭圆。
数 e (e>1)的点的轨迹是双
(e 为椭圆的离心率)
曲线。(e 为双曲线的离心
率)
(1)焦点在 x 轴上： (1)焦点在 x 轴上： (1)焦点在 x 轴上，开口向右：
。 。 。
² ² ² ² (2)焦点在 x 轴上，开口向左：
(²2+)焦 ² =点1在 y 轴>0上)： (²−2) ²焦=点1 在0, y>轴0上) ： ² = 2 0)
标
。
准 。
。
方
程 ² ² (3)焦点在 y 轴上，开口向上：
² ² ² =− 2 0)
²− ² =1 0, >0)
²+ ² =1 >0)
。
(4)焦点在 y 轴上，开口向下：
² = 2 0)
。
² =− 2 0)全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
椭圆 双曲线【20 下选择题】 抛物线
(1)焦点在 x 轴上： (1)焦点在 x 轴上： (1)焦点在 x 轴上，开口向右：
(2)焦点在 y 轴上： (2)焦点在 x 轴上，开口向左：
(2)焦点在 y 轴上：
图
象
(3)焦点在 y 轴上，开口向上：
(4)焦点在 y 轴上，开口向下：
(1)焦点在 x 轴上，开口向右：
。
(2)焦点在 x 轴上，开口向左：
20 0)
。
(1)焦点 在 x 轴 上:(±c, (1)焦点 在 x 轴 上:(±c,
(3)焦点在 y 轴上，开口向上：
0)。 0)。
焦
−20 0)
点 (2)焦点 在 y 轴 上:(0,±c (2)焦点 在 y 轴 上:(0,± 。
)。 c )。 (4 )焦点在 y 轴上，开口向下：
02 0)
。
0−2 0)第一部分 学科基础知识
续表
椭圆 双曲线【20 下选择题】 抛物线
(1) 焦点在 x 轴上: (±a, (1)焦点在 x 轴上：
顶 0),(0, ±b)。 (±a, 0)
(0, 0)
点
(2)焦点在 y 轴上: (0,±a), (2)焦点在 y 轴上：
(±b, 0)。 (0,±a)
参
数
p 为焦点到准线的距离
关
系 ² = ² − ² > 0) ² = ² + ² 0, > 0)
离
心 e=1
率
0 < = < 1 = > 1
(1)焦点在 x 轴上，开口向右：
。
(2)焦点在 x 轴上，开口向左：
=− 2 0)
( 1 ) 焦 点 在 x 轴
。
(1)焦点在 x 轴上： 上：
准
(3)焦点在 y 轴上，开口向上：
线 ² ² = 2 0)
(2)焦点在 y 轴上： ( 2 ) 焦 点 在 y 轴
=± =± 。
²
上：
=±
(4)焦点在 y 轴上，开口向下：
² =− 2 0)
=± 。
= 2 0)
( 1 ) 焦 点 在 x 轴
上：
渐
近 ( 2 ) 焦 =± 点 在 y 轴
线
上：
=±
十二、立体几何
1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理
线面平行的判
a⊄ α,b⊂α,a∥b⇒a∥α
定定理
线面平行的性
a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b
质定理全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
线面垂直的判定
l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=O⇒l⊥α
定理
线面垂直的性质
a⊥α,b⊥α⇒a∥b
定理
2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理
面面平行的判定定理 a⊂β,b⊂β,a∩b=O,a∥α,b∥α⇒α∥β
面面平行的性质定理 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b
面面垂直的判定定理 a⊂β,a⊥α⇒α⊥β
面面垂直的性质定理 α⊥β,α∩β=c,a⊂α,a⊥c⇒a⊥β
3.平行关系与垂直关系的转化
【上岸熊提示：立体几何近几年考查较少，了解即可。】第一部分 学科基础知识
十三、推理与证明
1.推理【选择题备考】【简答题备考】【21 简答题】
推理
合情推理 演绎推理【19 上选择题】
根据已有的事实，经过观察、分
由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是
析、比较、联想，再进行归纳、类
定义 一种必然性推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊
比，然后提出猜想的推理称为合情
的推理。
推理。
归纳推理是由部分到整体、由个别
“三段论”是演绎推理的一般模
到一般的推理。
式，包括：
合情推理的 演绎推理的一
1.大前提：已知的一般原理；
分类 般模式
类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.小前提：所研究的特殊情况；
3.结论：根据一般原理，对特殊情况
作出的判断。
合情推理在解决数学问题中的作
演绎推理在解决数学问题中的作用：可以作为数学证
用：虽然不能作为数学证明的工
作用 明的工具，虽然缺少创造性，但它严密的论证有助于
具，但它具有创造性思维，对数学
形成科学的理论化和系统化。
结论的发现十分有用。
从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的
推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。
从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大
区别与联系
前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，数学结论、证明思路的发
现，主要靠合情推理。
【上岸熊提示：需重点掌握合情推理和演绎推理的特点，能够举例对它们进行区分。】
2.证明
数学归纳法的步骤：
(1)先证明当 是使命题成立的最小自然数)时命题成立；
数学归纳法(证明与自
直接证
(2)假设当 n=k(k∈N°, k≥n₀ )时命题成立，再证明当 n=k+1 时命题也
然数 n 有关命题的一 =₀ (₀
明
种特殊方法) 成立，那么就证明这个命题成立。
数学归纳法的应用：(1)证明恒等式；(2)整除性的证明；(3)探求平面几
何中的问题；(4)探求数列的通项；(5)不等式的证明。全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
要点：顺推证法；由因导果。
综合法证明的思维过程：用 P 表示已知条件及已有的定义、公理、定理
等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
综合法
特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，逐步推理，实际上是
直接证 寻找它的必要条件。
明
要点：逆推证法；执果索因。
分析法证明的思维过程：用 P 表示已知条件及已有的定义、公理、定理
等，Q 表示所要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
分析法
特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步推理，实际上是
寻找使结论成立的充分条件。
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假
反证法
设错误，从而证明了原命题成立的证明方法就是反证法。
利用反证法证明一个命题的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立；
间接证
明
(2)根据假设进行推理，直到导出矛盾为止；
步骤
(3)断言假设不成立；
(4)肯定原命题的结论成立。
【上岸熊巧记：反设——推理——归谬——结论】
【上岸熊提示：能够举例对综合法和分析法进行区分。同时不仅要注意反证法在简答题中的考查，也要注意在
解答题中的运用。】
十四、算法与框图
1.构成程序框图的图形符号及其功能
程序框 名称 功能
起止框 表示一个算法的起始和结束，是任何程序框图不可缺少的。
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、
输入、输出框
输出的位置。
用来表示赋值、计算。算法中处理数据需要的算式、公式等，它
处理框
们分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断某一条件是否成立，成立时，则在出口处标明“是”或
判断框
“Y”；不成立时，则在出口处标明“否”或“N”。第一部分 学科基础知识
续表
程序框 名称 功能
流程线 表示算法进行的前进方向以及先后顺序。
连接点 连接程序框图的两部分。
注释框 帮助编者或阅读者理解框图。
2.程序框图的构成及算法语句
含义 示意图
顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之
间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的。
顺序结构
它是由若干个依次执行的步骤组成的，是任何
一个算法都离不开的基本结构。
条件结构中含有一个判断框，算法执行到此需
判断给定的条件 P 是否成立，再选择不同的执
行框(A 框、B 框)。无论条件 P 是否成立，只
条件结构 能执行 A 框或 B 框之一，不可能既执行 A 框又
执行 B 框，也不可能 A 框、B 框都不执行。A
框或 B 框中可以有一个是空的，即不执行任何
操作。
在一些算法中要求反复执行同一操作的结构称
为循环结构。即从算法某处开始按照一定条件
循环结构
反复执行某一处理过程。反复执行的处理步骤
称为循环体。
算法语句 (1)输入语句；(2)输出语句；(3)赋值语句；(4)条件语句；(5)循环语句。
【上岸熊提示：算法与框图近几年教资考试中考查较少，了解即可。】全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
十五、排列、组合与二项式定理
1.两个计数原理的含义与区别
分类加法计数原理(加法原理) 分步乘法计数原理(乘法原理)
做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办 做一件事，完成它需要 n 步，在第一步
法中有 m₁种不同的方法，在第二类办法中有 m 中有 m₁种不同的方法，在第二步中有
含义 ₂种不同的方法……在第 n 类办法中有 mn 种不m₂种不同的方法……在第 n 步中有 mₙ
同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法。 种不同的方法。
= ₁ + ₂ +
⋯ + ₙ = ₁ × ₂ × ⋯ × ₙ
分类计数原理中的方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成整个事件。分步乘法
区别
计数原理中各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
【上岸熊提示：分类是独立的、一次性的；分步是连续的、多次的。】
2.排列、组合【简答题备考】【22 上简答题】
排列 组合
如
ₙ ᵐ −1 ⋯ − +1
︸
公式 如
! ∗ ₙ ᵐ = ₘ ᵐ = −1 ⋯2×1 =
= −1 −2 ⋯ − +1 }= − ! ∈
! ∗
5! − ! ! ∈ , ₅ ³ =
₅ ³ = 5 × 4 × 3 = 5−3 ! ₅ ³ 5×4×3
₃ ³ = 3×2×1
(1)全排列：将 n 个不同元素全部取出的排列。
性质
(2)阶乘：从自然数 1 到 n 的连乘积，记为 规
规定
定 0!=1。 ₙ ᵐ =ₙ ⁿ⁻ᵐ
ₙ ⁿ = !,
ₙ ⁰ =ₙ ⁿ = 1
3.二项式定理
0 1 −1 − ∗
其中组合数 Cn 叫做 第(r+1)项的二项 式系数；展开式 共有(n+1)项，其中第(r+1)项称为二项展开式的通
+ = + +⋯+ +⋯+ ∈ ,
项，其主要用途是求指定的项。
添加笔记：第一部分 学科基础知识
第二章 大学数学基础知识
第一节 实数
一、实数的构成与性质【选择题备考】【简答题备考】
1.实数由有理数与无理数两部分组成。
2.实数的性质
(1)实数集 R 对加、减、乘、除(除数不为 0)四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为 0)
仍然是实数。
(2)实数集是有序的，即任意两个实数 a，b 必须满足下述三个关系之一：a<b，a=b，a>b。
(3)实数的大小关系具有传递性, 即若 a>b,b>c,则 a>c。
(4)实数集 R 具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间都有无限个其他实数，且既有有理数，又有无理数。
(5)有理数对加、减、乘、除(除数不为 0)四则运算是封闭的，即任意两个有理数的和、差、积、商(除数
不为 0)仍然是有理数；无理数对加、减、乘、除(除数不为 0)四则运算是不封闭的，即任意两个无理数的
和、差、积、商(除数不为 0)不一定是无理数，如 和- 它们的和为 0，是有理数。【19 上选择题】
【上岸熊提示：重点掌握有理数和无理数的概念以及实数的运算性质。】
2 − 2,
[上岸熊提示：有理数的运算律包括：
加法交换律:a+b=b+a;
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律:a×b=b×a;
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c);
乘法对加法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c】【22 下简答题】
二、区间和邻域
设 a,b∈R, 且 a<b, 数集{x|a<x<b}称为开区间, 记作(a,b); 数集{x|a≤x≤b}称为闭区间, 记作[a,
b]; 数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}都称为半开半闭区间, 分别记作[a,b)和(a,b]。设 a∈R，δ>0，满
足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数 x 的集合称为点 a 的δ邻域。
第二节 极限与连续
一、极限的基本性质与运算法则
1.性质和运算法则【选择题备考】【简答题备考】【解答题备考】
(1)数列极限的不等式性质：设 若 a>b，则存在正整数
数列极限的基 N，当 n>N 时,( 若 则存在正整数 N, 当 n>N 时, a≥b。
→+ →+
lim = , lim = ,
本性质
(2)收敛数列的有界性: 设{xₙ }收敛, 则{xₙ }有界(存在常数 M>0, |xₙ |≤M, n
ₙ >ₙ ; ₙ ₙ ,
=1,2,3… )。全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
(1)函数极限的唯一性：如果 lim f(x)存在，那么这个极限唯一。
(2)函数极限的局部有界性：如果极限 那么存在常数 M>0, δ>
0,使得当 时，有||f(x)|≤M。 → 0
lim = ,
函数极限的
基本性质 (3)函数极限的不等式性质：设 limf(x)=A, limg(x)=B,若 A>B, 则存在δ>0,当
0 < | −₀ | <
时，f(x)>g(x); 若 则 A≥B。
(4)函数极限的局部保号性：如果 limf(x)=A 且 A>0(或 A<0), 那么存在常数δ>0,
0 < | −₀ | < (0 < | −₀ | < ),
使得当( 时，有 f(x)>0(或 f(x)<0)。
0 < | −₀ | <
数列极限的运算法则：
如果 那么
→+ →+
lim = , lim = ,
→+ →+ →+
1 lim ± =lim ±lim = ± ;
→+ →+ →+
2 lim =lim lim = × ;
lim →+
3 lim →+ = lim →+ = 0 ;
(c 为常数)。
运算法则 函4数li极m限 → 的 + 运 算 法=则 li：m →+ =
如果 (a 可以是具体的：x₀ , x₀ ⁺ , x₀ ⁻ , +
∞, - ∞, →∞ ) ,那么 →
lim = , lim =
→
1 lim ± = ± ;
→
2 lim =
(34li)m当 → C 是= 常 0数; ， n 是 正 整 数 时 ，
→ →
∗ = ∗ , ∗
(
1
)准 → 则
I
, 如
=
果数
∗
列
{ x→ₙ
},
{yₙ }及{zₙ }满足下列条件: ①从某项起, 即∃∃n
₀ ∈N₊ ,当 n>n₀ 时, 有. 那么数列{xₙ }
判定极限存
的极限存在，且 。 准则 I'，如果 →① 当 x∈U(x ₀→ , r)( 或|x|>M) 时,g
; 2lim = ,lim = ,
在的两个准
则 (x)≤f(x)≤h(x); → 那么 lim
lim =
f(x)存在，且等于 A。 → 0 → 0 →
2lim → = , lim }ℎ = ,
(2)单调有界数列必有极限。
【上岸熊提示：备考时需要识记数列极限和函数极限的性质并且要求会应用。】第一部分 学科基础知识
2.极限的求法【高频】【选择题备考】【22 上选择题】【22 下选择题】【23 上选择题】【23 下选择
题】【24 下选择题】
代入法就是直接将所趋近的值代入函数表达式中，用这种方法的前提条件是这个值能使
代入法
函数有意义。
所趋近的值使得函数没有意义，因此需要约公因子，约公因子通常运用因式分解的方
约公因子法
法。
当函数是分式形式，且分子、分母都是多项式时，可以通过最高次幂法求极限。最高次
最高次幂法 幂法主要是比较分子与分母次数的高低。
−1
0 + 1 +⋯+ 0
→ −1
lim 0 + 1 +⋯+ = 0 , =
, 0, > , , < .
两个重要极限
(或 。
公式
1
sin 1
→0 → →0
lim = 1, lim 1 + = lim 1 + = )
设
(1) 当 x→a 时, 函数 f(x)及 F(x)都趋近于零;
(2) 在点 a 的某去心邻域内, f'(x)及 F'(x)都存在且.F'(x)≠0;
洛必达法则
【20 下选择
存在(或为无穷大)，则
题】 '
'
→ ' → → '
求 3 “ l 0 im .∞”或 “∞-∞”型极限的方法 l 有 im : = lim
(1) 0.∞型转化为 ,∞型，再利用洛必达法则求解；
0
(2)∞-∞型可通过通分或变量替换转化为 ,∞,∞型。
0
0
(1 ) 若 则 称 在 x → x ₀ 过 程 中 ， f( x ) 是 无 穷 小 ； 若
0
则称在 x→x₀ 过程中，f(x)是无穷大。【上岸熊注释：极限
→ 0
lim = 0,
1
的存在 →与 0否以及极限的大小和函数在该点的情况(是否有定义和函数值的大小)
lim = 0,
关系
无关。】
(2)无穷小与无穷大的关系：倒数关系。
(3)无穷小与极限的关系：lim f(x)=A⇔f(x)=A+α(x),其中
无穷小与无穷 。
→ 0
lim =
大
(1) 若函数 f(x)与 g(x)(x→a)都是无穷小，则函数.f(x)±g(x)(x→a)是无
0
穷小。
(2)若函数 f(x)(x→a)是无穷小，函数 g(x)在 a 的一个去心邻域内有界，则
无穷小的
函数 f(x)g(x)(x→a)也是无穷小。
性质
(3) 若函数 f(x)与 g(x)(x→a)都是无穷小, 则函数 jf(x)g(x)(x→a)是无穷
小。
(4)若函数 则 f(x)-A(x→a)是无穷小。
→
lim = ,全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
设在自变量 x 的同一变化过程中(如 x→x₀ 或 x→∞) , α(x), β(x)都是
无穷小, 且β(x)≠0。
(1) 如果 则称α(x)是β(x)的高阶无穷小，记作(α(x)=o[β(x)]。
无穷小
(2) 如果 则称α(x)是β(x)的低阶无穷小。
=0,
的比较
无穷小与无 (3)如果 则称α(x)是β(x)的同阶无穷小。
=∞,
穷大
(4) 如果 则称α(x)是β(x)的等价无穷小, 记作α(x)~β(x)。
= 0,
=1,
常见的
当 x→0 时,sinx~x~ arcsinx, tanx~x~ arctanx, e -1~x~ ln(1+x),
ˣ
等价无
。
穷小
ˣ −
1
【上岸熊提示：需要重点掌1~握 两 个, 1重−要 极 限 ~公2式 ²和, 等1 +价 无ᵃ 穷−小1；~ 备 考 时0 能够识别形式，掌握变形方法。】
二、函数的连续性与间断点【选择题备考】【简答题备考】【高频】【21 下选择题】【23 上简答题】
(1)若函数 f(x)在区间[a，b]上连续，则函数 f(x)在区间[a，b]内必有最大值与最小
值；
(2)若函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数 f(x)在区间[a, b]内必有界;
(3) 若函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 且 f(a)·f(b)<0, 则必存在 使
闭区间上
₀ ∈ ,
连续函数
(4)设函数 f(x)在闭区间[a, b]上连续, 若 f(a)=A, f(b)=B, 且 A≠B,C 是 A 与 B 之
₀ = 0;
的性质
间的任意数, 则在开区间(a, b)内至少有一点ξ, 使得 f(ξ)=C(a<ξ<b)。
【上岸熊提示：介值定理：设 f(x)在[a，b]上连续，m 与 M 分别为在[a，b]上的最小
值与最大值, 则对于任一实数 c(m≤c≤M), 至少存在一点η∈[a, b], 使 f(η)=
c。】
【24 上简答题】
一致连续
(1)定义：设函数 f(x)在区间 I 上有定义，若∀ε>0, ∃δ>0, ∀x₁,x₂∈I, |x₁-
【20 下选
x₂|<δ,恒有 则称函数 f(x)在 I 上一致连续。
择题】【2
(2) 定理: 若函数 f(x)在闭区间[a, b]上连续, 则函数 f(x)在闭区间[a, b]上一致
1 上选择
| ₁ − ₂ | < ,
题】 连续。
(1)第一类间断点
设 x₀ 为函数 y=f(x)的间断点，如果 f(x)在间断点 x₀ 处的左、右极限都存在，则称
函数的间 x₀ 是 f(x)的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。左、右极
断点
限相等称为可去间断点，左、右极限不相等称为跳跃间断点。
(2)第二类间断点
其他形式的间断点，使得左、右极限至少有一个不存在的间断点，都是第二类间断点。
【上岸熊提示：闭区间上连续函数的性质考频较高，需重点掌握。】第一部分 学科基础知识
第三节 导数与微分中值定理
一、导数
1.高阶导数与隐函数求导【选择题备考】
函数 y=f(x)的导数 y'=f'(x)仍然是关于 x 的函数, 我们把 y'=f'(x)的导数叫做函数 y=f
(x)的二阶导数, 记作 y"或 。类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导
高阶导数
²
数叫做四阶导数，一般地，(n-1)阶导数的导数叫做 n 阶导数，记作 y⁽ ⁿ⁾ 或 。
²
ⁿ
二阶或二阶以上的导数统称为高阶导数。【22 上选择题】 ⁿ
(1)若已知 F(x, y)=0, 求 dy/ dx 时, 一般按下列步骤进行:
①若方程 F(x，y)=0 能化为 y=f(x)的形式，则采用前面的方法求导。
②若方程 F(x，y)=0 不能化为 y=f(x)的形式，则方程两边对 x 进行求导，并把 y 看成 x
隐函数求
的函数，用复合函数求导法则进行求导。
导
(2)对数求导法
对形如 的函数求导，先对函数两边取自然对数，再利用隐函数求导法则进
行求导。
= ᵍ⁽ˣ⁾
基本初等函数求导公式：
(1) (C)'=0;
特别地，
'
' '
−1 ' 1 1 1
, 且 a≠1), 特别地, (
2 = , =1, =2 , =− ²;
' '
3 ˣ =ˣ 0, 且 a≠1), 特别地, ˣ =ˣ ;
'
'
1 1
求导
(45) ₐ = 0, = ; secx,(cscx)
' ' ' ' '
的方法 '=-co t x cse = x ; , =− , = ² , =− ² , =
' 1 ' 1 ' 1 ' 1 '
~ ~6 ~ = =− =1+ ² =−1+ ²∘ ~
1− ² 1− ²
求导法则: 设 u=u(x), v=v(x)都可导，则：
'
' '
1 ± = ± ;
特别地，[Cu(x)]'= Cu'(x),C 为常数；
'
' '
2 ⋅ = + ,
' ' '
−
【上岸熊注释：3函 数 可= 导与 连² 续的关 系 0包∘括连续不一定可导、可导一定连续、不连续一定不可导三种情
况。】全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
【上岸熊提示：教学史在导数概念教学各阶段的作用：
导入阶段：向学生介绍历史上数学家(或科学家)们对“已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时
刻的速度与加速度”“求曲线的切线”等问题的研究，是导数产生的直接原因。这样既可以介绍导数产生的实
际背景，说明导数概念的产生是数学发展的必然结果，又可以从探究这些问题出发来展开教学。
形成阶段：教师结合历史上数学家研究过的问题，通过实例，用极限的方式与学生一起研究“高台跳水运动员
的速度”和“抛物线的切线的斜率”两个问题。学生通过两个问题完整地经历从平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，进而归纳、概括出导数的概念，这一过程体现了从特殊到一般的数学思想，发展了学生的数学抽象素
养。
应用阶段：利用导数作为工具解决历史上困扰数学家很久的问题，如“物体的瞬时速度和加速度”“曲线的切
线”等问题，让学生获得成就感，感受到数学的实用性。】
2.导数的应用【简答题备考】【22 下简答题】
设函数 f(x)在点 x₀ 的某邻域 U(x₀ )内有定义，如果对于 U(x₀ )内任一 x，有
(或 f(x)≥f(x₀ ) ), 那么就称 f(x₀ )是函数 f(x)的一个极大值
定义
(或极小值)，函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点
≤ ₀
称为极值点。
取得极值的必要条件：函数 f(x)在 x₀ 处可导，且在 x₀ 处取得极值，则
。
'
【₀ 上=岸0熊注释：一个函数可能的极值点就是其导数为零或导数不存在的
点。】
(1)取得极值的第一充分条件
函数的极值
设函数 f(x)在 x₀ 处连续，且在 x₀ 的某去心邻域 U(x₀ , δ)|内可导，若
求解
时, f'(x)>0,且 时, f'(x)<0, 则 f(x)在 x₀ 处
条件
取得极大值；
∈ ₀ − ₀ ∈ ₀ ₀ +
若 时, f'(x)<0, 且 时, f'(x)>0, 则 f(x)在 x₀
处取得极小值；
∈ ₀ − ₀ ∈ ₀ ₀ +
若 x∈U(x₀ , δ)时, f'(x)的符号保持不变, 则 f(x)在 x₀ 处没有极值。
(2)取得极值的第二充分条件
设函数 f(x)在 x₀ 处具有二阶导数，且 那么若 则 f
(x)在 x₀ 处取得极大值；若 则' f(x)在 x' ₀ 处取得极小值' 。
₀ =0, '₀ 0, '₀ <0,
'
设函数 y=f(x)在[a, b]上连续, 在(a ,'₀b )内>可0,导。
(1)若在(a, b)内, f'(x)≥0, 且等号仅在有限多个点处成立, 那么函数 y=f(x)在
函数单调性的
[a, b]上单调递增;
判定
(2)若在(a, b)内, f'(x)≤0, 且等号仅在有限多个点处成立, 那么函数 y=f(x)在
[a, b]上单调递减。第一部分 学科基础知识
续表
【上岸熊注释：高中数学中与“函数单调性”密切相关的具体知识有：
①集合、区间，单调性通常是函数定义域的某个子集上具有的性质；②不等式，函数单
函数单调性的判
调性的定义本质上是不同函数值的不等关系；③指数函数、对数函数、幂函数、三角函
定
数等具体函数，单调性是这些具体函数的性质；④导数，通过导数研究可导函数的单调
性；⑤极值、最值，通过研究函数在特定区间上的单调性判断函数的极值和最值。】
设 f(x)在区间 I 上连续，对 I 上任意两点
定义 如果恒有 那么称曲线 f(x)在 I 上是凹的(或凹弧)；
₁ ,₂ ₁ ₂ :
₁ +₂ ₁ + ₂
如果恒有 那么称曲线 f(x)在 I 上是凸的(或凸弧)。
2 < 2 ,
曲线的凹凸性 ₁ +₂ ₁ + ₂
2 > 2 ,
设 f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么
判别条
(1)若在(a, b)内,. , 则曲线 f(x)在[a, b]上是凹的。
件
'
(2)若在(a, b)内,. , 则曲线 f(x)在[a, b]上是凸的。
' >0,
'
【上岸熊提示：曲线的凹凸性在教资考试中以解答题的形式考查，识记二阶导数与凹凸性的关系。】
' <0,
二、微分
1.微分的定义及微分与导数的关系【选择题备考】【21 上选择题】
设函数 y=f(x), a<x<b, 固定一点 x₀ ∈(a, b)。
若 成立(其中 A 与Δx 无关) , 则称函数 y=f
微分的定义
(x)在点 x₀ 处可微, 称 A·Δx 为函数在点 x₀ 处的微分, 记为 dy=A·Δx。
= ₀ + − ₀ = ⋅ +
规定:自变量的微分,就是它的增量,即 dx=△x,则 dy=Adx。
微分与导数的
关系
' '
= = =
2.微分中值定理【简答题备考】
若函数 f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)上可导, 且 f(a)= f(b), 则存在一点ξ∈(a,
罗尔定理
b), 使 f'(ξ)=0。【19 下选择题】
拉格朗日
若函数 f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)上可导, 则存在(ξ∈(a, b), 使 。
中 值 定 理 【 1 9
−
'
下选择题】
= −
若函数 f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)上可导, 且 g'(x)≠0, 则存在ξ∈(a,
柯西中值定理
b),使 。
'
−
'
= − 全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
【上岸熊提示：罗尔定理备考首先要求识记定理内容，其次在做题过程中发现条件中有区间端点的函数值相
等时能够想到罗尔定理。柯西中值定理了解即可。拉格朗日中值定理同样要求识记定理内容并且结合真题
会综合应用。】
3.泰勒公式【选择题备考】
如果函数 f(x)在 x₀ 处具有 n 阶导数，那么存在 x₀ 的一个邻域，对于该邻域内的
任 一 x ， 有
泰勒中值定理
'
'₀ ⁽ ⁿ⁾ ₀
1 '
其中 。
= ₀ + ₀ −₀ + 2! −₀ ² + ⋯ + ! −
₀ 特ⁿ别地+ₙ ：取 , ₙ = −₀ ⁿ 称为麦克劳林公式。
'
0 ⁽ ⁿ⁾ 0
₀ = 0, = 0 + 1! + ⋯ + ! ⁿ + ⁿ ,
如果函数 f(x)在 x₀ 的某个邻域 U(x₀ )内具有(n+1)阶导数，那么对任-一 x∈U(x
泰勒中值定理
₀ ) , 有
2 '
'₀ ⁽ ⁿ⁾ ₀
'
其 中 这里ξ是 x₀ 与 x 之间的某个值。
= ₀ + ₀ −₀ + 2! −₀ ² + ⋯ + ! −₀ ⁿ +
⁽ ⁿ⁺⁾¹
ₙ , ₙ = +1 ! −₀ ⁿ⁺ ¹,
已知 取拉格朗日余项，有
=ˣ
2
+1
⁽ ⁿ⁾ =ˣ ,⁽ ⁿ⁾ 0 = 1, =1+1!+ 2! +⋯+ ! + +1 ! ,
0<θ<1。
f(x)= sinx【19 上选择题】
已知
有 。
⁽ ⁿ⁾ = + 2 ,⁽ ⁿ⁾ 0 = 2 =
常用到的几种 ³ ᵏ⁻² ¹
= − 3! + ⋯ + −1ᵏ⁻ ¹ 2 −1 ! +₂ ₖ ∈
特殊的麦克劳
林公式
f(x)= cosx
已知 。
( − 1ᵏ) , = 2 ( ∈ )
有 ⁽ ⁿ⁾ ( ) = ( + 2 ),⁽ ⁿ⁾ (0) = 2 = { 。
0, = 2 − 1( ∈ )
² ⁴ ᵏ²
= 1 − 2! + 4! − ⋯ + −1ᵏ 2 ! +₂ ₖ₊₁ ∈
f(x)= ln(1+x)
已知
−1 !
有 ⁽ ⁿ⁾ = −1ⁿ⁻ ¹ 1+ ⁿ ,⁽ ⁿ⁾ 0 = −1ⁿ⁻ ¹ − 1 !,
² ³ ⁿ
1 + = − 2 + 3 − ⋯ + −1ⁿ⁻ ¹} +ₙ ∘第一部分 学科基础知识
续表
f(x)=(1+x)°,其中α∈R。
已知
−
常用到的几种
= −1 ⋯ − +1 1+ ,
− −1
特殊的麦克劳 +1
= −1 ⋯ − 1+ ,
林公式
有 。
⁽ ⁿ⁾ 0 = − 1 ⋯ − + 1 ,
−1 −1 ⋯ − +1
特别地, 当α=n ∈N 时, 2 于是∀k≥n , 有 Rk(x)≡0, 展开式就是我们
1+ =1+1! + 2! +⋯+ ! +
熟知的二项式公式： 。
⁽ ⁿ⁺⁾¹ ≡ 0,
−1 ⋅ −1 ⋯⋯2⋅1
1+ ⁿ =1+1! + 2! ²+⋯+ ! ⁿ
4.利用泰勒展开式求函数极限
对于 ， ⁰⁰⁰₀ 型的极限问题，一般可以采用洛必达法则，由于求导过程较为烦琐，可能还需多次运用
0
洛必达0 法则，此时泰勒展开式往往是比洛必达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒展开式求极限，
其本质还是进行等价无穷小代换。我们常说常见的等价无穷小是麦克劳林公式的低阶部分，而泰勒展
开式则为等价无穷小代换的高精度形式，其本质是利用多项式来逼近函数，展开到需要的“精确
度”。
【上岸熊提示：泰勒公式的考查形式分为计算估值和利用公式计算极限两类。】
第四节 积分
一、不定积分
(1)如果在区间Ⅰ上，可导函数 F(x)的导函数为 f(x)，即对任一 x∈I，都有
或 dF(x)=f(x) dx, 那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x) dx)在区间 I 上的一'个原
=
函数。
(2)在区间 I 上，函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I
定义
上的不定积分, 记作∫f(x) dx。
其中记号∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变
量。
如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数，那么 F(x)+C 就是 f(x)的不定积分，即∫
f(x) dx=F(x)+C,因而不定积分∫f(x)dx 可以表示 f(x)的任意一个原函数。
【性质一】函数之和的不定积分等于各个函数的不定积分之和，即∫[f(x)+g(x)]
dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx。
性质
【性质二】求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的外面，即
∫k·f(x) dx=k·∫f(x) dx(k 为非零常数)。全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
原函数与不定积分的关系：
不定积分与
原函数、导 若 F(x)为 f(x)在区间 I 上的一个原函数, 则∫f(x) dx=F(x)+C,其中 C 为任意常
数之间的关
数，称为积分常数。
系
不定积分和导数之间的关系：(∫f(x) dx)'=f(x)。
常用不定积
+1
分的计算 。
= +1 + −1 ;sin =−cos + ;cos =sin + ;
1 1
∫ 1+ ² = + ; ∫ 1− ² = + ; ∫ˣ =ˣ +
第一类换元法
。
1 1 1
。
= + ; = + ; = 2 ² + ; ² = 3 ³ +
1 1 1 1
si ² n x dx = = − -d (c o + s x+ ; C) ; c = os 2 x dx = + d (s ; i n x + = C) 。 + ;ˣ = ˣ +
1 1
² = + ;1+ ² = +
第二类换元法
(1)三角换元：如 可设 x= sint。
可设 。当 f(x)中含有 时，可设 x=t", m 为
∫ 1 − ² ,
1 2
不定积分的
1 2
=⁶ , ,⋯
计算
3
P₁2 ,∫ P ²₂+ , …, 的最小公倍数。
(3)倒代换：如 可设 。
1
(4)若分母中含根 ∫⁴ 式 或²+分1 , 母整体 = 为 根式，如 可设 。
⁵
∫ , = ² + 1
分部积分法： 1+ ²
' '
运用原则：
∫ = − ∫ ∫ = − ∫
(1) 由 v'易求出 v;
(2)∫vdu( u' vdx)比∫udv(∫uv' dx)好求。
ʃ
【上岸熊注释：按“反，对，幂，三，指”的顺序，排前者取为 u，排后者取为 v
'。】
【上岸熊提示：备考时能够应用不定积分的常用公式和积分方法进行计算，另外这些方法在后面定积分中也同
样适用。】第一部分 学科基础知识
二、定积分【选择题备考】【简答题备考】
1.定积分的几何意义【20 下简答题】
定积分就是求函数 f(x)在区间[a，b]上的图象与直线 y=0，x=a，x=b 所围成图形的面积，这个图形称为曲
边梯形，特例是曲边三角形。
【上岸熊提示：备考时能够应用定积分的几何意义求解图形面积，另外，遇到求定积分的问题时可以转化
为求图形面积的问题，以简化运算。】
2.定积分的性质【23 下选择题】
1ₐ∫ᵇ = ₐ∫ᵇ ;
推证公式
2ₐ∫ᵇ ± =ₐ∫ᵇ ±ₐ∫ᵇ ;
3 ∀ ∈ , = + ;
(c)为常数)。
积分的保序性 在区4ₐ间∫ᵇ[ a , b=]上 恒−有 f(x)≥0, 则. 。
ₐ∫ᵇ 0
积分估值定理 若 m≤f(x)≤M, x∈[a, b],则 。
如果函数 f(x)在[a，b]上连续， 至 少− 存 ₐ在∫ᵇ一 点 . ξ ∈[ a−, b], 使.
积分中值定理
。
ₐ∫ᵇ = −
对称区间上奇偶
设 f(x)在对称区间[-a, a]上连续, 若 f(x)为奇函数, 则. 若 f(x)为偶
函数的积分性质
函数，则 。
【19 下选择题】
₋∫ₐᵃ = 0;
₋∫ₐᵃ = 2₀∫ᵃ
牛顿-莱布尼茨公 若函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 且 F(x)是 f(x)的原函数, 则.
式 F(b)-F(a)。
ₐ∫ᵇ = ₐᵇ| =
3.可积的条件
必要条件 当函数 f(x)在区间[a, b]上可积时, 称 f(x)在区间[a, b]上必有界。全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
定理 1: 当函数 f(x)在区间[a, b]上连续时, 称 f(x)在区间[a,b]上可积;
定理 2：设函数 f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则 f(x)在区间
充分条件
[a, b]上可积;
定理 3: 当函数 f(x)在区间[a, b]上单调时, 称 f(x)在区间[a, b]上可积。
4.积分上限函数及其导数
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，那么积分上限函数 在[a,b](a≤x≤b)上可导, 并
= ∫
且它的导数
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，那么函数 就是 f(x)在区间[a，b]上的一个原函
数。 = ∫
一般地， 。
'
5.定积分的∫ 求法及应用【选'择题备考】' 【简答题备考】【高频】【22 下选择题】
~ = −
设 f(u)具有原函数 F(u), 即 , 则∫f(u) du=F(u)+C。
'
若 u 是中间变量: u=φ(x), 且φ(x)可微, 则有 dF[φ(x)]=f[φ(x)]φ'(x) dx,可得
= ,
∫f[φ(x)]φ'(x) dx=∫f(u) du=F(u)+C=F[φ(x)]+C。
定积分的求
法
分部积分法
设 函 数 u = u ( x ) , v = v ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 有 连 续 的 导 数 , 则 有
。
ₐ∫ᵇ =
求 平 面 图 形ₐᵇ|的−面ₐ∫ᵇ积【 21 下 简 答题】【19 下简答题】
由曲线 y=y₂(x)与 y=y₁(x)及直线. 围成的平面图形
的面积 。
= , = (₂ ≥₁ , < )
由曲线 x=x₂(y)与 x=x₁(y)及直线. 围成的平面图形的
=ₐ∫ᵇ ₂ −₁
面积 。
= , = (₂ ₁ , < )
定积分的应
用
2 1
= −
求旋转体的体积【19 下简答题】
将区间[a，b]上的连续曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积
将区间[c，d]上的连续曲线 x=g(y)绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 。
= ₐ∫ᵇ ² ,
2
旋转体侧面积： 。
=
'
变限积分：
= 2 ₐ∫ᵇ 1 + ²
' ' '
=ₐ∫₍ₓ₎ᵇ⁽ˣ⁾ ; = − 第一部分 学科基础知识
续表
求平面曲线的弧长
(1)参数方程形式
光滑曲线 MN 满足参数方程 x=φ(t), y=ψ(t), α≤t≤
定积分的应用
β,则曲线 MN 的长 。
2 2
' '
= +
(2)直角坐标形式
光滑曲线 MN 的方程 y=f(x), a≤x≤b,则曲线 MN 的长 。
【上岸熊提示：备考时重点掌握定积分求平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长公式。】
'
=ₐ∫ᵇ 1 + ²
第五节 无穷级数
一、无穷级数
1.无穷级数的含义及其敛散性
设给定数列 u₁, u₂, …, un, …,则 称为常数
=1 1 2
项无穷级数，简称为常数项级数或级数， 其中 第=n 项 +un 称+为⋯级+数 的一+般⋯项 =或1通2项⋯。
含义
无穷级数 的前 n 项之和 称为这个级数的第几
=1 =1 1 2
个部分和。 = + + ⋯ + = 1 2 ⋯
若无穷级数 的部分和构成的数列{Sn}的极限存在，即 则称无穷级数
敛散性 收敛，否则就称无穷级数 发散。当无穷级数 收敛时，称极限值
=1 →
lim = ,
为此级数和，称 为级数的余项或余和。
=1 =1 =1
→
lim = ₙ = −ₙ =ₙ ₊₁ +ₙ ₊₂ + ⋯
2.级数敛散性的判断【24 下解答题】
等比级数 当|q|<1 时收敛, 当|q|≥1 时发散(a≠0)。
=0
p 级数 当 p>1 时收敛，当 p≤1 时发散。
1
=1
设 是一个正项级数，如果 则当ρ<1 时，级数收敛；当ρ>
比值审敛法
+1
1 或 时，级数发散；当ρ=1 时，级数可能收敛，也可能发散。
=1 →
lim = ,
(达朗贝尔判别法)
+1
→
lim =
如果交错级数 满足条件：
−1
=1
−1
莱布尼茨定理
①ₙ ₙ ₊₁ = 1 2 3 ⋯ ;
。
→
2lim = 0
则级数收敛，且其和 S≤u₁，其余项 r，的绝对值| 。
ₙ| |ₙ ₊₁全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
3.绝对收敛与条件收敛
如果级数 收敛，那么称 绝对收敛；
定义
=1 =1
| |
如果级数 收敛，而级数 发散，那么称级数 条件收敛。
=1 =1 =1
| |
定理 如果级数 绝对收敛，则级数 必定收敛。
=1 =1
二、幂级数
1.定义
形如 的函数项级数称为(x-x₀ )|的幂级
2
数，其∑中 =0a ₀ ,−a ₁0 ,=a ₂0+, …1 , −an ,0…+均 2为 常− 数0 ,+称⋯为+幂 级 数− 的0 系+数⋯。
幂级数的一般形式是
2
经变换 t=x-x₀ 就得到 0+ 1 − 0 + 2 − 0 +⋯+ − 0 +⋯,
2
即 0+ 1 +。 2 +⋯+ +⋯,
2
2.收 0敛+半 1 径+的 2求 法+及⋯收+敛 区 间+⋯
(1)收敛半径的求法
设 an≠0(n=1, 2,…), an, an+1 是幂级数 的相邻两项的系数，并设 则当ρ=0
∞ +1
时，收敛半径 R=+∞; 当ρ=+∞时, 收敛半径 = R 0 =0; 当ρ≠0 时, 。 lim →∞ ∣ ∣= ,
1
(2)正数 R 通常叫做幂级数 的收敛半径，开区间(-R， R) = 叫 做幂级数 的收敛区间，再
∞ ∞
由幂级数在 x=±R 处的收敛性 =就0 可 以 决定它的收敛域是(-R, R),[-R, R),(-R, R=]0或 [ - R, R]这四个区间
之一。
规定：若幂级数 只在 x=0 处收敛，则规定收敛半径 R=0；若幂级数 对一切 x 都收
∞ ∞
敛，则规定收敛半径 =0R= + ∞ , 这时收敛域为(-∞, +∞)。 =0
【上岸熊提示：幂级数近几年在教资考试中考频较低，了解即可。】
第六节 高等代数
一、多项式
1.一元多项式的概念
设 n 是非负整数，形式表达式为 其中 a₀ , a₁, …, an 全属于数域 P，称为系
−1
数在数域 P 中的一元多项式，或者 简 称+为 数−1域 P 上+的⋯+一 元0,多项式。
【上岸熊注释：系数全为零的多项式称为零多项式，记 P 为 0。】第一部分 学科基础知识
2.多项式整除的概念
如果有数域 P 上的多项式 h(x)使等式 f'(x)=g(x)h(x)成立, 则称 g(x)整除 f(x)。我们用“g(x)|f(x)”表
示 g(x)整除 f(x), 用“g(x)|f(x)”表示 g(x)不能整除 f(x)。当 g(x)|f(x)时, g(x)就称为 f(x)的因式,f
(x)称为 g(x)的倍式。
二、行列式【选择题备考】【高频】
1.行列式的定义和基本性质
设有 n²个数，排成 n 行 n 列的数表
₁ ₁ ₁ ₂₁ₙ
:
₂ ₁ ₂ ₂₂ₙ
作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积，并冠以符号(-1)'，得到形如
ₙ ₁ ₙ ₂ₙₙ ,
定义
的项，其中 P₁P₂……pn 为自然数 1 − ， 1 2， 1 … 1 ， 2 n 2⋯ 的 一 个 1 排列，t 为这个排列的逆序数。由于这
样的排列共有 n！个，因而形如(1)式的项共有 n！项。所有这 n！项的代数和
称为 n 阶行列式，记作
1 1 2 2
−1 ⋯
简记作(det(a ), 其中数 a 为行列式 D 的(i,j)元。
ᵢⱼ ᵢⱼ
性质 1：行列式的值等于其转置行列式的值，即 。
性质 2：将行列式中任意两行(列)位置互换，行列式的 值反号。
=
性质 3：若行列式中两行(列)对应元素完全相同，行列式值为零。
性质 4：若行列式中某一行(列)有公因子 k，则公因子 k 可提取到行列式符号外，即
基 本
性 质
【 1 9
上选
择
题】
性质 5：若行列式中一行(列)均为零元素，则此行列式值为零。
性质 6：若行列式中两行(列)元素对应成比例，则行列式值为零。
性质 7：把行列式的某一行(列)的元素乘同一数后加到另一行(列)的对应元素上，行列式值不
变。全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
2.行列式按行(列)展开
(i,j)元 aj 的余子式, 记作 Mjj; 记 叫做(i,j)元 adj 的代数余子式。
ⱼ ⱼ ⱼ
定义
一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除(i，j)元 afp 外都为零，那么这个行列式等于 ag
ᵢ = −1ⁱ⁺ʲ ᵢ ,ᵢ
与它的代数余子式的乘积，即 。
ⱼ ⱼ
=ᵢ ᵢ
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
定理
或
=ᵢ₁ ᵢ ₁ +ᵢ₂ ᵢ ₂ + ⋯ +ᵢₙ ᵢ ₙ = 1 2 ⋯ ,
。
ⱼ ⱼ ⱼ ⱼ ⱼ ⱼ
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
=₁ ₁ +₂ ₂ + ⋯ +ₙ ₙ = 1 2 ⋯
ⱼ ⱼ ⱼ
推论
或
ᵢ₁ ₁ +ᵢ₂ ₂ + ⋯ +ᵢₙ ₙ = 0, ,
。
ⱼ ⱼ ⱼ
3.行列式的计算【选择题备考】【简答题备考】【21 下选择题】【22 上选择题】【23 上选择题】【20
₁ ᵢ ₁ +₂ ᵢ ₂ + ⋯ +ₙ ᵢ ₙ = 0,
下简
答题】
适用于任意类型行列式的计算，当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性。
定
【上岸熊注释：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。】
义
法
|₁ ₁ }₁ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₂ | =₁ ₁ ₂ ₂ ₁ ₂ ₂ ₁ ₂ ₁ , |₁ ₁ }₁ ₁ ₃ ₁ ₂ ₂ | =₁ ₁ ₃ ₁ ₃ ₃ ₃ ₁ ₂ ₃ ₃ ₁ +
₃ ₁ ₂ ₁ ₃ ₂ ₃ ₂ ₃ ₂ ₃ ₁ −₁ ₂ ₂ ₁ ₃ ₃ −₁ ₁ ₂ ₃ ₂ ₃ ₂ ₃ ₂ ₃ ₂ ₃
(1)上(下)三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积，即
化
内容
三
角
形
法
11 12 1 2, 2, −1 1
| } | | ⋮ . | =
1 2, 2 −1 22 1 1 1 1 2, −1
| } | ⋯ ⋯|}|} ||} | = −1
化三角形法是利用行列式的性质，将原行列式化为上(下)三角形行列式的计算方法，适用于
特点
阶数较低的数字行列式和一些较特殊的字母行列式。第一部分 学科基础知识
续表
按行(列)展开可以将一个 n 阶行列式化为 n 个(n-1)阶行列式计算，继续用行(列)展开，可
按行 以将 n 阶行列式降阶直至化为许多个 2 阶行列式计算，所以首先利用性质，将某行(列)的
(列)展
元素尽可能化为 0，再按照行(列)展开。
开
适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式容易计算的
情况。
在行列式 D 中任取 k(1≤k≤n-1)彳行(列)，由这 k 行(列)中的所有 k 阶子式与它们的代数
降
余子式的乘积之和，等于行列式 D。
阶
基本结论：
法
拉普拉
“﹏”(4)(4)(4 为 5°,D,2,0,0)
斯定理
|ₘ ₙ ₘ | = |
特点：对行列式进行计算，有时可以把行列式进行分块处理，然后把分成的行列式进行乘
法计算，从而求得行列式的值，也叫分块法。
【上岸熊提示：备考时需要把握：①掌握利用对角线法则计算二阶、三阶行列式的方法；②理解行列式的性
质和代数余子式的概念，掌握利用引理计算行列式的方法。】
三、矩阵
1.矩阵【24 下简答题】
由 m×n 个数(aij (i=1, 2,…,m; j=1, 2,…,n)排成的 m 行 n 列的数表
a₁₁ a₁₂ ⋯ a₁n
₂ ₁ ₂ ₂₂ₙ
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大
ₘ ₂ₘₙ
矩阵的定义 写黑体字母表示它，记作
这 m×n 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元，数 af 位于矩阵 A 的第 i 行和第 j 列，称
为矩阵 A 的(i,j)元。以数 a 为(i,j)元的矩阵可简记作(a )或((a/j)m×n。m×n'矩阵
ᵢⱼ ⱼⱼ
A 也记作 Am×n。
方阵 行数与列数都等于 n 的矩阵称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵。n 阶矩阵 A 也记作 An。
行(列)矩阵 只有一行(列)的矩阵，也称行 (列)向量。全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
同型矩阵 两矩阵的行数相等，列数也相等。
零矩阵 一个矩阵的所有元素都是 0，则矩阵称为零矩阵。
n 阶方阵
单位矩阵
叫做 n 阶单位矩阵，简称单位阵。这个方阵的特点是：对角线上的元素都是 1，其他
元素都是 0。即单位阵 E 的(i,j)元 eij 为
，
ⱼ
。
1, =
ᵢ =
主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，如 n×n 矩阵
0, } = 1 2 ⋯
对角矩阵
为 n 阶对角矩阵，通常简记为
设 与 是两个同型矩阵，如果 对 = 应 的 元 ₁ ₁ 素 ₂ 都 ₂ 相 ⋯ 等 ₙ ₙ ，即 ∘ aij= bij(i
相等矩阵
=1, 2, …, s; j=1, 2, …, n),则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记为 A=B。
= × = ×
主对角线下 (上)方的元素全为零的方阵称为上(下)三角矩阵，如 n×n 矩阵
为 n 阶上三角矩阵，又如 n×n 矩阵
三角矩阵
为 n 阶下三角矩阵。
(₁ ₁ 0 ⋯ 0₂ ₁ ₂ ₂ ⋯0 ⋮⋮⋮ₙ ₁ ₙ ₂ ⋯ ₘ })
【上岸熊提示：行列式是一个算式，一个数字行列式经计算可以求得它的值，而矩阵仅仅是一个数表，它
的行数和列数可以不同。】
2.矩阵的运算【选择题备考】
设有两个 m×n 矩阵 和 ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A+B，规定为
ⱼ ⱼ
= ᵢ = ᵢ ,
矩阵的加法
【上岸熊注释：只有同型矩阵才能进行加法运算。】
+ = }第一部分 学科基础知识
续表
矩阵加法满足下列运算规律(设 A，B，C 都是 m×n 矩阵)：
(1) A+B=B+A;
矩阵的加法
(2) (A+B)+C=A+(B+C);
设矩阵 记 称为矩阵 A 的负矩阵，显然有 A+(-A)=O，由此
ⱼ ⱼ
规定矩阵的减法为 A-B=A+(-B)。
= ᵢ , − = −ᵢ , −
数 λ 与 矩 阵 A 的 乘 积 记 作 λ A 或 者 A λ ， 规 定 为
= =
₁ ₁ ₁ ₂ ⋯ ₁ ₙ
₂ ₁ } ₂ ₂ ⋯ ₂ ₙ
( 。
⋮ } ⋮ ⋮
矩阵的数乘
【上岸熊注释：矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。】
ₘ ₁ } ₘ ₂ ⋯ ₘ ₙ )
数乘矩阵满足下列运算规律(设 A、B 为 m×n 矩阵，λ、μ为数)：
(1) (λμ)A=λ(μA);
(2) (λ+μ)A=λA+μA;
(3) λ(A+B)=λA+λB。
设 A=(aij)是一个 m×s 矩阵, )是一个 s×n 矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B
ⱼ
的 乘 积 是 一 个 m × n 矩 阵 ( 其 中
ⱼ
矩阵的乘法
= ᵢ
,m j=1,2,…,n),并把此乘积记作 C=AB。
【19 下选 = ᵢ , = 1 1 + 2 2 +⋯+ =
择题】【22 =1 }( =1,2,⋯
若 A，B，C 满足可乘条件，则
上选择题】
(1)结合律: (AB)C=A(BC);
【23 下选
(2) 分配律: (A+B)C=AC+BC, C(A+B)=CA+CB;
择题】
(3) λ(AB)=(λA)B=A(λB);
(4) λA=(λE)A=A(λE)。
【上岸熊提示：矩阵的运算是重点考查内容，需掌握运算方法。】
3.特殊的矩阵
把矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 AT。
例如矩阵 的转置矩阵为 。
1 2 0 1 3
= =
2 −1
3 −1 1
设 A，B，C 是矩阵，k 为常数，则矩阵的转置0满1足下面的一些性质(假设运算都有意
转置矩阵
义)：
【24 上
选择题】
1 = ;
2 + = + ;
。
3 = ;
4 =± }全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，叫做方阵 A 的行列式，记作
|A|或 det A。
方阵的行
列式
(2)|λ A|=λ"|A|;
1 | |=| |;
(3)|AB|=|A||B|。
设 A 为 n 阶方阵，如果满足 即 aij= aji (i,j=1,2,…,n),那么 A 称为对称矩
对称阵
阵，简称对称阵。对称矩阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。
= ,
行列式|A|的各个元素的代数余子式 Afj 所构成的矩阵 称为矩阵
11 21 ⋯ 1
伴随矩阵 ∗ 12 22 ⋯ 2
= ,
A 的伴随矩阵，简称伴随阵。
⋮ ⋮ ⋮
1 2 ⋯
性质： 。
∗ ∗
【上岸熊提示：方阵和行列式是不同的概念，n 阶方阵是 n²个数按一定方式排成的数表，而 n 阶行列式则
= = | |
是这些数按照一定的运算法则所确定的一个数。】
4.逆矩阵【选择题备考】【简答题备考】【22 上简答题】【24 上选择题】
对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使 AB=BA=E，则说矩阵 A 是可
逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵，简称逆阵。
如果矩阵 A 是可逆的，那么 A 的逆矩阵是唯一的。这是因为：若 B、C 都
定义
是 A 的逆矩阵，则有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,所以 A 的逆矩阵是唯一
的。
推论: 若 AB=BA=E, 则 。
当|A|=0 时，A 称为奇异矩阵；否则称为非奇异矩阵。A 为可逆矩阵⇔A 为
=⁻ ¹
奇异矩阵与非奇异矩阵
非奇异矩阵⇔|A|≠0。
方法一：(1)先求|A|，并判断当|A|≠0 时逆矩阵存在；(2) A
求逆矩阵的方法
。方法二： 行 逆逆 。
−1
初 ∗; 3 =
1 ∗
| | | □ } |⁻ ¹
(1)若 A 可逆, 则 A⁻ ¹也可逆, 且 (
(2)若 A 可逆, 数λ≠0, 则λA 可逆, 且
⁻ ¹⁻ ¹= ;
1
(3)若 A，B 为同阶方阵且均可逆，则 AB 可逆，且(
运算性质
⁻ ¹= ⁻ ¹;
(4)若 A 可逆，则 AT 也可逆，且
⁻ ¹=⁻ ¹⁻ ¹;
−1
−1
(5)若 A 可逆，则有 。
= ;
|⁻ ¹| = | ⁻| ¹第一部分 学科基础知识
5.矩阵的初等变换【选择题备考】【23 下选择题】
(1) 对换两行(对换 i,j 两行, 记作 r₁⇔r );
ⱼ
(2) 用数 k(k≠0)乘某一行的所有元(第 i 行乘 k, 记作 r₁×k) ;
(3)把某一行所有元的 k 倍加到另一行对应的元上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，
初 等 行 、 列 变 换
记作 r;+ krj) 。
【19 上选择题】
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把“r”
换成“c”)。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A≅ B。
矩阵之间的等价关系具有的性质：
矩阵等价
反身性: A≌A。
对称性: 若 A≌B, 则 B≌A。
传递性: 若 A≌B, B≌C, 则 A≌C。
画出一条从第一行某元左方的竖线开始到最后一列某元下方的横线结束的阶梯线，
它的左下方的元全为 0；每段竖线的高度为一行，竖线的右方的第一个元为非零元，
行 阶 梯 形 矩 阵 与称为该非零行的首非零元。具有这样特点的矩阵称为行阶梯形矩阵。
行最简形矩阵
若 A 是行阶梯形矩阵，并且还满足(1)非零行的首非零元为 1，(2)首非零元所在的列
的其他元均为 0，则称 A 为行最简形矩阵。
定义：设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D，且所有(r+1)阶子式(如果存在
的话)全等于 0，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式。数 r 称为矩阵 A 的秩，记作
R(A)=r。
矩阵的秩
规定零矩阵的秩 R(O)=0。
矩阵的秩的求法：矩阵 A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变，即若 A~B，则 R
(A)=R(B)。矩阵 Aman 经过有限次初等行变换可变为行阶梯形矩阵，则非零行的行数
就是 A 的秩。
四、向量
1. n 维向量及其运算【选择题备考】
n 个有次序的数 a₁,a₂,…, an)所组成的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量
n 维向量的概念
的 n 个分量，第 i 个数 a 称为第 i 个分量。
ᵢ
(1) 加法: 则
向量的线性运算
。
± = ₁ ₂ ⋯ₙ , ± = ₁ ₂ ⋯ₙ ,
(2) 数乘: 。
+ = ₁ +₁ ₂ +₂ ⋯ₙ +ₙ
= ₁ ₂ ⋯ ₙ 全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
(1) α+β=β+α;
(2) α+(β+γ)=(α+β)+γ;
(3) α+0=α;
向量线性运算的 (4) α+(-α)=0;
运算规律
(5) k(α+β)=kα+kβ;
(6) (k+l)α=kα+lα;
(7) k(lα)=(kl)α;
(8) 1·α=α。
【上岸熊提示：两个 n 维向量可以进行加、减、内积运算，不能进行除法运算。】【23 上选择题】
2.向量组的线性相关性
线性组合：
向量α称为向量组β₁,β₂,…, β₅ 的一个线性组合, 如果有数域 F 中的数 k₁, k₂,
…, k₅ ,使 。
向量组的等价：
=₁ ₁ +₂ ₂ + ⋯ +ₛ ₛ
如果向量组α₁,α₂, …, α₁中每一个向量α₁(i=1, 2,…,t)都可以由向量组β₁,
β₂, …,β₅ 线性表示，那么就称向量α₁，α₂，…，α₁可以由向量组β₁，β
基本概念
₂，…，β 线性表示。如果两个向量组可以互相线性表示，那么它们就称为等价。
ₓ
线性相(无)关：
给定向量组 A: a₁,a₂,……, am,如果有数域 F 中不全为零的数.k₁,k₂,…, k
m,使 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无
关。
₁ ₁ +₂ ₂ + ⋯ +ₘ ₘ = 0,
【上岸熊注释：任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的。】
(1)向量组 A：a₁，a₂，……，am 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵
的秩小于向量个数 m；向量组 A 线性无关的充分必要条件是 R(A)=m。
=
(2) ①若向量组 A:a₁,a₂,…, am 线性相关，则向量组 B：a₁,a₂,…, am, am+1 也线
₁ ₂ ⋯ₘ
性相关。反之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关。
向量组线性相关
的判定 ②m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关。特别地 n+1 个
n 维向量一定线性相关。
③设向量组 A: a₁,a₂,…, am 线性无关, 而向量组 B: a₁,a₂,…, am,b 线性相关, 则
向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的。
3.向量组的极大线性无关组及矩阵的秩【选择题备考】【解答题备考】【21 下解答题】
若向量组的一部分向量α₁，α₂，…，α，满足：
极大线性无 (1) α₁,α₂,…,α,线性无关,
关组
(2)向量组中的任一向量均可由其线性表示，
则称此部分向量组α₁，α₂，…，α，为原向量组的一个极大线性无关组。第一部分 学科基础知识
续表
(1)任意一个极大线性无关组都与向量组自身等价。
(2)向量组的极大线性无关组不一定唯一，但任意两个极大线性无关组等价。
(3)秩为 r 的 n 维向量中的任意 r 个线性无关的向量都是向量组的一个极大线性无关组。
性质
(4)等价的向量组必有相同的秩(秩相同的向量组未必等价)。
(5)矩阵 A 的秩是 r 的充分必要条件为 A 中有一个 r 阶子式不为零，同时所有(r+1)阶子式
全为零。
定义法：
根据极大线性无关组的定义来求解向量组的极大线性无关组，关键强调两个方面：一是该部
分的向量本身是线性无关的；二是它是所有线性无关向量组中所含向量个数最多的线性无关
组。
初等变换法：
求解方法
矩阵 A 经过初等行变换得到 B，不改变列向量组的线性相关性。如果 B 是一个行最简形矩
阵，则容易看出 B 的列向量组各向量之间的线性关系，从而也就得到 A 的列向量组各向量之
间的线性关系。因此，求向量组的极大线性无关组归结为求梯形矩阵的极大线性无关组。
具体操作方法：矩阵 A 经初等行变换化成阶梯形矩阵 B，在每个台阶上任取一列，即可得到
极大线性无关组。
向量组的秩 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。【19 下选择题】
矩阵的秩 矩阵的行向量组的秩与列向量组的秩相等，称为矩阵的秩。
【上岸熊提示：考虑到线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，因此一向量组线性无关的充要条件
是它的秩与它所含向量的个数相同。】
五、线性方程组【简答题备考】【解答题备考】【高频】【选择题备考】【22 下简答题】【23 上简答题】【2
1 上解答题】
1.齐次线性方程组【21 上选择题】【23 下选择题】【24 下选择题】
(*)
解的情况 如 果 齐 次 线 性 方 程 组
的
【22 下
系数矩阵的行秩 r<n，那么它有非零解。
选择题】
₁ ₁ ₁ +₁ ₂ ₂ +⋯+₁ ₙ ₙ =0,}₂ ₁ ₁ +₂ ₂ ₂ +⋯+₂ ₙ ₙ =0,⋯⋯ₛ ₁ ₁ +ₛ ₂ ₂ +⋯+ₛ ₙ ₙ =0
(1)方程组(*)的两个解的和还是方程组(*)的解；
解的性质
(2)方程组(*)的一个解的倍数还是方程组(*)的解。全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
(1)齐次线性方程组(*)的一组解η₁，η₂，…，η₁称为(*)的一个基础解系，如果
满足①方程组(*)的任何一个解都能表示成η₁，η₂，…，η₁的线性组合；
基础解系 ②η₁,η₂,…,η₁线性无关。
(2)在齐次线性方程组(*)有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数
等于(n-r)，这里 r 表示系数矩阵的秩[(n-r)也就是自由未知量的个数]。
解的空间 设 A 为 m×n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的全体解构成的集合 V 是一个向量空间，称
意义 为该方程组的解空间。当系数矩阵的秩为 R(A)时，解空间 V 的维数为 n-R(A)。
2.非齐次线性方程组【21 下解答题】
(**)也可写作向量方程 Ax=b。
11 1 12 2 1 1
+ + ⋯ + = ,
21 1 22 2 2 2
+ + ⋯ + = ,
{
⋯⋯⋯
1 1 2 2
+ + ⋯ + = ,
线性方程组(**)有解的充分必要条件为它的系数矩阵 与增
₁ ₁ ₁ ₂ ⋯ ₁ ₙ
₂ ₁ ₂ ₂ ⋯ ₂ ₙ
=
⋮ ⋮
ₛ ₁ ₛ ₂ ⋯ ₛ ₙ
广矩阵 有相同的秩。
₁ ₁ ₁ ₂ ⋯ ₁ ₙ ₁
有解的判别定理
₂ ₁ ₂ ₂ ⋯ ₂ ₙ ₂
=(
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
ₛ ₁ ₛ ₂ ⋯ ₛ ₙ ₛ )
方程组 Ax=b (A 为 m×n 矩阵)解的情况:
→有唯一解；
解的情况
⇒有无穷多解；
= = ∈
⇔无解，即 b 不能由 A 的列向量线性表示。
= < <
(1)线性方程组(**)的两个解的差是它的导出组(*)的解；
+ 1 = =
(2)线性方程组(**)的一个解与它的导出组(*)的一个解之和还是线性方程组(**)的
解;
(3)如果γ₀ 是线性方程组(**)的一个特解，那么方程组(**)的任一个解γ都可表
解的性质
示成 ，其中η是导出组(*)的一个解，因此，对于方程组(**)的任一个特
解γ₀ ，当η取遍它的导出组的全部解时， 就为 (**)的全部解；
=₀ + ,
(4)在方程组(**)有解的条件下，解唯一的充分必要条件是它的导出组(*)只有零
=₀ +
解。通解
设η*是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解，是对应齐次线性方程组 Ax=0 的通解，
【 2 0 下 简 答
则 x=ξ+η°是非齐次线性方程组 Ax=b 的通解。
题】第一部分 学科基础知识
【上岸熊提示：非齐次线性方程组求解时通解由基础解系和特解组成，其区别是赋值求解的过程中，基础解系不计算
常数项，而特解计算常数项。】
3.基变换与坐标变换
设 是 n 维线性空间 V 中的两组基，它们的关系是
设向量ξ在这两组基下的坐标分别为(x₁, x₂, ……, xₙ )与(x{, x₂, ……, xₙ },
即向量
′ ′ ′ ′ ′ ′
= 1 1 + 2 2 + ⋯ + = 1 1 + 2 2 + ⋯ + ②
①式可写成
矩阵 尔为由基ε₁, ε₂, ⋯ ⋯ , ε∥到基ε,ε₂, ⋯ ⋯ , ε,的过渡矩阵, 它是可逆矩阵。
ᵢ ⱼ ᵢ
②式写成 将③式代入，得
由基向量的无关性得
4.特征值和特征向量
1{ 2}{⋮}{ } =( 11 12 ⋯ 1 { 21} 22 ⋯ 2 {⋮} ⋮ ⋮{ 1} 2 ⋯ (
(1)设 A 为数域 F 上的 n 阶方阵，如果存在数域 F 上的数 和非零向量，使得 则称 为 A 的一个
特征值(特征根)，而称为 A 的属于特征值， 的一个特征向量。
₀ =₀ , ₀
(2)设 A 为 n 阶方阵，则矩阵λE-A 称为 A 的特征矩阵，其行列式称为 A 的特征多项式，
₀
定义
记
为 f(λ), 艮称 为 A 的特征方程。
= | − | = 0全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
(1)若λ₁是 A 的任一特征值，非零向量ξ为 A₁的属于特征值λ₁的特征向量，即满足 A
ξ=λ₁ξ,则必有λk 一定是 A*的特征值(k 为正整数)。
(2)若λ₁是 A 的任一特征值，非零向量ξ为 A 的属于特征值λ₁的特征向量，且
为任一多项式，则有 f(λ₁)是 f(A)的特征值。
性质 =
(3)如果 5 是 A 的属于特征值λ₀ 的一个特征向量，那么 5 的任何一个非零倍数 k₂也是 A
₀ ⁿ +₁ ⁿ ⁻ ¹ + ⋯ +ₙ
的属于特征值λ₀ 的特征向量，即特征向量不是被特征值所唯一决定的；相反，特征值是被
特征向量所唯一决定的，一个特征向量只能属于一个特征值。【上岸熊注释：属于不同特征
值的特征向量是线性无关的。】
(1)根据定义，构造 ，求得 A 的特征值λ₀ ，即构造 A 属于特征值λ₀ 的一个特
征向量ξ。
=₀ ,
求法
(2)设 A=(a₁})n₁为 n 阶方阵，则由|λE-A|=0 可以求出矩阵 A 的全部特征值λ₁，再根
据齐次线性方程组(A-λ₁E)X=0 求出 A 属于λ₁的特征向量。其中，基础解系即为 A 属于
λ₁的线性无关特征向量，通解即为 A 属于λ₁的全体特征向量(不包含 0 向量)。
5.相似矩阵与相似对角化【选择题备考】
(1)矩阵相似是一种等价关系。
相似具有反身性(A~A),对称性(如果 A~B, 那么 B~A),传递性(如果 A~B,B~C, 那么 A~
C)。
(2)相似的矩阵有相同特征多项式、相同特征值、相同行列式、相同秩。
注：考虑到 A 与 B 相似，即有可逆矩阵 X，使得 故
=⁻ ¹ , | − | = | −
。此外，左乘可逆矩阵 X⁻ ¹相当于对 A 进行初等行变
相似矩阵
⁻ ¹ | = | ⁻ ¹ − − 1} | = |⁻ ¹ − | = |⁻ ¹|| − | | = | − |; | | =
换，同理右乘可逆矩阵 X，相当于对 A 进行初等列变换，而初等变换不改变矩阵的
|⁻ ¹ | = |⁻ ¹|| |⁻ ¹ = | ||
秩，有 R(A)=R(B)。
(3)若 n 阶矩阵 A 与对角阵 相似, 则λ₁, λ₂, …, λₙ
₁
₂
=
即为 A 的 n 个特征值。
ₙ
矩阵可相似对角化的条件：【19 上选择题】
(1)n 阶矩阵可以对角化的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。
相似对角化
(2)若 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则 A 一定与对角矩阵相似。
(3)设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 ，其中 A 是以 A 的
n 个特征值为对角元的对角阵，即若 A 为 n 阶对称−阵1 ，则 A 一定与对角矩阵相似。
= = ,
【上岸熊提示：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化。】第一部分 学科基础知识
六、矩阵与变换
1.内积、施密特正交化、正交矩阵
对任意的 令 则称(α, β)为
内积
向量α, β的内积。
± = ₁ ₂ ⋮ₙ , = (₁ ₂ ⋮⋮⋮ₙ ), =₁ ₁ +₂ ₂ +⋯+ₙ ₙ ,
把 变成单位正交的向量组，先把它们正交化，得
₁ = 1 1 0 0 ,₂ = −1 0 0 1 ,₃ = 1 0 1 0
₁ =₁ = 1 1 0 0 ,
₂ ₁ 1 1
₂ =₂ − ₁ = − 2 2 0 1 ,
₁ ₁
施密特
₃ ₁ ₃ ₂ 1 1 1
正交化
₃ =₃ − ₁ − ₂ = 3 − 3 1 3 ,
₁ ₁ ₂ ₂
再单位化，得
1 1
₁ = 2 2 0 0 ,
1 1 2
。
₂ = − 6 6 0 6 ,
1 1 3 1
₃ = 12 − 12 12 12
(1)如果 n 阶矩阵 A 满足. 那么 A 称为正交矩阵，也称
−1
正交阵；
性质 = = = ,
(2)若 A 为正交矩阵，则 也是正交矩阵, 且|A|=±1;
正交矩 (3)若 A，B 均为正交矩阵，−1则 AB 也为正交矩阵。
=
阵
(1)定义法。
(2)正交矩阵每一行(列)n 个元素的平方和等于 1，两个不同行(列)的对应元素乘
判别方法
积之和等于 0。若 P 为正交矩阵，则线性变换 y=Px 称为正交变换。则有
说明正交变换过程中线段长度保持不变。
‖ ‖ =
2.二次型
= } = = ‖ ‖,
设 F 是一数域，一个系数在数域 F 中的含有变量 x₁，x₂，…，xₙ ，的二次齐次多
定义 项 式
①称为数域 F 上的一个 n 元二次型，简称为二次型。
2 2 2
1 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 3
⋯ = + + ⋯ + } + 2 + 2 + ⋯ +
−1, −1
2把 ①的 系数 排成一个 n×n 矩阵
二次型
性质 它就称为二次型①的矩阵，因为 所以这样的矩阵称为对称矩
ⱼ ⱼ
= ,
阵，因此二次型的矩阵都是对称的。
ᵢ = ᵢ = 1 2 ⋯ ,全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
定义子式 为矩阵 的顺序主子式。
ⱼ
定理 1：实二次型 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 C₁,
||₂ ₁ ₂ ₂ ⋯₂ ᵢ | = ᵢ ₙₙ
C₂, …, cₙ 都有 。
₁ ₂ ⋯ₙ
定理 2：实二次型 是正定的的充分必要条件
定理
₁ ₂ ⋯ₙ > 0
正定二
为矩阵 A 的顺序主子式全大于零。
1 2 =1 =1
⋯ = =
次型
(1)实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同；
性质
(2)正定矩阵的行列式大于零。
称实二次型 为负定二次型，如果对于任意 x≠0，都有 的负定二次型的矩阵
称为负定矩阵。
= <0
负定二
定理：对称矩阵 A 为负定矩阵的充分必要条件是：A 的奇数阶主子式都为负，A 的偶数阶主子
次型
式都为正，即 。
₁ ₁ ⋯ ₁ ₙ
₁ ₁ ₁ ₂
₁ ₁ < 0, | | > 0, ⋯, −1ⁿ | ⋮ ⋮ | > 0
₂ ₁ ₂ ₂ }
3.矩阵与线性变换的关系【选择题备考】 ₙ ₁ ⋯ ₙ ₙ
在平面直角坐标系 xOy 中，很多几何变换都具有下列形式： ①，其中系数 a，
矩阵与线 ₁ = + ,
b，c，d 均为常数。把形如①的几何变换叫做线性变换，①式叫做这个线性变换的坐标变换
{
性变换 ₁ = +
公式。P₁(x₁, y₁)是 P(x, y)在这个线性变换作用下的像。 为对应的二阶矩阵。那
么线性变换①可以由 唯一确定；反之， 也可以由线性变换①唯一确定。
将直角坐标系中一点 P 绕原点 O 按逆时针方向旋转一个角度φ后变成点 P'，
这样的过程称为旋转变换。绕原点 O 按逆时针方向旋转φ角的旋转变换的坐
旋转变换
标变换公式是 对应的二阶矩阵为 。
常 见 的 几 ₁ = − ,
−
{
何变换与
反射(对称)变把平面上的任意₁ 一=点 P 变 +成 它 关 于, 直线 l 的对称点 P'的线性变换叫做关于
换 直线 l 的反射变换。
矩阵的
把平面上的任意一点 P 的横坐标变为原来的 k₁倍，纵坐标变为原来的 k₂
关系
伸缩变换
倍，这样的几何变换叫做伸缩变换。
设 l 是平面内给定的一条直线，将平面内的每一点 P 变成它在直线 l 上的
投影变换
投影 P'，这个变换称为关于直线 l 的投影变换。第一部分 学科基础知识
续表
在直角坐标系 xOy 内，将每一点 P(x，y)沿着与 x 轴平行的方向平移 ky 个单位
变成 P'(x'，y')，称这类变换为平行于 x 轴的切变变换，相应的变换公式是
则对应的二阶矩阵为 将每一点 P(x，y)沿着与 y 轴平行的方向
切变变换 ′
= + ,
{平移
′
kx 个单位变成 P'(x'，y')，1称 这;类变换为平行于 y 轴的切变变换，相应的
常 见 的 几 0 1
= ,
变换公式是 则对应的二阶矩阵为 。
何变换与
′
= ,
矩阵的 1 0
{′
1
= + ,
关系
平面上的点变换，如果保持点之间的距离不变，则称为保距变换。如果图形经过
变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个
保距变换 图形进行的变换就叫做全等变换，本质是平面上两点之间的距离不发生变化，所
以全等变换是一个保距变换。平移变换、旋转变换和反射(对称)变换是三个基本
的全等变换，所以它们都是保距变换。【19 下选择题】
第七节 空间解析几何
一、空间向量及其运算【选择题备考】【19 下选择题】
空间向量的模：设向量 r=(x，y，z)，则向量的模的坐标表示为 。
两点间的距离公式: 设两点 A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), 则
| | = ² + ² + ²
空间向量表示
于是点 A 与点 B 间的距离为
= − = ₂ −₁ ₂ −₁ ₂ −₁ , 。
| | = | | = ₂ −₁ ² + ₂ 其−₁ 中θ² +为向₂ 量−₁a ₁²，a₂的夹角。
。
₁ ⋅₂ = |₁ | ⋅ |₂ | ,
数量积的运算律：
₁ ⋅₂ =₁ ₂ +₁ ₂ +₁ ₂
数量积
(1) a·b=b·a;
(2) (a+b)·c=a·c+b·c;
(3) (λa)·b=a·(λb), (λa)·(μb)=λμ(a·b) ( λ, μ为常数)。
a×b 是一个向量, 其模|a×b|=|a||b|sinθ, 其中θ为夹角。其方向规定为
空间向量的运算【2
2 下选择题】 与 a，b 都垂直且 a，b，a×b 符合右手系。坐标运算为 。
向量积
× = |₁ ₁ ₁ |
₂ ₂ ₂
向量积的运算法则：
a×b=-b×a, (λa)×b=λ(a×b), a×(b+c)=a×b+a×c, a×a=0。
三个向量 a, b, c 的混合积[a, b, c]是一个数,规定为[a, b, c]=(a×
混合积
b)·c。
=|₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ₃ ₃ ₃ }|全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
二、空间的平面与直线【简答题备考】
1.平面
点法式：
已知点 M(x₀ , y₀ , z₀ ),法线向量 n=(A，B，C)，平面的点法式方
程为 。【23 上简答题】
一般式：
−₀ + −₀ + −₀ = 0
平面方程
Ax+ By+ Cz+D=0 (A, B,C 不全为 0) , 其中法向量为 n=(A, B, C)。
截距式：
在一般方程 Ax+ By+ Cz+D=0 中，令 代入一般方程可得平面
方程的截距式 。
=− , =− , =− ,
+ + =1
(1)已知平面Ⅱ上一点 M(x₀ , y₀ , z₀ )和平面π的法向量 n=(A，B，C)，则平面
被确定，方程利用一般式即可求得。
(2)已知平面π上一点和两个与平面 M(x₀ , y₀ , z₀ )³ 平行且不共
如何确定一个平
面方程 线的向量
= ₁ ₁ ₁ , = ₂ ₂ ₂ ,
则平面完全被确定，方程为 。
−₀ −₀ −₀
| ₁ ₁ ₁ | = 0
₂ ₂ ₂
,则
两个平面之间的
关系 ₁ :₁ +₁ +₁ +₁ = 0,₂ :₂ +₂ +₂ +₂ = 0
₁ ₁ ₁ ₁
₁ ‖₂ ₂ = ₂ =₂ ₂ , 。
2.直线【选择题备考】【简答题备考】
₁ ⊥ ₂ ₁ ₂ +₁ ₂ +₁ ₂ = 0
(1)一般式(交面式)
其中向量(A₁, B₁, C₁).与(A₂, B₂, C₂)不平行。
₁ +₁ +₁ +₁ =0,
₂ +₂ +₂ +₂ =0,}
(2)对称式(标准式)
直线方
其中{l，m，n}为直线的方向向量。
程
−₀ −₀ −₀
= = ,
(3)参数式
=₀ + ,
{ =₀ + ,
=₀ + 第一部分 学科基础知识
续表
如何
(1)两个不平行的平面相交于一条直线可用一般式确定直线方程。
确定
(2)已知直线 L 上一点 M 以及直线 L 的方向向量{l，m，n}，可利用对称式和参数式确定直线 L
直线
方程
的方程。
两条
设
直线
−₁ −₁ −₁ −₂ −₂ −₂
则
₁ : ₁ = ₁ = ₁ ,₂ : ₂ = ₂ = ₂ ,
间的
₁ ₁ ₁
且₁( x₁‖₂ ,₂ y₁= , ₂ z=₁₂ )不, 满足 L₂的方程。
关系
【19
L₁与 L₂I 的夹角θ(法向量间的夹角，不大于 90°)满足：
上 简 ₁ ⊥₂ ₁₂ + ₁ ₂ +₁ ₂ = 0,
答
₁| ₂ + ₁ ₂ +₁ ₂ |
= ²}
题】
₁ ²+ ₁ ²+₁ ² ₂ ²+ ₂ ²+₂
直线和它在平面上的投影直线所夹锐角θ称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定夹
直线
角为π/2。
与平
直线 平面π: Ax+ By+ Cz+D=0。它们的方向向量、法向量分别为
面的
−₀ −₀ −₀
位置
: = = ,
s=(l,m,n), n=(A, B,C), 则
关系
(1) L∥π⇔s⊥n,即 Al+ Bm+ Cn=0 且
【21
(2) L⊥π⇔s∥n, 即
₀ + ₀ + ₀ + 0;
上 选
(3) L 与 II 的夹角 。
= = ;
择 | + + |
= 2 −< , > , = ²+ ²+ ² ²+ ²+ ²
题】
( 1 ) 两 点 P ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) , P ₂ ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) 间 的 距 离 是
=
距离
公式 (|₁ 2)₂ 平|面=外一₂ 点− P ₁ ₁( ² x +₁₂ , y −₁₁ , ² z +₁₂ ) 到 − 平 ₁ 面 ² π ∘ : Ax+ By+ Cz+D=0|的距离是
其中 P₀ 与 n 分别是平面π上的定点与法向量，按向量的点乘 与 模 的运算
= |₁ ₀ }|| <
得 。
₁ ₀ }, > | =⋅ |}| ± |,
| ₀ + ₀ + ₀ + |
【上岸熊提示：需要重点掌握公式，能够利用公式进行关系的判别和距离的计算。】
=
²+ ²+ ²
三、曲面与曲线方程【高频】
1.曲面及曲面方程【选择题备考】【简答题备考】
球面方程： 【20 下选择题】
球面
平行于定直线，并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面，这条定曲线 C 叫做柱面
−₀ ²+ −₀ ²+ −₀ ²= ²
柱面
的准线，动直线 L 叫做柱面的母线。全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
直线 L 绕另一条与直线 L 相交的直线旋转一周所得的旋转曲面叫做圆锥面。两条直线的
圆锥面
交点叫做圆锥面的顶点，两条直线的夹角 叫做圆锥面的半顶角。
(0 < < 2 )
一条平面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，这条直线叫做
旋转曲面
旋转曲面的轴。
【19 下选
yOz 平面上的曲线 f(y，z)=0 绕 z 轴旋转一周的曲面方程为
择题】
yOz 平面上的曲线 f(y，z)=0 绕 y 轴旋转一周的曲面方程为 。
± ² + ² = 0;
方程： 。 ± ² + ² = 0
椭球面
² ² ²
(1)椭球面与三个坐标平面的交线：
【21 上 ²+ ²+ ² =1
² ²
² ² ² ²
²+ ² =1,
简答题】 ²+ ² =1, ²+ ² =1,
(2)a=b，为旋转椭球面，由椭圆 绕 z 轴旋转而成。
=0,
² ²
【21 下
(3) a=b=c, 为球面, 方程可写为 .²+ ² =1 。
简答题】
² + ² + ² = ²
二次曲面
(1)单叶双曲面：
双曲面
² ² ²
(2)双叶双曲面： 。
²+ ²− ² =1;
² ² ²
²− ²− ² =1
为椭圆抛物面。把曲线 绕 z 轴旋转所得的曲面叫做
抛物面
² ² ²
【24 上 旋1转 抛 ²+物 ² 面=。 0) ²=
为双曲抛物面。
选择题】
² ²
2 ²− ² = 0)
(1)设曲面的方程为 F(x, y, z)=0,在曲面上任取一条通过点 M 的曲线 曲线在
= ( ),
{ = ( ),
M 处的切向量为 。
= ( ),
' ' '
切平面方程为 = ₀ , ₀ , ₀ 。
曲面的切
平面与法 法线方程为 − 0 + − 0 + 。 − 0 =0
线方程
− 0 − 0 − 0
= =
(2) 空间曲面方 0 程 0 的 0 形式为 0 z = 0 f ( 0 x, y) , 0 令 0 F 0 (x, y, z)=f(x, y)-z,曲面在 M 处的切平面
的法向量为 。【19 上选择题】
曲面在 M 处的切平面 的方0 程0为 0 0 。
± = , , − 1
曲面在 M 处的法线方程为 0 0 − 0 + 。 0 0 − 0 = − 0
− 0 − 0 − 0
= = −1
0 0 0 0第一部分 学科基础知识
2.曲线方程【选择题备考】【简答题备考】【22 下简答题】
空间曲线可以看作两个曲面的交线。设，F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0 是两个曲面方程,它
们的交线是 C。因为曲线 C 上任意点的坐标应同时满足这两个方程，所以应满足方程组
一般方程
因此，曲线 C 可以用上述方程组来表示，为空间曲线 C 的一般方程。
( , , ) = 0,
{
( , , ) = 0,
若曲线 C 上任意一点的坐标(x，y，z)都是某个变量 t 的函数，则曲线 C 的参数方程为
参数方程
【19 上选
择题】
= ( ),
{ = ( ),
= ( )
第八节 数理统计与概率论
一、基本统计量和抽样【简答题备考】
一般地, 如果有 n 个数 x₁, x₂,…, xn, 那么 叫做这
平均数
n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。 1
= ₁ +₂ +⋯+ₙ
如果 n 个数中, x₁出现 f₁次, x₂出现 f₂次, ……, xₖ 出现 fₖ 次( 这
里 那么根据平均数的定义，这 n 个数的平均数可以表
加权平均数
统计量 示为 这样求得的平均数 x 叫做加权平均数，其中 f₁, f₂, …, fₖ 叫做
₁ +₂ + ⋯ +ₖ = ),
权。
众数 将一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数的众数。
中位数【19 上简将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数
答题】 据的平均数)叫做这组数据的中位数。
(1)定义：一般地，设一个总体含有 N(N 为正整数)个个体，从中逐个抽取 n
(1≤n<N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各
个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽
样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽
到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。放回简
抽样 简单随机抽样
单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样。
(2)抽样方法
①抽签法：给调查对象群体中的每一个对象编号；准备抽签的工具，实施抽
签；对样本中的每一个个体进行测量或调查。
②随机数法。全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
(1)定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每
个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机
抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样
方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层。在分层随机抽样中，如
抽样 分层随机抽样
果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为按
比例分配。
(2)适用特征：①总体由差异明显的几部分组成；②分成的各层互不重
叠；③各层抽取的比例等于样本在总体中的比例 n/N。
【上岸熊提示：要求掌握两种抽样方法的特点，并能辨别出给定实例属于哪种抽样方法。】
二、事件和概率
1.随机事件的运算
事件 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}称为事件 A 和 B 的积事件。易知：当且仅当事件 A 和
B 同时发生时，A∩B 发生，A∩B 简记为 AB。类似地，我们也可以定义 n 个事件
积事件
A₁, A₂, …, An 的积事件 以及可列无限个事件 A₁，A₂，…的积事件
∩
=1 ,
∩
=1
事件 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}称为事件 A 和 B 的和事件。易知：当且仅当事件 A 和
运算
B 中至少有一个发生时，A∪B 发生，A∪B 又记为 A+B。类似地，我们还可以定义
和事件
n 个事件 A₁, A₂, …, Anl 的和事件 以及可列无限个事件 A₁，A₂，…
的和事件
=1 ,
=1
事件 A-B={x|x∈A 且 x∉ B}称为事件 A 和 B 的差事件。易知：当且仅当事件 A 发
差事件
生而事件 B 不发生时，A-B 发生，且 。
交换律: A∪B=B∪A, AB=BA
− = = −
结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C),(AB)C=A(BC)
运算法
分配律: (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
则
对偶率：
吸收率：A⊂B⇒AB=A, A∪B=B
∪ = , = ∪ }, =
2.随机事件及其概率【高频】【选择题备考】【简答题备考】【20 下选择题】【22 下选择题】【24 下简
答题】
(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试
验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例
为事件 A 出现的频率。
(2)对于 给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率
=
频率和概率 稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的
概率。
【21 上选择题】
【上岸熊注释：概率和频率的区别与联系：
(1)概率和频率都是统计系统各元件发生的可能性大小。第一部分 学科基础知识
续表
(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；概
率是系统固有的准确值，是客观存在的，与试验的次数无关。
频率和概率
(3)在实际问题中，通常频率值容易得到，因此常用频率作为概率的估计
值。】
(1) 概率的取值范围: 0≤P(A)≤1。
概率的性质
(2) 必然事件的概率 P(A)=1。
(3) 不可能事件的概率 P(A)=0。
互斥事件概率的加法 (1)如果事件 A 与事件 B 互斥, 则 P(A+B)=P(A)+P(B)。
公式
(2)若事件 B 与事件 A 互为对立事件, 则 P(A)=1-P(B)。【19 下简答题】
对于任意两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫
做条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其公式为 。
【22 下简答题】
| = 0)
条件概率及其性质
条件概率具有的性质：
(1) 0≤P(B|A)≤1;
(2)如果 B 和 C 是两个互斥事件, 则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
(1)对于事件 A，B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A，B 是相互独立
事件。
相互独立事件【21 下
(2)若 A 与 B 相互独立，则
选择题】【22 上选择
P(B|A)=P(B), P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)。
题】
(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B、A 与.B、A 与 B.也都相互独立。
(4)若 P(AB)=P(A)P(B), 则 A 与 B 相互独立。
3.几何概型和古典概型【简答题备考】【解答题备考】【21 下简答题】【23 上解答题】
(1)任意两个基本事件是互斥的。
基本事件的特点
(2)任意事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。
(1)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。
①试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果。
②每一个试验结果出现的可能性相等。
古典概型
(2)如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相
等，那么每一个基本事件的概率都是 ，如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，
那么事件 A 的概率 。 1
1
= 全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
续表
(3)古典概型的概率公式
古典概型
仓〇
\triangledownA
( ) = `
(1)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，
则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
(2)几何概型中，事件 A 的概率计算公式
构成事件 A 的区域长度 (面积或体积)
几何概型
一试验的全部结果所构成的区域长度 (面积或体积)
(3)几何概型的特点
①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
②等可能性：每个结果的发生具有等可能性。
三、随机变量及其分布列
1.离散型随机变量及其分布【解答题备考】【23 上解答题】
如果某一随机变量所有可能的取值为有限个或可列无限个，我们就称该随机变量为离散型随
定义
机变量。
对于离散型随机变量，我们只需要知道它所有可能的取值以及每一个可能取值的概率，就掌
分 布 列
握了有关该随机变量的全部信息，设随机变量 X 所有可能的取值为 x∉ (k=1，2，…)，X 取
【23 下
各个可能取值的概率为 pk，即 则有如下性质：
简答
=ₖ =ₖ = 1 2 ⋯ ,
题】
1ₖ 0 =12⋯。;
【上岸熊注释2： 上 述=1两 条=性1 质也是一个数列可以作为某离散型随机变量的分布列的充要条件，我们称
为随机变量 X 的分布列，我们也常把分布列写成如下的表格形式。】
X x₁ x₂ … xn
= = = 1 2 ⋯
P p₁ p₂ *** pn
2.分布函数【简答题备考】【21 上简答题】
定义 设 X 为一随机变量，令 F(x)=P{X≤x},x∈R,称此函数为随机变量 X 的分布函数。
分布函数满足下列性质：
(1) F(x)单调不减;
性质
(3) F(x)右连续。
→+ →−
2 0 1,lim =1,lim =0;
这三条性质也是一个函数可以作为某随机变量分布函数的充要条件。第一部分 学科基础知识
续表
(1)任何随机变量都有分布函数；分布函数与随机变量之间有一一对应的关系。
(2)设 X 的分布函数为 F(x), 对任意的实数 a, b(a<b), 有
①P{a<X≤b}=F(b)-F(a);
特别注意
②P{X<b}=F(b-0);
③P{X=b}=F(b)-F(b-0);
④P{a≤X≤b}=F(b)-F(a-0)。
3.连续型随机变量及其分布
如果对于随机变量的分布函数 F(x)，存在非负函数 f(x)，使对于任意实数 x 有.
定义
则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f(x)称为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。
−
= ,
概率密度的基本性质：
性质 假设 f(x)为某连续型随机变量的概率密度，则有：(①f(x)≥0; ②∫f(x) dx=1。
这两条性质也是一个函数可以作为某连续型随机变量概率密度的充要条件。
设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)，概率密度为 f(x)，则
(1) F(x)是连续函数;
其他性
(2)若 f(x)在点 x 处连续, 则
质
(3) 对任意的实数 c, P{X=c}'=0;
= ;
(4)对于任意实数
2
4.常见的离散型、连续型随 机1, 变2 量 1 2 , 1 2 = 2 − 1 = 1 } 0
两点分布 随机变量 X 所有可能的取值只有 0 或者 1，且取 1 的概率为 p(0<p<1), 取
(0-1 分布)0 的概率为 1-p，则称该随机变量服从 0-1 分布。
伯努利试验：如果试验只有两个结果 A(成功)，A(失败)，且每次试验成功
的概率是不变的，则称这种试验为伯努利试验。将一个伯努利试验独立重
复地进行 n 次，则称为 n 重伯努利试验。
二项分布 设在每次试验中，P(A)=p(0<p<1),则在 n 重伯努利试验中事件 A 出现 k 次的概
【24 下选择
率： 。
离散型
题】
若随机变量 X 的概率分布为 ，则称随
随机变
ₙ =ₙᵏ ᵏ 1 − ⁿ⁻ᵏ = 0 1 2 ⋯
量 机变量 X 服从参数为(n,p)的二项分布, 并记 X~B(n, p)。
= =ₙ ᵏ ᵏ 1 − ⁿ⁻ᵏ , = 0,1,2, ⋯, ,
若 X~B(n，p)，那么 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数，其中 P
(A)=p。
若随机变量 X 的概率分布为 其中参数 p 满足
0<p<1，则称随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，并记 X~G(p)。
几何分布 = = 1 − ᵏ⁻ ¹ , = 1,2, ⋯,
若 X~G(p)，那么 X 表示在伯努利试验中某事件 A 首次发生时进行的试验次
数, 且 P(A)=p。全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
若连续型随机变量 X 的概率密度函数为 其他 则
称 X 服从区间(a，b)上的均匀分布，记为 X ~U=(a ,−b ),。 < < , 0, , .
均匀分布
连续型
其分布函数：
随机变 0,
−
量 ( )= − ( ) = { − , < <
1,
若随机变量 X 的概率密度函数为 其中参数μ∈
正态分布 2
−
1 − 2
R,σ>0,则称 X 服从正态分布，记为 X~N(μ,σ²)。2
= 2 ∈ ,
【上岸熊提示：连续型随机变量是近几年考查的重点内容，需掌握连续型随机变量的概率密度函数的定
义、性质，并且能够识别均匀分布和正态分布。】
四、随机变量的数字特征
1.一维随机变量函数的概率密度
若已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)，随机变量 Y=g(X)，求 Y 的概率密度。这类型的问题，我们
常采用的是分布函数法：先按照定义计算随机变量 Y 的分布函数：
进一步对 Fr(y)求导，便可得 Y 的概率密度。
= ≤ = ≤ =
∫
2 . 期 ≤ 望 与 方 差 的, 定义【简答题备考】【选择题备考】【23 下选择题】
一组数据：x₁, x₂, …, xₙ 的平均数 称为这组数据的期
期望【23 下 1
= ₁ +₂ +⋯+ₙ
望。
简答题】
【上岸熊注释：数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平。】
在一组数据 x₁，x₂，…，xₙ 中，各数据与它们的平均数 x 的的差的平方的平均
方 差 、 标 准
数，叫做这组数据的方差。通常用“s²”表示，即
差 及 标 准 差
1
系数
。s 为这组数据的标准差。标准差系数( 离² =散 系₁数 )−： ² + ₂ 。− ² +
【上岸熊注释：方差反映了这组数据的波动情况。】
⋯ + ₙ − ² ₛ =
3.一维随机变量的数字特征
离散型随设离散型随机变量 X 的分布律为 若级数 绝对收敛，
机变量 则称级数 为随机变量 X 的数学期望，记为 E(X)，即
=1
=ₖ =ₖ , = 1,2, ⋯,
=1 =1
= 第一部分 学科基础知识
续表
连续型
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)，若积分 绝对收敛，则称积分 为随
随机变
机变量 X 的数学期望，记为 E(X)，即 。
+ +
量 − −
+
−
=
设 Y 是随机变量 X 的函数：Y=g(X)(g 是连续函数)。
一维随
(1)X 是离散型随机变量，它的分布律为 若 绝对收敛，
机变量
函数的
=1
则有 。 =ₖ =ₖ , = 1,2, ⋯,
数学期
= = =1
望 (2)X 是连续型随机变量，它的概率密度为 f(x)，若 绝对收敛，则有
+
−
。 =
+
【上岸熊注释：当我们− 求随机变量函数的期望 E(Y)时，不必算出 Y 的分布律或概率密度，而只需要利用 X
=
的分布列或概率密度就可以了。】
五、正态分布
1.正态曲线的定义及性质
(1)正态曲线的定义
函数 其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称 f(x)的图象(如图 1)为正态
2
−
1 − 2
2
分布密 度 曲=线 ，2 简 称正态, 曲∈线−。∞ +∞ ,
(2)正态曲线的性质
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 x=μ对称；
③曲线在 x=μ处达到峰值
1
;
④曲线与 x 轴之间的面积为 21 ；
⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移(如图 2)；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，σ越大，曲线
越“矮胖”，表示总体的分布越分散(如图 3)。全国教师资格证考试用书·数学学科知识与教学能力(初级中学)学霸笔记
2.正态分布
正态分布的定义 如果对任意实数 a，b(a<b)，随机变量 X 满足 则称为 x 的正
及表示 态分布, 记作 N(μ,σ²)。
( < < ) =ₐ∫ᵇ ,
(1) 若 X~N(μ,σ²),则 该公式揭示了求解正态分布问题的一个重要思
−
路：标准化。 ~ 01 ,
正态分布的性质
(2)正态分布 N(μ，σ²)具有对称性，即其概率密度是关于直线 x=μ对称的。特别
地，标准正态分布的概率密度是偶函数，该性质也可以概括成等式：φ(-x)+φ(x)=
1。
(1) P(μ-σ<X<μ+σ)≈68.3%;
正态总体在三个
特殊区间内取值
(2) P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈95.4%;
的概率值
(3) P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈99.7%。
【上岸熊提示：正态分布是历年考查的重点，需熟记其概念、性质和公式；理解正态分布表示的实际
意义。】
添加笔记：
