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一、数学重要公式
1.罗尔定理
如果函数𝑓(𝑥)满足：
（1）在闭区间[a，b]上连续；
（2）在开区间（a，b）内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b)，那么在（a，b）内至少有一点 ξ(a<ξ0)
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑥2 𝑦2 𝑧2
单叶双曲面：标准方程： + − ＝1(a,b,c>0)
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑥2 𝑦2 𝑧2
双叶双曲面：标准方程： + − ＝−1(a,b,c>0)
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑥2 𝑦2
椭圆抛物面： + ＝2𝑧(p,q>0)
𝑝 𝑞𝑥2 𝑦2
双曲抛物线： − =z(p，q>0)
𝑝 𝑞
8.曲面方程的切平面方程
设曲面方程为F(x，y，z)=0，M (x ，y ，z )是曲面上的一点，并设函数F(x，y，z)的偏导数
0 0 0 0
在该点连续且不同时为零。法向量𝑛⃗ =(A，B，C) 就是该曲面在点M 处的一个法向量，其中A=F ′(x ，
0 x 0
y ，z )，B=F ′(x ，y ，z )，C=F′(x ，y ，z )，则切平面方程为A(x-x )+B(y-y )+C(z-z )=0。通过
0 0 y 0 0 0 z 0 0 0 0 0 0
点M (x ，y ，z )且垂直于切平面的直线为曲面在该点的法线，则法线方程为
𝑥−𝑥0
=
𝑦−𝑦0
=
𝑧−𝑧0。
0 0 0 0
𝐴 𝐵 𝐶
9.向量组的线性相关
方法一：定义法判断
给定向量组A： 𝜶 ，𝜶 ，…，𝜶 ，如果存在不全为零的数𝑘 ，𝑘 ，…，𝑘 ，使𝑘 𝜶 +
1 2 𝑚 1 2 𝑚 1 1
𝑘 𝜶 +⋯+𝑘 𝜶 =0，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关；若当且仅当𝑘 =
2 2 𝑚 𝑚 1
𝑘 =⋯=𝑘 =0时上式成立，则称向量组A线性无关。
2 𝑚
方法二：定理法（求秩）
定理2：向量组A: 𝜶 ，𝜶 ，…，𝜶 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=( 𝜶 ，
1 2 𝑚 1
𝜶 ，…，𝜶 )的秩小于向量的个数m，向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m。
2 𝑚
10. 极大线性无关向量组
设有向量组A，如果在A中能选出r个向量𝜶 ，𝜶 ，…，𝜶 ，满足：
1 2 𝑟
（1）向量组A : 𝜶 ，𝜶 ，…，𝜶 线性无关；
0 1 2 𝑟
（2）向量组A中任意r+1个向量(如果有的话)都线性相关；
则称向量组A : 𝜶 ，𝜶 ，…，𝜶 是向量组A的一个最大线性无关向量组。
0 1 2 𝑟
方法：化成行阶梯型矩阵，找非零行的第一个非零元所在的列向量。
11.线性方程组
定理1：n元齐次线性方程组Ax＝0
（1）R(A)＝n↔ Ax＝0有唯一解，零解；
（2）R(A)
