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2009年新疆建设兵团中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）要反映乌鲁木齐市一天内气温的变化情况宜采用（ ）
A．条形统计图 B．扇形统计图
C．频数分布直方图 D．折线统计图
1．（5分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a6 B．（x2）5＝x7
C．y2÷y3＝y D．3ab2﹣3a2b＝0
2．（5分）若x＝ ，y＝ ，则xy的值是（ ）
A． B． C．m+n D．m﹣n
2．（5分）下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（5分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是
（ ）
A． B．
第1页（共37页）C． D．
4．（5分）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）
A．h＝m B．k＝n C．k＞n D．h＞0，k＞0
5．（5分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），关于x的不等式kx+b＞0的解集是
（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x＞0 D．x＜0
8．（5分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数
为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
9．（5分）一副扑克牌，去掉大小王，从中任抽一张，恰好抽到的牌是6的概率是（ ）
A． B． C． D．
第2页（共37页）10．（5分）如图是一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体的小正
方体的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．9个
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A、B、C，已知A点
的坐标是（﹣3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ．
12．（5分）如图，∠ACB＝60°，半径为1cm的 O切BC于点C，若将 O在CB上向右滚动，
则当滚动到 O与CA也相切时，圆心O移⊙动的水平距离是 ⊙ cm．
⊙
13．（5分）若梯形的下底长为x，上底长为下底长的 ，高为y，面积为60，则y与x的函数关
系式为 ．（不考虑x的取值范围）
14．（5分）某商品的进价为x元，售价为120元，则该商品的利润率可表示为 ．
三、解答题（共10小题，满分80分）
15．（8分）2008年国际金融危机使我国的电子产品出口受到严重影响，在这个情况下有两个
第3页（共37页）电子仪器厂仍然保持着良好的增长势头．
（1）下面的两幅统计图，反映了一厂、二厂各类人员数量及工业产值情况，根据统计图填
空：
一厂、二厂的技术员占厂内总人数的百分比分别是 和 ；（结果精确到
①1%）
一厂、二厂2008年的产值比2007年的产值分别增长了 万元和 万元．
（②2）下面是一厂、二厂在2008年的销售产品数量占当年产品总数量的百分率统计表，根据
此表，画出表示一厂销售情况的扇形统计图；
国内销售 国外销售
本地 外地
一厂 20% 30% 50%
二厂 50% 20% 30%
（3）仅从以上情况分析，你认为哪个厂生产经营得好？为什么？
16．（10分）甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文
章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打多少
个字？
李明同学是这样解答的：
设甲同学打印一篇3 000字的文章需要x分钟，
根据题意，得 （1）
解得：x＝50．
经检验x＝50是原方程的解．（2）
答：甲同学每分钟打字50个，乙同学每分钟打字38个．（3）
（1）请从（1）、（2）、（3）三个步骤说明李明同学的解答过程是否正确，若有不正确的步骤
第4页（共37页）改正过来．
（2）请你用直接设未知数列方程的方法解决这个问题．
17．（8分）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为
c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
18．（12分）某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石
河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y（单
位：千米）与所用时间x（单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，
到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐
早1小时．
（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图
象；
（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
（ 3 ） 求 两 车 最 后 一 次 相 遇 时 ， 距 乌 鲁 木 齐 市 的 路 程 ．
第5页（共37页）19．（10分）（1）用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+3变成y＝（x﹣h）2+k的形成．
（2）在直角坐标系中画出y＝x2﹣4x+3的图象．
（3）若A（x ，y ），B（x ，y ）是函数y＝x2﹣4x+3图象上的两点，且x ＜x ＜1，请比较y ，y
1 1 2 2 1 2 1 2
的大小关系．（直接写结果）
（4）把方程x2﹣4x+3＝2的根在函数y＝x2﹣4x+3的图象上表示出来．
20．（6分）解不等式组： ，并在数轴上把解集表示出来．
21．（6分）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．
22．（6分）下列是两种股票在2009年某周的交易日收盘价格（单位：元），分别计算它们一周
来收盘价格的方差、极差．（结果保留两位小数）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
甲股票 11.62 11.51 11.94 11.17 11.01
乙股票 18.50 18.50 18.50 18.50 18.50
23．（8分）如图，已知菱形ABCD的边长为1.5cm，B，C两点在扇形AEF的 上，求 的长
度及扇形ABC的面积．
24．（6分）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．
求证：
第6页（共37页）（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
第7页（共37页）2009 年新疆建设兵团中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）要反映乌鲁木齐市一天内气温的变化情况宜采用（ ）
A．条形统计图 B．扇形统计图
C．频数分布直方图 D．折线统计图
【考点】V8：频数（率）分布直方图；VE：统计图的选择．
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【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具
体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之
间频数的差别．
【解答】解：根据题意，得：要求反映乌鲁木齐市一天内气温的变化情况，结合统计图各自
的特点，应选用折线统计图．
故选：D．
【点评】此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点．
1．（5分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a6 B．（x2）5＝x7
C．y2÷y3＝y D．3ab2﹣3a2b＝0
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除
法．
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【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂
相除，底数不变指数相减；合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a4＝a6，正确；
B、错误，应为（x2）5＝x2×5＝x10；
C、错误，应为y2÷y3＝y2﹣3＝y﹣1；
D、错误，3ab2与3a2b不是同类项，不能合并．
故选：A．
第8页（共37页）【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的性质，
熟练掌握性质和法则是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．
2．（5分）若x＝ ，y＝ ，则xy的值是（ ）
A． B． C．m+n D．m﹣n
【考点】75：二次根式的乘除法．
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【分析】观察不难发现，运用平方差公式计算即可．
【解答】解：原式＝ ﹣ ＝m﹣n．故选D．
【点评】注意平方差公式的运用以及二次根式的性质： ＝a（a≥0）．
2．（5分）下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】R1：生活中的旋转现象．
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【分析】根据平移、旋转的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、不能通过平移得到，故错误；
B、是平移变换，不能通过旋转得到，故错误；
C、既符合平移变化，又能旋转得到，故正确；
D、是旋转变化，但不能通过平移得到，故错误．
故选：C．
【点评】本题考查平移和旋转的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形
状和大小．一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转
变换．
第9页（共37页）3．（5分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是
（ ）
A． B．
C． D．
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的
两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AB＝ ＝ ，AC＝ ，BC＝2，
∴AC：BC：AB＝ ：2： ＝1： ： ，
A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
4．（5分）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）
A．h＝m B．k＝n C．k＞n D．h＞0，k＞0
【考点】H2：二次函数的图象．
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【分析】借助图象找出顶点的位置，判断顶点横坐标、纵坐标大小关系．
第10页（共37页）【解答】解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），
因为点（h，k）在点（m，n）的上方，所以k＝n不正确．
故选：B．
【点评】本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用．
5．（5分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），关于x的不等式kx+b＞0的解集是
（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x＞0 D．x＜0
【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．
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【分析】由图知：一次函数与x轴的交点横坐标为3，且函数值y随自变量x的增大而减小，
根据图形可判断出解集．
【解答】解：直线y＝kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），当x＝3时，y＝0，函数值y随x的增
大而减小；
根据y随x的增大而减小，因而关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜3．
故选：A．
【点评】由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b＞0或ax+b＜0（a、b为常数，a≠0）
的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相
应的取值范围．
8．（5分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数
为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
第11页（共37页）【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的外角性质求解即
可．
【解答】解：如图，∵∠2＝50°，并且是直尺，
∴∠4＝∠2＝50°（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝30°，
∴∠3＝∠4﹣∠1＝50°﹣30°＝20°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了两直线平行，同位角相等的性质以及三角形的外角性质，熟练掌
握性质定理是解题的关键．
9．（5分）一副扑克牌，去掉大小王，从中任抽一张，恰好抽到的牌是6的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】先求出一副扑克牌，去掉大小王的张数，再求出6的个数，再根据概率公式解答即
可．
【解答】解：因为一副扑克牌，去掉大小王，一共还有52张，6有四张，所以恰好抽到的牌是
6的概率是 ．
故选：B．
【点评】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之
比．
10．（5分）如图是一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体的小正
方体的个数为（ ）
第12页（共37页）A．3个 B．4个 C．6个 D．9个
【考点】U3：由三视图判断几何体．
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【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行一列，故可
得出该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应
该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+1＝4个，故选B．
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象
能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容
易得到答案．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A、B、C，已知A点
的坐标是（﹣3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是 （﹣ 1 ， 0 ） ．
【考点】D5：坐标与图形性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】圆弧所在圆的圆心是AB与BC的垂直平分线的交点．
【解答】解：圆弧所在圆的圆心是AB与BC的垂直平分线的交点．
AB的垂直平分线是x＝﹣1，点B的坐标是（1，5），C的坐标是（4，2），
BC的垂直平分线与x＝﹣1的交点的纵坐标是0，
第13页（共37页）因而该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，0）．
【点评】理解本题中圆心在圆的弦的垂直平分线上，是垂直平分线的交点．
12．（5分）如图，∠ACB＝60°，半径为1cm的 O切BC于点C，若将 O在CB上向右滚动，
则当滚动到 O与CA也相切时，圆心O移⊙动的水平距离是 ⊙ cm．
⊙
【考点】MC：切线的性质．
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【分析】根据题意画图，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接
WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OWFC是矩形；构造直角三角形利用直角三角形中的
30°角的三角函数值，可求得点O移动的距离为OW＝CF＝WF•cot∠WCF＝WF•cot30°＝
．
【解答】解：如图，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F；
连接WE，WF，CW，OC，OW，则OW＝CF，WF＝1，∠WCF＝ ∠ACB＝30°，
所以点O移动的距离为OW＝CF＝WF•cot∠WCF＝WF•cot30°＝ ．
第14页（共37页）【点评】本题利用了切线的性质，矩形的性质，余切的概念，切线长定理求解．
13．（5分）若梯形的下底长为x，上底长为下底长的 ，高为y，面积为60，则y与x的函数关
系式为 y ＝ ．（不考虑x的取值范围）
【考点】G9：根据实际问题列反比例函数关系式．
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【分析】梯形的面积＝ （上底+下底）×高，那么高＝2×梯形的面积÷（上底+下底），故可列
出y与x的关系式．
【解答】解：由题意得y＝2×60÷（x+ x）＝120× ＝ ．
故答案为：y＝ ．
【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．
14．（5分）某商品的进价为x元，售价为120元，则该商品的利润率可表示为 ．
【考点】6G：列代数式（分式）．
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【分析】由利润率＝利润÷进价可以列出式子．
【解答】解：利润为120﹣x，∴该商品的利润率可表示为 ．
【点评】掌握利润率、利润、进价、售价之间的关系．利润＝售价﹣进价；利润率＝利润÷进
价．
三、解答题（共10小题，满分80分）
15．（8分）2008年国际金融危机使我国的电子产品出口受到严重影响，在这个情况下有两个
电子仪器厂仍然保持着良好的增长势头．
（1）下面的两幅统计图，反映了一厂、二厂各类人员数量及工业产值情况，根据统计图填
第15页（共37页）空：
一厂、二厂的技术员占厂内总人数的百分比分别是 和 ；（结果精确到1%）
①一厂、二厂2008年的产值比2007年的产值分别增长了 万元和 万元．
（②2）下面是一厂、二厂在2008年的销售产品数量占当年产品总数量的百分率统计表，根据
此表，画出表示一厂销售情况的扇形统计图；
国内销售 国外销售
本地 外地
一厂 20% 30% 50%
二厂 50% 20% 30%
（3）仅从以上情况分析，你认为哪个厂生产经营得好？为什么？
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；VD：折线统计图．
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【分析】从条形统计图中得出：（1）一厂和二厂和总人数和技术员的人数，求得对应的技术
员占的比例，
从折线图中得出一厂和二厂2008年的产值比2007年的产值增长数；
（2）根据扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数＝百分比*360度计算
出对应的扇形的圆心角的度数．画出条形统计图．一厂生产经营得好，因为从题目给出的
信息可以发现人少产值高．
【解答】解：
（1）从条形统计图中得出，一厂的人数＝600+200+200+100＝1100人，一厂技术员占的比
例＝200÷1100≈18%，二厂的人数＝800+100+250+150＝1300人，二厂技术员占的比例＝
100÷1300≈8%，
从折线图中得出一厂2008年的产值比2007年的产值增长数＝3500﹣2000＝1500万元，
二厂2008年的产值比2007年的产值增长数＝2500﹣1500＝1000万元；
（2）在扇形统计图中表示一厂国外销售的扇形的圆心角＝360°×50%＝180°，
在扇形统计图中表示一厂国内销售中本地的扇形的圆心角＝360°×20%＝72°，
第16页（共37页）在扇形统计图中表示一厂国内销售中外地的扇形的圆心角＝360°×30%＝108°，
如图∠AOB＝72°．
（6分）
（3）一厂生产经营得好，因为从题目给出的信息可以发现人少产值高．
【点评】本题考查的是条形统计图，折线统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从
不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项
目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．折线统计图能得出数据的运动
的趋势
16．（10分）甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文
章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打多少
个字？
李明同学是这样解答的：
设甲同学打印一篇3 000字的文章需要x分钟，
根据题意，得 （1）
解得：x＝50．
经检验x＝50是原方程的解．（2）
答：甲同学每分钟打字50个，乙同学每分钟打字38个．（3）
（1）请从（1）、（2）、（3）三个步骤说明李明同学的解答过程是否正确，若有不正确的步骤
改正过来．
（2）请你用直接设未知数列方程的方法解决这个问题．
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】若设直接未知数的话，应根据所用时间相同来列等量关系．等量关系为：甲打一篇
3000字的文章时间＝乙打﹣篇2400字的文章所用的时间．
【解答】解：（1）李明同学的解答过程中第（3）步不正确．
应为：甲每分钟打字 （个）．
乙每分钟打字60﹣12＝48（个）．
答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个．
第17页（共37页）（2）设乙每分钟打字x个，则甲每分钟打字（x+12）个．
根据题意得： ．
解得：x＝48．
经检验：x＝48是原方程的解．
∴甲每分钟打字x+12＝48+12＝60（个）．
答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个．
【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量
关系的．在一般情况下，设直接未知数步骤少，也少出差错．本题考查分式方程的应用，分
析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间＝工
作总量÷工效．
17．（8分）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为
c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
【考点】KR：勾股定理的证明．
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【分析】勾股定理的证明可以通过图形的面积之间的关系来完成．
【解答】解：（1）如图：
第18页（共37页）（2）证明：∵大正方形的面积表示为：c2
又可以表示为： ab×4+（b﹣a）2
∴c2＝ ab×4+（b﹣a）2，c2＝2ab+b2﹣2ab+a2，
∴c2＝a2+b2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
【点评】利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，利用面积的关系证明勾股定理．
18．（12分）某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石
河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y（单
位：千米）与所用时间x（单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，
到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐
早1小时．
（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图
象；
（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
（ 3 ） 求 两 车 最 后 一 次 相 遇 时 ， 距 乌 鲁 木 齐 市 的 路 程 ．
第19页（共37页）【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）如图，虚线为出租车，实线为公共汽车；
（2）因为细线和粗线仅仅相交2次，所以两车在途中相遇2次；
（3）如图设直线AB的解析式为y＝k x+b ，直线CD的解析式为y＝k x，解答即可．
1 1 2
【解答】解：（1）如图：
（3分）
（2）2次；（5分）
（3）如图，设直线AB的解析式为y＝k x+b ，
1 1
∵图象过A（4，0），B（6，150），
∴
∴ ，y＝75x﹣300
①
第20页（共37页）设直线CD的解析式为y＝k x+b ，
2 2
∵图象过C（7，0），D（5，150），
∴ ，∴ ，
∴y＝﹣75x+525 （7分）
②
解由 、 组成的方程组得 ．
① ②
∴最后一次相遇时距离乌鲁木齐市的距离为112.5千米．（12分）
【点评】本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题．用一次函数解决实际问
题．
19．（10分）（1）用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+3变成y＝（x﹣h）2+k的形成．
（2）在直角坐标系中画出y＝x2﹣4x+3的图象．
（3）若A（x ，y ），B（x ，y ）是函数y＝x2﹣4x+3图象上的两点，且x ＜x ＜1，请比较y ，y
1 1 2 2 1 2 1 2
的大小关系．（直接写结果）
（4）把方程x2﹣4x+3＝2的根在函数y＝x2﹣4x+3的图象上表示出来．
【考点】H2：二次函数的图象；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交
点．
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【分析】（1）含x的项即为完全平方公式展开的前两项，加上常数组成完全平方式，但后面
应减去加上的常数；
（2）找顶点左右两边的数，按顶点式画出函数图象；
（3）应先判断出所给两点在对称轴的哪一侧，当在左侧时，y随x的增大而减小，在右侧时，
y随x的增大而增大；
（4）方程x2﹣4x+3＝2的根是函数图象上y＝2时所对应的x的值．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）+3﹣4＝（x﹣2）2﹣1．（3分）
（2）对称轴x＝2，顶点坐标（2，﹣1）
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
第21页（共37页）（6分）
（3）y ＞y （8分）
1 2
（4）当y＝2时，得：
2＝（x﹣2）2﹣1．
∴x＝2± ．
即y＝2时所对应的x的值为2± ．（10分）
【点评】本题考查二次函数的解析式的两种表达形式的转换以及读图等知识点，需注意抓
住对称轴和交点是解决此类问题的关键．
20．（6分）解不等式组： ，并在数轴上把解集表示出来．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别解两个不等式，求出其解集，在数轴上表示出来，找出公共部分，即求出了不
等式组的解集．
【解答】解：解第一个不等式得x＜1，
解第二个不等式得x≥﹣2，
所以不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
其解集在数轴上表示为：
【点评】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来
（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表
第22页（共37页）示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．
在表示解集时“≥”、“≤”要用实心圆点表示；“＜”、“＞”要用空心圆点表示．
21．（6分）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
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【分析】方程的左边提取公因式x﹣3，即可分解因式，因而方程利用因式分解法求解．
【解答】解：原式可化为：（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0
∴x﹣3＝0或5x﹣3＝0
解得 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，
配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
22．（6分）下列是两种股票在2009年某周的交易日收盘价格（单位：元），分别计算它们一周
来收盘价格的方差、极差．（结果保留两位小数）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
甲股票 11.62 11.51 11.94 11.17 11.01
乙股票 18.50 18.50 18.50 18.50 18.50
【考点】W6：极差；W7：方差．
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【分析】先求出甲、乙的平均数为 ，再计算方﹣差S2＝ [x 2x 2+…+x 2]﹣ 2．对于极差，
1 2 n
只需计算出最大值减去最小值的结果即可．
【解答】解：
甲
＝ （11.62+11.51+11.94+11.17+11.01）＝11.45
乙
＝18.50
S甲 2＝ （[ 11.62﹣11.45）2+（11.51﹣11.45）2+（11.94﹣11.45）2+（11.17﹣11.45）2+（11.01﹣
11.45）2]＝0.10892≈0.11，
S乙 2＝0，
甲的极差＝11.94﹣11.01＝0.93
乙的极差＝18.50﹣18.50＝0．
【点评】本题是一道统计题，考查了方差、极差的计算：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平
1 2 n
均数为 ，则方差S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]；极差为最大值减去最小值的
1 2 n
第23页（共37页）值．
注意第二种股票的价格没有变，波动为0，极差为0．
23．（8分）如图，已知菱形ABCD的边长为1.5cm，B，C两点在扇形AEF的 上，求 的长
度及扇形ABC的面积．
【考点】L8：菱形的性质；MN：弧长的计算；MO：扇形面积的计算．
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【分析】由题意，可先求得△ABC是等边三角形，进而求得∠BAC＝60度．根据弧长的计算
公式和扇形的面积公式可求得 的长度及扇形ABC的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形且边长为1.5cm，
∴AB＝BC＝1.5cm．
又∵B、C两点在扇形AEF的 上，
∴AB＝BC＝AC＝1.5cm，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝60°．（2分）
的长＝ （cm）（5分）
S扇形ABC ＝ lR＝ • •1.5＝ （cm2）．（8分）
π
【点评】此题考查弧长的计算公式：l＝ ，扇形的面积＝ lR．
24．（6分）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
第24页（共37页）【考点】KB：全等三角形的判定；L6：平行四边形的判定．
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【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易
证明△AFD≌△CEB．
（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD＝BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE＝∠BEF．
又∵AF＝CE，DF＝BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的
一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形．
第25页（共37页）考点卡片
1．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系
①数的代数项；字母和字母指数；
明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会
②减少，达到化简多项式的目的；
“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母
③和字母的指数不变．
2．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意： 底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x
﹣y）2与（x﹣y）3等； a可以是单项式，①也可以是多项式； 按照运算性质，只有相乘时才
是底数不变，指数相加②． ③
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运
用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形
为同底数幂．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意： 幂的乘方的底数指的是幂的底数； 性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方
的指数相①乘，这里注意与同底数幂的乘法中“②指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意： 因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； 运用时数字因数的乘方应根据乘
① 第26页（共37页） ②方的意义，计算出最后的结果．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
底数a≠0，因为0不能做除数；
①单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
②应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什
③么，指数是什么．
5．列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是
列代数式．
（2）列代数式五点注意： 仔细辨别词义． 分清数量关系． 注意运算顺序． 规范书
写格式． 正确进行代换①． ② ③ ④
注意代数⑤式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
6．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质： ＝ • （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： • ＝ （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质： ＝ （a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则： ＝ （a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 • ＝ （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b
＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（ ）×（ ）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根
式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程
最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形
式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原
第27页（共37页）方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
移项，使方程的右边化为零； 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； 令每个因式
①分别为零，得到两个一元一次方②程； 解这两个一元一次方程，它们的解就都是③原方程的解．
8．分式方程的应用 ④
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，
要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工
作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能
力．
9．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，
若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次
在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
10．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成
的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再
求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤： 求不等式组中每个不等式的解集； 利用数轴求公共部分．
解集的规律：①同大取大；同小取小；大小小大中间找②；大大小小找不到．
11．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面： 到x轴的距离与纵坐
①
第28页（共37页）标有关，到y轴的距离与横坐标有关； 距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐
标时，需要加上恰当的符号． ②
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是
解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解
决问题．
12．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构
成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣ ，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞ ，不等式kx+b＜0的解为：x＜ ；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜ ，不等式kx+b＜0的解为：x＞ ．
13．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科
学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根
据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题： 建立函数模型的方法； 分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函①数解决问题的关键． ②
14．根据实际问题列反比例函数关系式
根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数
学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，
再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．
第29页（共37页）根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待
定系数法去完成的．
注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．
15．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
①描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
②连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
③在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点
④的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑
的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描
出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移| |个单
位，再向上或向下平移| |个单位得到的．
16．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣ ， ）．
抛物线是关于对称轴x＝﹣ 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函
①
数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
②抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x
1
，0），（x
2
，0），则其对称
③
轴为x＝ ．
17．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，
解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间
的关系．
第30页（共37页）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x
1 2
轴的交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
18．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相
等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内
角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相
等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
19．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已
知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对
应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
20．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝ ，b＝ 及c＝ ．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的
第31页（共37页）每一条直角边．
21．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然
后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面
积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
22．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行
ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行
ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行
ABCD是平行四边形．
23．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
菱形具有平行四边形的一切性质；
①菱形的四条边都相等；
②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
④（3）菱形的面积计算
利用平行四边形的面积公式．
①
第32页（共37页）菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度）
②
24．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
25．切线的性质
（1）切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
③（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：
直线过圆心； 直线过切点； 直线与圆的切线垂直．
①（3）切线性质的②运用 ③
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切
点，连半径，见垂直．
26．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2 R
π
（2）弧长公式：l＝ （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
①若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
②题设未标明精确度的，可以将弧长用 表示．
③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念π，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不
④一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
27．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝ r2
（2）扇形：由组成圆心π角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
第33页（共37页）（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形 ＝ R2或S扇形 ＝ lR（其中l为扇形的弧长）
π
（4）求阴影面积常用的方法：
直接用公式法；
①和差法；
②割补法．
③（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
28．生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这
两个点叫做对应点．
（2）注意：
旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转
①前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
② 旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． ．
29③．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相
似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图
所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
第34页（共37页）（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
30．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前
面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、
①宽、高；
从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
②熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
③利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
④31．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一
般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12
组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注： 频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方
形面积的①大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比
值，即小长方形面积＝组距×频数组距＝频率． 各组频率的和等于1，即所有长方形面积的
和等于1． 频率分布表在数量表示上比较确切②，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的
总体态势．③ 从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得
不出原始的④数据内容．
32．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分
数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表
示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是
①各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． 按比例取适当半径画一个圆；
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②按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
④33．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然
后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
①在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
②在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
③按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
④34．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线
段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
根据统计资料整理数据．
①先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量．
② 根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
35．③统计图的选择
统计图的选择：即根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．
（1）扇形统计图的特点：
用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比． 易于显示每组数据相对于总数的大小．
①（2）条形统计图的特点： ②
条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目． 易于比较数据之间的差别．
①（3）折线统计图的特点： ②
能清楚地反映事物的变化情况． 显示数据变化趋势．
①根据具体问题选择合适的统计图，可②以使数据变得清晰直观．不恰当的图不仅难以达到期望
的效果，有时还会给人们以误导．因此要想准确地反映数据的不同特征，就要选择合适的统
计图．
36．极差
第36页（共37页）（1）极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
极差＝最大值﹣最小值．
（2）极差是刻画数据离散程度的一个统计量．它只能反映数据的波动范围，不能衡量每个数
据的变化情况．
（3）极差的优势在于计算简单，但它受极端值的影响较大．
37．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情
况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝1n[（x ﹣x¯）2+（x ﹣x¯）2+…+（x ﹣x¯）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
1 2 n
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性
也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
38．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
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